三角形重心的向量形式及应用

定理 1　点O是三角形ABC的重心的充要条件是OA→ +OB→ +OC→ =0 .证　必要性 :若O是三角形ABC的重心 ,则OA→ =23(12 CB→ +BA→ ) =13 CB→ +23 BA→ ,OB→ =23(12 AC→ +CB→) =13 AC→ +23 CB→ ,OC→ =23(12 BA→ +AC→ ) =13 BA→ +23 AC→ ,故OA→ +OB→ +OC→ =CB→ +BA→ +AC→ =0充分性 :若OA→ +OB→ +OC→ =0 ,由向量加法原理 ,知过O且与OA→ +OB→ 平行的直线必平分线段AB ,而OA→ +OB→ 与OC→ 是共线的 ,故直线OC平分线段AB .同理 ,可以证明直线OA ,OB分别平分BC ,AC .从而知点O是三角…     

一道平面几何题的向量论证

《数学通报》第 1 2 1 2问题如下 :如图 1设图 1　三角形△ABC的一边AB上有P1,P2 两点 ,另一边AC上有Q1,Q2 两点 ,若 ABAP1+ ACAQ1=ABAP2 + ACAQ2 =3,则P1Q1与P2 Q2 的交点G是△ABC的重心 .上述问题可概述为 :P ,Q为△ABC的两边AB ,AC上的两点 ,则PQ过△ABC的重心G的充要条件是ABAP+ ACAQ=3,本文将利用向量给出它的证明 .图 2　结论 1图结论 1　设OA ,OB ,OC为平面上不共线的三个非零向量 ,则A ,B ,C三点共线的充要条件是存在实数λ ,μ ,使得 OA =λOB + μOC ,其中λ + μ =1 .证　不妨设A在BC之间 ,若A ,…     

巧用欧拉线解题一例

文[1]中对2005年全国卷的一道向量题的解法进行了探究,原题如下:△ABC的外接圆圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m(OA+OB+OC),则实数m=.图1由于该题涉及到三角形的外心和垂心,我们知道三角形的外心、重心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.这里笔者尝试想通过欧拉线来解决这道高考连A与BC中点D交OH于G,因为△ABC的重心既在中线AD上,又在欧拉线OH上,故G为△ABC的重心.又因为点O为外心,点H为垂心,所以OD⊥BC,AH⊥BC,则OD∥AH,所以△DOG∽△AHG.则AHOD=AGOG=2.所以OH=OA+AH=OA+2OD=OA+OB+O…     

从三角形的垂心谈起--向量方法的一个应用

本文将三角形的垂心概念推广到圆内接四边形和圆内接五边形当中去 ,并且同时给出关于垂心的一条重要性质 .本文主要应用向量方法 .首先给出两条简易的引理 ,本文不加证明 .引理 1　设M是线段AB的中点 ,O为任意一点 ,则有OM =12 (OA+ OB) .引理 2　设G是△ABC的重心 ,O为任意一点 (在或不在△ABC所决定的平面上 ) ,则有OG=13(OA+ OB+ OC) .现在从三角形的垂心谈起 .图 1设O是△ABC的外心 ,OP⊥BC ,P是BC的中点 ,AQ是BC边上的高 (图 1 ) .在高AQ所在直线上取一点H ,使AH =2 OP ,则有OH =OA +AH=OA + 2OP=OA+ OB+ OC…     

平面向量基本定理的面积表示及其应用

在三角形ABC所在平面内有一点O,由平面向量基本定理知,向量AO可以用三角形的边向量表示为AO=λ1AB λ2AC,其中λ1,λ2是唯一确定的.如何确定系数λ1,λ2是用好用活平面向量基本定理的关键.我们在教学中反思、研究、总结发现:在三角形中平面向量基本定理可以用面积表示.定理O为∠ABC所在区域内一点,SB,SC,S分别表示△AOC,△AOB,△ABC的面积,则AO=图1三角形SBSAB SSCAC.证当点O不在直线AB,AC上时,如图1,延长(或连接)AO交BC于D,过D点分别作AC和AB的平行线交AB和AC边所在的直线于E,F.因为AO=||AAOD||AD,又AD=AE …     

一个三角形重心向量性质的空间拓广

利用平面向量的知识,三角形有以下性质:图1[1]如图1,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=xAB,AN=y AC,则1x 1y=3.证∵点G是△ABC的重心,∴GA GB GC=0,∴-AG (AB-AG) (AC-AG)=0,∴AG=13(AB AC).又∵M,N,G三点共线(A不在直线MN上),∴AG=λAM μAN(且     

三点共线向量结论的应用

<正>若OA(向量)=λOB(向量)+μOC(向量)(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.大家知道上面这个结论是平面向量中判断三点共线的重要依据,其实这个结论的作用不仅仅如此,下面通过几个题来体会它的妙用.例1平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC(向量)=αOA(向量)+βOB(向量),其中α、β∈R且α+β=1,则点C的轨迹方程为_____.     

三角形与三棱锥的重心向量性质的逆定理

文[1]讨论了三角形重心的一个向量性质,并将其推广至三棱锥中.命题1过△A0A1A2的重心G作直线与A0A1,A0A2分别交于B1,B2两点,且A0B1=λ1A0A1,A0A2=λ2A0A2(λ1,λ2为非零实数),则有1λ1 1λ2=3.命题2过三棱锥A0-A1A2A3的重心G作平面与侧棱A0Ai交于点Bi,且A0Bi=iλA0Ai(iλ≠0,i=     

也谈三角形五“心”向量形式的充要条件

文 [1 ]给出了三角形五“心”向量形式的充要条件 ,文 [2 ]对内心和旁心的结论加以了改进 .本文先给出三角形所在平面上任意一点的向量形式 ,然后由此推得三角形五“心”向量形式的一组充要条件 ,这组充要条件不仅具有简捷、美观的特点 ,而且还有较强的实用性 .命题　 1若O是△ABC形内 (或周界上 )一点 ,则S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 ;2若O是△ABC形外一点且与A位于直线BC的两侧 ,则-S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 .图 1　三角形　　　　　　　图 2　三角形　　证　如图 1 ,以O为原点 ,OA所在直线…     

赏析一道高考题

我们先看2007年陕西卷中的一道题： 如图1，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且｜OA｜=｜OB｜=1，｜OC｜=2√3，若OC=λOA＋μOB（λ，μ∈R），则λ＋μ的值为___。     

巧用三点共线 妙解向量问题

<正>若两个向量OA、OB不共线,根据平面向量基本定理我们知道,向量OP与向量OA、OB共面的充要条件是:存在唯一实数对λ、u,使OP=λOA+μOB,在这个定理中,如果规定λ+u=1,则我们就有如下定理及推论成立.定理如果两个向量OA、OB不共线,并且向量OP=λOA+μOB,则P、A、B三点共线的充要条件是λ+u=1.     

定比分点向量式的推广

1问题提出如图1,若AC=λCB,则OC=OA+λOB/1λ.这个结论便是线段的定比分点的向量表达式笔者在研究向量的线性表示问题时,产生了将此结论推广到平面及空间的想法.于是提出了以下两个问题.问题1如图2,已知点M是不在△ABC三     

三角形的一个向量性质及其在空间的拓广

本文将给出与三角形的中线有关的一个向量性质,并将其推广到空间.图1定理1如图1,G为给定△OAB的边AB的中点,D为中线OG上一定点(异于点O),过D点任作一直线,分别交OA、OB于M、N,设OM=x OA,ON=y OB,则1x 1y=定值.证明∵G是AB边的中点,∴OG=12(OA OB).∵D为中线OG上的一定点,∴OD、     

“重心”在手中 “五心”皆成功——三角形“五心”的向量统一表示

众所周知,点P是△ABC重心的充要条件是→(PA)+→(PB)+→(PC)=0.下面本文将从三角形重心出发,推出三角形“五心”的向量的两种统一表示方法[1].1 问题提出先请看下列经常出现在高考和竞赛中的向量问题:问题1 设△ABC内一点P满足m→(PA)+n→(PB)+l→(PC)=0(m,n,l为正常数),分别用Sa、Sb、Sc表示△BPC、△CPA、△APB的面积(下同),求Sa∶Sb∶Sc.分析 所给的向量等式与三角形的重心向量等式很相似,是否可以将它转化为三角形的重心呢?     

三角形的一个向量性质及其空间拓广

文[1]、文[2]、文[3]及文[4]对一个三角形重心向量性质进行了探讨,笔者阅读后深受启发,得到了三角形的一个向量性质,并进行空间拓广.图1三角形定理1如图1所示,已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,过P作直线AB,AC两边分别交于M,N两点,且A     

三角形四心的向量表达式

高中数学新教材中,利用定比分点的向量表达式,可以简捷地推导出三角形的重心、内心、垂心、外心的向量表达式. 如图,在△ABC中,F是AB上的一点,E是Ac上的一点,且AF/FB=m/l.AE/EC-n/l(通分总可以使两个异分母分数化为同分母分数),连结CF、BE交于点D,求D点的坐标.     

三角形中的一个共点性质

本文给出三角形中的一个共点性质,并兼证三角形重心的一个向量性质与三角形内心的一个向量性质． 性质 点M是△ABC内一点,直线BM交边AC于点E,直线CM交边AB于点F,过点M的直线分别交AB、AC于点P、Q,AF^→=mAB,AE^→=nAC^→,AP^→=xAB^→,AQ^→=yAC^→,则1-m/my＋1-n/nx=1-mn/mn.     

平面向量基本定理中λ_1和λ_2的求法

《全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)数学第一册(下)》第106页给出了平面向量的基本定理:“如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量α,有且只有一对实数λ1、λ2,使α=λ1e1 λ2e2·”那么如何求λ1、λ2呢?本文试图给出几种在解题时经常用到的方法,与同学们共同探讨. 一、直接法通过几何图形,由向量e1、e2出发求得向量α,从而求出实数λ1、λ2. 例1 如图1,在△OAB的边OA、OB上分别取M、N,使OM:OA=1:3,ON:OB=1:4,设线段AN和线段BM交于P点,且设OA=α,OB=b,若OP=ta sb,求s、t的值.     

直线的向量参数方程的推广及应用

新人教必修4第二章平面向量：已知A、B是直线L上任意两点,O是L外一点,则对直线L上任意一点P,存在实数t,使O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=（1-t）O→A＋tOB→,此向量等式叫做直线L的向量参数方程式,其中实数t叫做参数,并且满足A→P=tAB→.若点P是平面内任意一点,向量O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=→λOA＋B→μO,当λ＋μ=1时,点P在直线L上,当λ＋μ≠1时,点P在哪？就这个问题做一下探讨,供参考.     

“三角形正则点问题”研究集锦 关于三角形正则点研究的新进展综述

编者按　本刊 1999年第 6期发表了孙四周老师“关于三角形一个新点的发现及初探”(以下简称《初探》)一文 ,称“三角形所在平面内关于其三边的对称点构成正三角形的点”为该三角形的正则点 ,证明了 :当△ ABC最大角 A &;lt;12 0&;#176;时 ,形内有唯一正则点 ;A =12 0&;#176;时 ,BC边上有唯一正则点 ;A &;gt;12 0&;#176;时 ,正则点在形外 ,并猜想 :( 1)非等边三角形有两个正则点 ,至多一个在形内 ;( 2 )当三角形有两个正则点时 ,已知一个 Z满足ZA =bcλ,ZB =caλ,ZC =abλ,则另一个 Z′满足 :Z′A =bcλ′,Z′B =caλ′,Z′C =abλ′,其中　λ =b2 +c2 - 2 bccos( A +60&;#176;) ,λ′=a2 +b2 - 2 abcos( C - 60&;#176;) .( 3)并非所有 n ( n &;gt;3)边形都存在各自的正则点 .此后 ,本刊陆续收到有关文章数篇 ,现予摘发 (以收文时间先后为序 )1.杨学枝老师审阅文《初探》时指出 ,λ即三角形费马和 .2 .正则点的一条性质 :设△ ABC内的正则点 Z到三边 a、b、c的距离依次为 r1、r2 、r3,则r1=ab...