中学数学中的向量方法(续)

3平面向量的坐标例6一艘航船由码头A出发向东航行了150千米到位置B,又由B向东南方向航行200千米到位置C,再从C向北偏东26°34′航行250千米到位置D.从A到D的直线距离有多远?图5分析三段航程的长度单位虽然都是“千米”,但却是东、东南、北偏东26°34′等三个不同方向上的不同的     

中学数学教学中的向量(续1)

3怎样考虑起点 本文一开始就指出在研究有方向的量时，应该把起点与大小方向区别开．这种情况在日常生活中有的是．下面我们编一个故事读者看一下是否切合“生活情景”．有人（姑名之为A）看见B手上有一本书正是自己想买而未买到的，于是就问是在哪里买的．B说：“不远，你就沿着这条路向北走，大约5分钟后就有一个转角，向右转再走300米就行了．”     

中学数学教学中的向量(续3)

4·3关于立体几何的教学立体几何的教学是一个困难问题,许多人都认为,学立体几何可以培养“空间想像力”.其实,什么是空间想象力说来也玄,下面举一个例,在近年高考与各种“辅导材料”中,这种“题型”的内容很多.下面可算是最简单的了.设有一个立方体,边长为1,过O′,A,C三点作一     

中学数学教学中的向量

本刊将连载齐民友先生谈中学数学课程中向量、三角函数和复数的文章。齐先生是武汉大学教授,是我国著名的数学家,曾在偏微分方程等研究领域内做出过重要贡献。齐先生为培养数学人才倾注了毕生精力,他给本科生上课,指导研究生,编写偏微分方程等方面的教材,甚至在担任武汉大学校长,行政事物繁忙的四年多时间里,他仍然坚持上课,参加讨论班。他认为培养年轻人,"共同治学,一乐事也"。近年来,齐民友先生对数学教育特别关注,经常到湖北省和武汉市的中学教研室、师院、师专、教育学院等地讲学,从“集合论的基本知识”,“向量”,“中学老师进修的几个问题”,“国内外数学教育比较”到“世纪之交话数学”,题目广泛、观点明晰、思想深刻,有独到见解。(见中国现代数学家传,第四卷)目前,世界上不少数学家参与到中小学教育中来,比如日本数学家,菲尔兹奖得主小平邦彦,日本学士院院士弥永昌吉,日本数学教育学会会长藤田宏等都编写过日本中学教科书,齐民友先生也参加了我国的中小学教材编写,本刊发表的文章,就是齐先生在教材编写中的思考,相信会对老师们和数学教育工作者们有所启发。     

中学数学中的向量方法

数学是从认识和研究图形和数开始的、大体上可以说，图形的优点是直观形象，能更直接地用来描述我们周围的世界，也更容易理解．但图形不便于用于计算，利用几何推理的方法来研究图形，灵活性、偶然性太大，不容易掌握．数的优点是有比较死板的方法进行运算，便于掌握，但比图形更抽象，将客观世界用数来描述的难度更大一些．笛卡尔引进了坐标之后，打破了数与形的界限，将几何图形最基本的元素——点用坐标来表示，将曲线、曲面用方程来表示，通过对坐标和方程的代数运算来研究几何图形的性质，这就是解析几何．     

三角形重心向量性质的进一步推广

文[1]给出了三角形重心的一个向量性质：     

三角形重心的向量形式及应用

定理 1　点O是三角形ABC的重心的充要条件是OA→ +OB→ +OC→ =0 .证　必要性 :若O是三角形ABC的重心 ,则OA→ =23(12 CB→ +BA→ ) =13 CB→ +23 BA→ ,OB→ =23(12 AC→ +CB→) =13 AC→ +23 CB→ ,OC→ =23(12 BA→ +AC→ ) =13 BA→ +23 AC→ ,故OA→ +OB→ +OC→ =CB→ +BA→ +AC→ =0充分性 :若OA→ +OB→ +OC→ =0 ,由向量加法原理 ,知过O且与OA→ +OB→ 平行的直线必平分线段AB ,而OA→ +OB→ 与OC→ 是共线的 ,故直线OC平分线段AB .同理 ,可以证明直线OA ,OB分别平分BC ,AC .从而知点O是三角…     

一道平面几何题的向量论证

《数学通报》第 1 2 1 2问题如下 :如图 1设图 1　三角形△ABC的一边AB上有P1,P2 两点 ,另一边AC上有Q1,Q2 两点 ,若 ABAP1+ ACAQ1=ABAP2 + ACAQ2 =3,则P1Q1与P2 Q2 的交点G是△ABC的重心 .上述问题可概述为 :P ,Q为△ABC的两边AB ,AC上的两点 ,则PQ过△ABC的重心G的充要条件是ABAP+ ACAQ=3,本文将利用向量给出它的证明 .图 2　结论 1图结论 1　设OA ,OB ,OC为平面上不共线的三个非零向量 ,则A ,B ,C三点共线的充要条件是存在实数λ ,μ ,使得 OA =λOB + μOC ,其中λ + μ =1 .证　不妨设A在BC之间 ,若A ,…     

一个三角形重心向量性质的空间拓广

利用平面向量的知识,三角形有以下性质:图1[1]如图1,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=xAB,AN=y AC,则1x 1y=3.证∵点G是△ABC的重心,∴GA GB GC=0,∴-AG (AB-AG) (AC-AG)=0,∴AG=13(AB AC).又∵M,N,G三点共线(A不在直线MN上),∴AG=λAM μAN(且     

一个三角形重心向量性质及空间拓广性质的另证

文[1]给出了一个三角形重心性质1，探索出三棱锥也有的类似性质2，给出证明，本文拟给出一种更为简捷的证明方法。     

三角形的一个向量性质及其空间拓广

文[1]、文[2]、文[3]及文[4]对一个三角形重心向量性质进行了探讨，笔者阅读后深受启发，得到了三角形的一个向量性质，并进行空间拓广．     

三角形与三棱锥的重心向量性质的逆定理

文[1]讨论了三角形重心的一个向量性质，并将其推广至三棱锥中     

关于三角形的一个向量性质

文[1]给出了三角形重心的如下一个向量性质：     

一道经典向量问题的探究与推广北大核心

问题已知G是正△ABC的重心,过G的直线分别与边AB、AC交于E、F,     

三角函数 向量 复数(续)

2把复数引入三角函数的研究这一部分和前一部分不同.前一部分讲到的三角函数知识是完全成熟了的,绝大多数教师是很熟悉的,按本文的讲法给学生上课是可以的.这一部分涉及微积分,进入中学教材时间还短,许多教师还不太熟悉,需要进一步消化.特别是围绕欧拉公式的内容,如何教给学生,     

也谈三角形五“心”向量形式的充要条件

文 [1 ]给出了三角形五“心”向量形式的充要条件 ,文 [2 ]对内心和旁心的结论加以了改进 .本文先给出三角形所在平面上任意一点的向量形式 ,然后由此推得三角形五“心”向量形式的一组充要条件 ,这组充要条件不仅具有简捷、美观的特点 ,而且还有较强的实用性 .命题　 1若O是△ABC形内 (或周界上 )一点 ,则S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 ;2若O是△ABC形外一点且与A位于直线BC的两侧 ,则-S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 .图 1　三角形　　　　　　　图 2　三角形　　证　如图 1 ,以O为原点 ,OA所在直线…     

三角形中线的向量性质

1．三角形中线的向量性质如图1,在△ABC中,BC边上的中线AM有如下熟知的向量性质：     

平面向量基本定理的面积表示及其应用

在三角形ABC所在平面内有一点O,由平面向量基本定理知,向量AO可以用三角形的边向量表示为AO=λ1AB λ2AC,其中λ1,λ2是唯一确定的.如何确定系数λ1,λ2是用好用活平面向量基本定理的关键.我们在教学中反思、研究、总结发现:在三角形中平面向量基本定理可以用面积表示.定理O为∠ABC所在区域内一点,SB,SC,S分别表示△AOC,△AOB,△ABC的面积,则AO=图1三角形SBSAB SSCAC.证当点O不在直线AB,AC上时,如图1,延长(或连接)AO交BC于D,过D点分别作AC和AB的平行线交AB和AC边所在的直线于E,F.因为AO=||AAOD||AD,又AD=AE …     

三角形重心的另一个向量性质及空间拓广

文[1]利用平面向量的知识探索出如下一个三角形重心性质并向空间拓广：