The loss of laminar flow stability in non-isothermal flow of plastic disperse systems through circular pipes

Summary Various methods for the evaluation of stability loss conditions for the flow of non-elastic non-Newtonian fluids in circular pipes are considered. Equations are derived for the calculation of stability parameter critical value for non-linear viscoplastic liquids based on the integral value of the kinetic energy of the flow. Computation results by both this method and local stability parameter method are compared with experimental data. The advantages of the first of these methods are shown for pseudo-plastic liquids with behaviour index below 0.5 and viscoplastic fluids with generalized Hedstrom number above 5 10⁴. Defined are stability parameters for non-isothermal flow of non-linear viscoplastic fluid obeying the Bulkley-Herschel equation with and without regard to motion energy dissipation. The effect of rheological properties dependence from temperature and heat flux direction on laminar flow stability is determined. The results of numerical calculations for different variants are presented.

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Zusammenfassung Es werden verschiedene Methoden zur Abschätzung des Stabilitätsverlustes (d. h. des Umschlagens von der laminaren in die turbulente Strömungsform) bei der Strömung nicht-elastischer nicht-newtonscher Flüssigkeiten in Kreisrohren betrachtet. Gleichungen zur Bestimmung der kritischen Werte des Stabilitätsparameters für nichtlinear-viskoplastische Flüssigkeiten werden abgeleitet, die auf der Größe der gesamten kinetischen Energie der Strömung basieren. Rechenergebnisse sowohl für diese Methode als auch die Methode der lokalen Stabilität werden mit experimentellen Ergebnissen verglichen. Die Vorzüge der erstgenannten Methode werden für strukturviskose Flüssigkeiten mit einem Indexn unter 0,5 und für viskoplastische Flüssigkeiten mit einer Hedström-Zahl größer als 5 10⁴ aufgezeigt. Es werden weiter Stabilitätsparameter für nicht-isotherme Strömungen nichtlinearviskoplastischer Flüssigkeiten definiert, die der Bulkley-Herschel-Gleichung gehorchen, wobei die Energiedissipation sowohl berücksichtigt als auch vernachlässigt werden kann. Die Wirkung der Abhängigkeit der rheologischen Eigenschaften von der Temperatur und der Richtung des Wärmestroms auf die Stabilität der laminaren Strömung wird untersucht. Für eine Anzahl von verschiedenen Bedingungen werden numerisch berechnete Beispiele vorgestellt.

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With 8 figures and 1 table     

Einige Bemerkungen zum Fließverhalten elasto-viskoser Flüssigkeiten in stationären Schichtströmungen

Zusammenfassung Es wird untersucht, auf welche Weise die rheologischen Eigenschaften elasto-viskoser Flüssigkeiten bei verschiedenen Strömungsformen der Klasse der stationären Schichtströmungen zutage treten und evtl. einer Messung zugänglich gemacht werden können. Behandelt werden im einzelnen die Scherströmung zwischen zwei ebenen parallelen Platten, die Torsionsströmung im Kegel-Platte-, im Parallelplatten-Viskosimeter und inReiners Zentripetal-Vakuum-Pumpe, dieCouette-Strömung zwischen zwei koaxialen Zylindern und schließlich die allgemeine geradlinige Strömung unter konstantem Druckgefälle. Dabei werden vor allem Kriterien für die verschiedenen Quereffekte abgeleitet. Zum Schluß werden die Ergebnisse in Bezug auf einige experimentelle und theoretische Befunde diskutiert. Dabei geht es um die Frage, ob elasto-viskose Flüssigkeiten existieren, deren Normalspannungs-Verhalten durch zwei unabhängige Funktionen bestimmt ist, oder ob allen realen Flüssigkeiten nur eine einzige derartige Funktion zuzuordnen ist.Herrn Dr.W. Meskat danke ich für die Förderung der vorliegenden Untersuchung.     

Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten bei stationärer und periodischer Bewegung

Zusammenfassung Verschiedene Typen von Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten werden besprochen, und es werden vor allem experimentelle Realisierungen derselben mitgeteilt, wobei als Versuchsflüssigkeit wäßrige Lösungen von Polyacrylamid Verwendung finden.Aus der Klasse der stationären Bewegungen werden Strömungen in geradlinigen Rohren von beliebigem Querschnitt und in gekrümmten Rohren von kreisförmigem Querschnitt unter einem konstanten Druckgradienten, sowie Strömungen um drehsymmetrische Körper, die um ihre Symmetrieachse rotieren, behandelt. Für den letztgenannten Fall wird u. a. das Gegeneinanderwirken von Viskoelastizitäts- und Trägheitseinflüssen aufgezeigt.In der Klasse der periodischen Bewegungen wird zuerst kurz auf die Strömung in einem geradlinigen Rohr von beliebigem Querschnitt unter einem alternierenden Druckgradienten eingegangen. Anschließend wird die Strömung um drehsymmetrische Körper, welche um ihre Symmetrieachse Rotationsschwingungen ausführen, untersucht. Dabei wird nicht nur eine stationäre Sekundärströmung in der Meridianebene, sondern außerdem auch eine solche in azimutaler Richtung nachgewiesen und als Folge der Unsymmetrie der anregenden periodischen Bewegung einsichtig gemacht. Schließlich wird gezeigt, daß im Innern eines Zylinders mit freier Flüssigkeitsoberfläche, der um seine Achse Drehschwingungen vollführt, eine unter Umständen recht komplizierte stationäre Sekundärströmung auftritt, und es wird deren Abhängigkeit von der Frequenz und der Füllhöhe untersucht.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Bad Nauheim am 8. April 1965.Zum Schluß sei Herrn Prof. Dr.K. Weissenberg (The Royal Institution, London) herzlich für die Mitteilung seiner unveröffentlichten Ergebnisse gedankt, die zur Durchführung der zuletzt beschriebenen Versuche angeregt haben. Herrn Dipl.-Ing.K. Feldkamp (Technische Hochschule Braunschweig) sowie meinen Mitarbeitern HerrnH. Stollorz und HerrnH. Pickelin danke ich für ihre Hilfe bei Planung und Bau der Apparaturen und bei der Durchführung der Versuche, meinem Kollegen Herrn Dr.J. Pawlowski für manche anregende Diskussion sowie für die Messung der Fließkurven. Den Farbenfabriken Bayer AG., insbesondere Herrn Dr.W. Meskat gebührt schließlich mein Dank für die Förderung der vorliegenden Untersuchung.     

Developing laminar flows with visco-elastic and non-Newtonian liquids

Summary Developing laminar flows have been studied experimentally in straight pipes of circular cross-section. Velocity profiles have been measured and entry lengths determined for the transition from an initially flat profile to the equilibrium form: flow visualisation using fine tracer particles was the technique used. It has been found that non-Newtonian (pseudo-plastic) fluids have significantly longer development regions than those corresponding to dynamically similar Newtonian conditions. Viscoelastic liquids depart even more from the simple case. The experimental evidence seems to indicate that elastic effects influence the flow field at two differing time scales, not only where the process time is of the same order of magnitude as the natural (relaxation) time of the liquid but also in much slower processes.

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Zusammenfassung Die Entwicklung von laminaren Strömungen wurde experimentell in geraden Rohren mit Kreisquerschnitt untersucht. Die Geschwindigkeitsprofile wurden gemessen und die Eintrittslängen bestimmt, die für den Übergang von dem ursprünglich flachen Profil zur Gleichgewichtsform nötig sind. Die Strömung wurde mit Hilfe von feinen Spurenteilchen sichtbar gemacht. Es zeigte sich dabei, daß nicht-Newtonsche Flüssigkeiten ein deutlich größeres Übergangsgebiet haben als solche, die sich auf dynamisch ähnliche Newtonsche Bedingungen beziehen. Viskoelastische Flüssigkeiten weichen stärker von dem einfachen Fall ab.Das Experiment scheint zu zeigen, daß elastische Effekte das Strömungsfeld in zwei unterschiedlichen Zeitmaßstäben beeinflussen: nicht nur in dem Bereich, in dem die Prozeßzeit von derselben Größenordnung ist wie die Relaxationszeit der Flüssigkeit, sondern auch bei wesentlich langsameren Prozessen.

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Zur Strömung viskoser Flüssigkeiten durch gewellte Rohre

Zusammenfassung Die Strömung zäher nicht-newtonscher Flüssigkeiten durch gewellte kreisförmige Rohre unter Wirkung eines axialen Druckgefälles wurde theoretisch und experimentell untersucht. Das besondere Interesse galt dabei der durch die Wellung veränderten Druck-Durchsatz-Charakteristik. Die theoretischen Betrachtungen beziehen sich auf den Grenzfall hinreichend langer Wellen, wo sich der Querschnitt des Flüssigkeitsfadens in Strömungsrichtung nur langsam ändert und sowohl die Trägheit als auch die Elastizität der Flüssigkeit eine untergeordnete Rolle spielen. In dieser Näherung konnte der Durchsatz in Abhängigkeit vom Druckgefälle und den nichtlinearen Fließeigenschaften der Flüssigkeit für beliebige Wellenamplituden analytisch bestimmt werden. Die theoretischen Ergebnisse sind in Einklang mit experimentellen Befunden.

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The flow of a non-Newtonian fluid driven by an axial pressure gradient through a corrugated pipe of circular cross-section is analysed theoretically and realized experimentally. Particular attention is directed toward the pressure-discharge characteristics of the pipe which change due to the corrugation. A theory is developed for the limiting case of corrugations with long wave-length, where the cross-section of the pipe varies gradually in the flow direction and the effects of inertia and elasticity of the fluid are of minor importance. Within such a long-wave approximation the flow rate, in dependence on the applied pressure drop and on the non-linear viscous properties of the fluid, is determined analytically for arbitrary wave amplitudes. The theoretical results are in agreement with experimental findings.

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Pulsierende Druckströmung hochpolymerer Schmelzen im kreisförmigen Kanal

Zusammenfassung Es werden theoretische und experimentelle Untersuchungen pulsierender Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten in einem kreisförmigen Kanal durchgeführt. Unter Voraussetzung einer eindimensionalen, isothermen und vollentwickelten Strömung in Anwesenheit sinusförmiger Druckgradientenschwankungen wird für die rheologische Zustandsgleichung von Bird-Carreau eine asymptotische Lösung erzielt. Die Ergebnisse weisen darauf hin, daß sowohl die relative Amplitude der Ausstoßschwankungen als auch die relative Änderung des mittleren Ausstoßes sich in einer allgemeinen Form darstellen läßt, die bezüglich der Temperatur und der relativen Amplitude der Druckgradientenschwankungen invariant ist. Die theoretischen Ergebnisse werden mit experimentellen Daten für ein Polyethylen niederer Dichte verglichen. Dabei wird eine gute Übereinstimmung der Theorie mit dem Experiment festgestellt.

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Theoretical and experimental studies were carried out on the pulsating flow of viscoelastic liquids through a circular channel. By assuming the flow to be one-dimensional, isothermal, and fully developed and the Bird-Carreau constitutive equation to be applicable, an asymptotic solution was found. The results obtained indicate that both the relative amplitude of pulsation of the output and the relative change in the average output may be presented in a generalized form that is independent of the relative amplitude of the pressure pulsations and temperature. The theoretical results were verified experimentally for a low-density polyethylene. Good agreement was found between the theory and the experimental data.

     

Das Druckströmungsfeld in zylindrischen Fließkanälen mit beliebigem Querschnitt)

Zusammenfassung Es wird eine Näherungsrechnung behandelt, die es in vielen Fällen ermöglicht, die zweidimensionale stationäre Strömung Newtonscher Flüssigkeiten in zylindrischen Fließkanälen mit beliebigem Querschnitt zu berechnen. Für die gesuchte Funktion der Geschwindigkeitsverteilung wird ein Lösungsansatz gewählt, der eine Anzahl unbestimmter Parameter enthält. Dieser Ansatz wird in die die Bewegung beschreibenden Differentialgleichungen eingesetzt. Die freien Parameter im Lösungsansatz werden nun so bestimmt, daß die Differentialgleichung und ggf. die vorliegenden Randbedingungen möglichst gut erfüllt werden. Dies geschieht mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate, die die Summe der Fehler bzw. Fehlerquadrate zum Minimum macht. Die Geschwindigkeitsverteilung liegt damit in Form einer Funktion der Ortskoordinaten vor, mit der ggf. in einfacher Weise weitergerechnet werden kann. Das Verfahren wird an einigen Beispielen erläutert.Vortrag auf dem Darmstädter Kunststoff-Kolloquium am 21. März 1969.Alle numerischen Rechnungen wurden an der elektronischen Datenverarbeitungsanlage TR4 des Rechenzentrums der Universitgt Stuttgart durchgefiihrt.Für die Erm6glichung und Diskussion dieser Arbeit danke ieh Herrn Prof. Dr.-Ing. G. Sehenkel.Herrn Dr.-Ing.E. Steck sei an dieser Stelle für wertvolle Hinweise und Diskussionen gedankt.     

A potential theory for the steady separated flow about an aerofoil section

Summary An incompressible potential flow theory is used to determine the steady separated flow about an aerofoil. The theory permits a continuous variation from fully-attached (Joukowski) flow to fully-separated (Helmholtz) flow, with the Kutta condition always satisfied at the trailing edge, and with the position of the separation point as an assignable parameter to determine the flow configuration. The method is also applicable to other flows such as that about a flat plate with a rear free-stream flap.

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Eine Potentialtheorie für stationäre abgelöste Strömung um ein Tragflügelprofil

Übersicht Zur Bestimmung der stationären abgelösten Strömung um einen Tragflügel wird eine Potentialtheorie für inkompressible Strömung benutzt. Die Theorie erlaubt eine stetige Variation von vollständig anliegender Strömung (Joukowski) bis zu vollständig abgelöster Strömung (Helmholtz), wobei stets die Kutta-Bedingung an der Flügelhinterkante erfüllt ist und die Lage des Ablösepunktes ein Parameter ist, der das Strömungsbild festlegt. Die Theorie läßt sich auch auf andere Strömungen, etwa um eine ebene Platte mit rückseitiger Freistrahlklappe, anwenden.

     

Beeinflussung der Turbulenzstruktur in der ebenen Mischungsschicht zweier Ströme durch Polymerzusätze

Zusammenfassung Ausgehend von der Frage, ob beim Phänomen der Widerstandsverminderung (Toms-Effekt) die Wirkung der Polymeren nur auf die Strömung in den wandnahen Bereichen beschränkt ist oder eine solche auch in wandferneren Gebieten gefunden werden kann, hat die vorliegende Untersuchung zum Ziel, den Einfluß derartiger Zusätze in der sog. Freien Turbulenz zu analysieren, bei denen also keine Wechselwirkungen mit festen Wänden vorhanden sind. Als besonders einfaches Beispiel einer solchen Strömung wurde diejenige in einer ebenen turbulenten Mischungsschicht ausgewählt, die sich zwischen zwei mit verschiedener Geschwindigkeit bewegten Parallelströmen ausbildet. In derartigen Strömungen existiert eine charakteristische Wirbelstruktur, die von einer turbulenten Mikrostruktur überlagert wird, und es sollte untersucht werden, wie diese Strukturen sich bei Zugabe von widerstandsvermindernden Polymeren ändern.Als Untersuchungsmethode wurde die raum-zeitliche Korrelationsanalyse mittels Laser-Doppler-Anemometern verwendet. Da aber die bekannten Systeme hierfür nur bedingt einsetzbar sind, wurde eine für diesen Zweck besser geeignete optische Anordnung neu entwickelt.Als wichtigstes Ergebnis wurde gefunden, daß durch den Polymerzusatz die Intensität und die Kohärenzlänge der turbulenten Makrostrukturen erheblich anwachsen, wohingegen die turbulenten Mikrostrukturen weitgehend unterdrückt werden. Größe und Abstand der Wirbel werden zwar verkleinert, doch wird ihre Aufeinanderfolge vergleichmäßigt, und ihre Lebensdauer nimmt entsprechend zu. Weiter wurde nachgewiesen, daß die mit der Polymerzugabe verbundene Viskositätserhöhung nicht die Hauptursache für diese Effekte sein kann, da solche bei newtonschen Flüssigkeiten mit vergleichbarer Viskosität längst nicht in so ausgeprägter Weise auftreten.Das ebenfalls beobachtete verringerte Dickenwachstum vor allem im Anfangsbereich der Mischungsschicht in Verbindung mit einer Verstärkung der Intensität der langsameren turbulenten Längsschwankungen legt die Deutung nahe, daß durch die Hauptströmung infolge Entknäuelung und Orientierung der Polymermolekeln eine Fließanisotropie erzeugt wird. Dagegen läßt sich die Verlangsamung des Wirbelwachstums und die Unterdrückung der Mikroturbulenz am ehesten durch die Behinderung lokaler Dehnströmungen infolge einer stark erhöhten Dehnviskosität erklären. Die Vorstellung, daß bei den Austauschvorgängen in einer freien turbulenten Mischungsschicht die Flüssigkeitseigenschaften keine Rolle spielen, ist somit durch diese Untersuchung als zumindest für viskoelastische Flüssigkeiten nicht zutreffend nachgewiesen worden.

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An important question concerning the phenomenon of drag reduction (Toms effect) is whether the influence of polymer additives is restricted to regions near the wall or whether it also extends to the core. Therefore the aim of the present investigation was to analyse the influence of such additives on socalled free turbulence in which there are no interactions with rigid walls. A plane turbulent mixing layer formed between two parallel streams moving with different velocities was chosen as a particularly simple example of such a flow. There exists in these flows a characteristic vortex structure with a superimposed turbulent micro-structure. The influence on these structures of an addition of drag reducing polymers was investigated.Space-time correlation analysis using Laser-Doppler Anemometry was chosen as the technique for investigating the turbulent flow field. Because commercially available systems are not particularly well suited for such measurements, a special optical arrangement was developed.The most important result was that the polymer additive significantly raised the intensity and coherence length of the turbulent macro-structure whereas the turbulent micro-structure was strongly attenuated. The size and separation of the vortices were decreased but their occurrence became more regular and their lifetimes increased. Furthermore it was demonstrated that the viscosity increase associated with the addition of polymer could not be the main reason for these effects, as such effects were far less pronounced in Newtonian liquids of comparable viscosity.The slower growth in the thickness of the mixing layer, observed particularly in the initial region, as well as the increase in the intensity of the slower longitudinal turbulent fluctuations suggest that the main flow induces a flow anisotropy as a result of uncoiling and orientation of the polymer molecules. On the other hand the decrease in the vortex growth rate and the suppression of the micro-turbulence can best be explained by a hindrance of local extensional flows resulting from a strong increase in the extensional viscosity. The notion that fluid properties do not play a role in the process of momentum exchange in a free turbulent mixing layer has been shown by these investigations to be inappropriate at least for viscoelastic liquids.

Von der Abteilung Chemietechnik der Universität Dortmund genehmigte Dissertation; auszugsweise vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Aachen vom 5.–7. März 1979 und auf dem VIII. Internationalen Rheologie-Kongreß in Neapel vom 1.–5. September 1980.     

Verschiedene Phänomene in Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten durch Düsen

Zusammenfassung In Fortsetzung einer vorangegangenen Untersuchung über nicht-lineare Effekte beim Strömen viskoelastischer Flüssigkeiten durch Düsen werden drei verschiedene Phänomene behandelt:Zuerst wird gezeigt, daß Luftblasen und Feststoffteilchen, die in solchen Flüssigkeiten suspendiert sind in vielen Fällen nicht durch die Düse hindurchgehen. sondern seitlich auswandern und sich in den Zirkularströmungszonen anreichern. Dieser Effekt wird durch die Inhomogenität des Spannungsfeldes im Einströmbereich gedeutet.Anschließend wird die zuerst vonMetzner u. Mitarb. an Lösungen sehr hochmolekularer Polymerer beim Einströmen beobachtete Trübung genauer analysiert und insbesondere gezeigt, daß diese nicht vom Druck an der Auslaufseite abhängt. Hierdurch wird die Vermutung, daß es sich um einen Entgasungseffekt infolge lokalen Unterdrucks handeln könnte, als unhaltbar erwiesen, und es wird wahrscheinlich gemacht, daß die Ursache in einer reversiblen Aggregation der parallel gerichteten, gestreckten Molekülketten zu suchen ist.Endlich wird die Ausströmung aus Lochdüsen in ein Flüssigkeitsreservoir hinein untersucht. Im Widerspruch zu gewissen theoretischen Voraussagen beobachtet man hier keine Zirkulationszonen, sondern eine überall auswärts gerichtete, von der Mitte zum Rand hin monoton abnehmende Strömung, die — abgesehen von einer Krümmung der Stromlinien in unmittelbarer Nähe der Düsenöffnung — nur wenig von der schleichenden Strömung einerNewtonschen Flüssigkeit abweicht. Bei hohen Durchsätzen tritt allerdings ein von den Instabilitätsphänomenen inNewtonschen Flüssigkeiten wesentlich verschiedener Umschlag in eine ganz andere Strömungsform ('bäumchenartige Strömung) auf, die der bei Freistrahlen beobachteten 'Zwiebelablösung korrespondiert. Diese wird ebenfalls durch die vor der Düse gebildeten Aggregationen und deren endliche Zerfallszeit gedeutet. Es wird einsichtig gemacht, warum die Approximationstheorie, welche für Einlaufströmungen durchaus vernünftige Voraussagen liefert, für Auslaufströmungen versagen muß.

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Summary In continuation of a preceding investigation of non-linear effects in viscoelastic flow through dies three different phenomena are analyzed:First it is shown that air bubbles and solid particles, suspended in such fluids, in many cases do not pass through the die, but migrate laterally and accumulate in the neighbouring circulation zones. This effect is explained by the inhomogeneity of the stress field in the inflow area.Subsequently the haze, first observed byMetzner et al. in the inflow zone with solutions of long-chain polymers, is studied particularly, and it is shown that its intensity does not depend on pressure at the outflow side. Hereby the suggestion that this haze should be a degassing phenomenon due to local pressure reduction below atmospheric is shown to be maintainable no longer, and it is pointed out as being very likely to originate from a reversible aggregation of parallelized, elongated chain molecules.Finally, discharge out of holes into a fluid reservoir is studied. In contradiction to certain theoretical predictions, a flow everywhere directed outwards and monotonously decreasing from the midst to the walls with no circulation areas at all is observed which only deviates from slowNewtonian, flow by some curvature of stream lines near the outlet. With high flow rates, however, a transition occurs into a quite different flow type (tree-like outflow) which is characteristically divergent from instability phenomena inNewtonian fluids but corresponds to onion slide-down in free jets. This is also explained by aggregation before entering the die and its finite decay time. It is elucidated why approximation theory, which provides reasonable predictions for inflow, must fail for discharge flow.

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Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin vom 20.–22. Mai 1968

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Für Entwurf und Bau der Versuchsapparaturen sei HerrnH. Stollorz, für die Durchführung der Experimente HerrnH. Pickelin herzlich gedankt.     

Die langsame Strömung einer einfachen viskoelastischen Flüssigkeit durch einen endlich breiten Spalt

Zusammenfassung Es wird die zweidimensionale schleichende Strömung einer einfachen viskoelastischen Flüssigkeit durch einen endlich breiten Spalt mit Hilfe einer Störungsrechnung untersucht. Dabei wird vorausgesetzt, daß die Relaxationslänge klein gegen die Spaltbreite ist.Für einige Werte der Strömungsparameter werden Ergebnisse für die Geschwindigkeitsverteilung im Spalt, den Stromlinienverlauf und die Reibungsspannungen graphisch dargestellt und diskutiert. Obwohl wegen der Beschränkung der Lösungsmethode die bei Experimenten beobachteten Zirkulationsströmungen nicht beschrieben werden können, zeigen die Ergebnisse, daß die Tendenz der Abweichung vom newtonschen Verhalten in die gleiche Richtung geht.

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Summary The two-dimensional creeping flow of a simple viscoelastic fluid through a finite gap located in an infinitely wide plate is analysed by using a perturbation method.Solutions for the streamline pattern, the velocity distribution in the gap and the stress components are derived and discussed. Because of the restrictions of the perturbation method no circular flow, as observed in some experiments, is predicted, but the results indicate at least some tendencies into this direction.

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Mit 8 Abbildungen     

Calibration of and measurements on a rheogoniometer by means of a small computer

Summary In this paper we propose a method for measurements with and calibration of the Weissenberg Rheogoniometer by means of a small computer.For Newtonian fluids we found that the dynamic viscosity is changed by a superposition of a steady shear flow on an oscillatory one, dependent on the direction of the steady shear flow.

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Zusammenfassung In diesem Aufsatz wird eine neue Methode zur Eichung eines Weissenberg-Rheogoniometers und für das Messen mit diesem Apparat dargestellt. Wir haben an newtonschen Flüssigkeiten beobachtet, daß die dynamische Viskosität bei der Überlagerung einer stationären und einer oszillierenden Scherströmung je nach der Richtung der stationären Strömung ihren Wert ändert.

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With 3 figures     

The flow field of Newtonian fluids in cone and plate viscometers with small gap angles

Summary The flow of a Newtonian fluid in cone-plate viscometers is determined by solving the Navier-Stokes equations. It is shown in an order-of-magnitude analysis that the governing equations can be simplified and that the flow field can be split into two parts, if the angle between cone and plate is small. A closedform solution for the inner flow field is established through an iteration procedure. The zeroth-order solution in which the convective terms are neglected is inserted into the governing equations which then can be integrated again. The outer flow field is also described analytically. The solution satisfies the boundary condition of the vanishing radial velocity component at the free surface. The flow is described throughout the whole gap. Velocity components, pressure distributions, torque and normal force due to inertia are calculated. Pressure distributions and the maximum radial velocity are measured. The free surface boundary condition is experimentally examined.

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Zusammenfassung Es wird die Strömung einer newtonschen Flüssigkeit in Kegel-Platte-Rheometern beschrieben. In einer Größenordnungsabschätzung wird gezeigt, daß die beschreibenden Gleichungen vereinfacht werden können und daß das Strömungsfeld in zwei Teile aufgeteilt werden kann, wenn der Winkel zwischen Kegel und Platte klein ist. Eine geschlossene Lösung für den inneren Bereich wird durch eine Iteration erhalten. Die Lösung nullter Ordnung, in der die Konvektion vernachlässigt ist, wird in die beschreibenden Gleichungen eingesetzt, die dann nochmals integriert werden. Das äußere Strömungsfeld wird ebenfalls analytisch bestimmt. Die Lösung erfüllt die Randbedingung der verschwindenden Radialkomponente an der freien Flüssigkeitsoberfläche. Die Strömung wird im gesamten Scherspalt beschrieben. Geschwindigkeitskomponenten, Druckverteilung, Drehmoment und Normalkraft aufgrund von Trägheitskräften werden berechnet. Druckverteilungen und maximale Radialgeschwindigkeiten werden gemessen. Die Randbedingung an der freien Flüssigkeitsoberfläche wird experimentell untersucht.

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With 14 figures and 4 tables     

The laminar flow of plastic disperse systems in circular tubes

Summary The present work offers an analysis of the regularities of the flow of plastic disperse systems (PDS) as applied to the Bulkley-Herschel three-constant rheological equation. Theoretical data on the velocity profile distribution have been confirmed by experiments on the device, in which the flow structure was studied by the method of the frozen flow. By introducing expressions for the generalized Bingham and Reynolds numbers for non-linear viscoplastic bodies, formulas have been obtained for the calculation of the resistance coefficient of a hydrodynamically stabilized flow; the formulas for power law liquids and the Schwedoff-Bingham model follow from it as special cases. The results of the calculations are in good accord with experimental data for various PDS. A nomogram is given for the determination of the resistance coefficient in engineering calculations.Finally the present work considers the flow in the initial hydrodynamic zone of the tube. An analysis is given of the existing methods used for the solution of the problems and it is shown that the method used in this work for numerical calculation of simplified equations of continuity and motion provides sufficient accuracy. The results of numerical calculations are compared with the literature data, and these results are used for the analysis of the development of the flow of nonlinearly viscoplastic bodies in the initial zone. Relations are given for the determination of the length of the initial zone and of the increase of the resistance to flow due to the formation of the velocity profile. With account taken of this resistance, formulas have been derived for the calculation of pressure losses during the flow of PDS in tubes, including the initial zone.

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Zusammenfassung Es wird die Rohrströmung plastischer disperser Systeme (PDS), welche mittels einer drei-konstantigen Stoffgleichung nachBulkley undHerschel beschrieben werden können, untersucht. Das theoretisch berechnete Strömungsprofil wird durch Experimente unter Verwendung von Strömungs-Sichtbarmachungs-Methoden bestätigt. Durch Einführung geeignet definierter verallgemeinerter Bingham- und Reynolds-Zahlen für nicht-linear viskoplastische Stoffe werden Formeln zur Berechnung des Widerstandsbeiwerts einer hydrodynamisch stabilisierten Strömung erhalten; die Formeln für Ostwald-de Waele-Flüssigkeiten und Schwedoff-Bingham-Körper sind als Spezialfälle darin enthalten. Die berechneten Ergebnisse stimmen gut mit den bei verschiedenen PDS erhaltenen experimentellen Daten überein. Für ingenieurmäßige Rechnungen wird ein Nomogramm zur Bestimmung des Widerstandsbeiwerts mitgeteilt.Schließlich wird noch die Strömung im Einlaufbereich des Rohrs betrachtet. Die für die Lösung dieses Problems bekannten Methoden werden analysiert, und es wird gezeigt, daß die hier verwendete numerische Methode unter Zugrundelegung von vereinfachten Gleichungen für Kontinuität und Bewegung eine hinreichende Genauigkeit liefert. Die Ergebnisse der numerischen Rechnung werden mit aus der Literatur bekannten Daten verglichen, und diese werden dann zur Analyse der Entwicklung der Strömung von nichtlinear-viskoplastischen Stoffen in der Einlaufzone herangezogen. Es werden Beziehungen zur Bestimmung der Länge der Einlaufzone und der Vergrößerung des Widerstands infolge der Abweichung des Profils von der stationären Form angegeben. Durch Einbeziehung des erhöhten Einlaufwiderstands werden Formeln abgeleitet, mit denen sich der Druckverlust beim Fließen von PDS in Rohren unter Berücksichtigung der Einlaufzone berechnen lassen.

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With 11 figures and 2 tables     

Die Orientierung hantelförmiger Teilchen in Scherströmungen viskoelastischer Flüssigkeiten

Zusammenfassung Die Untersuchung behandelt die Orientierung von länglichen Teilchen in Scherströmungen viskoelastischer Flüssigkeiten. Als Modell hierfür werden starre Hanteln ohne rotatorischen Freiheitsgrad der Hantelkugeln benutzt. Bei Beschränkung auf schleichende Strömungen werden für eine Flüssigkeit zweiter Ordnung zunächst die Kraft- und Drehmomentbeiträge berechnet, die von der Flüssigkeit auf eine ruhende Kugel ausgeübt werden, sowie die für die spätere Berücksichtigung der Wechselwirkung der Hantelkugeln benötigten Anteile des Druck- und Geschwindigkeitsfeldes zweiter Ordnung.Mit Hilfe dieser Ergebnisse werden anschließend die stabilen und labilen Gleichgewichtslagen einer an die Scherebene gebundenen Hantel ohne und mit Berücksichtigung der Wechselwirkung der Hantelkugeln bestimmt. Weiter wird diskutiert, welche Aussagen man aus Beobachtungen an Kugeln oder Hanteln in der Scherströmung einer viskoelastischen Flüssigkeit über deren Stoffverhalten gewinnen kann.In einem abschließenden experimentellen Teil werden dann die theoretischen Ergebnisse an einer 0,1%-igen wäßrigen Polyacrylamid-Lösung durch Versuche an Kugeln und Hanteln überprüft. Obgleich diese Flüssigkeit im untersuchten Schergeschwindigkeitsbereich nicht mehr durch das Modell einer Flüssigkeit zweiter Ordnung beschrieben werden kann, findet man eine qualitative Bestätigung der vorausgesagten Orientierungseffekte. Außerdem werden einige weitere Verhaltensweisen ausgeprägt viskoelastischer Flüssigkeiten beobachtet.

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Summary Orientation effects of slender particles are investigated in shear flow of viscoelastic fluids. As a model for such particles rigid dumbbells are used without freedom of rotation of the dumbbell spheres. For slow flow at first the force and torque contributions are calculated, which are exerted from a second-order fluid on a rigid sphere at rest. In addition the required second-order parts of the pressure and velocity field are evaluated to consider later the interaction between the dumbbell spheres.From these results the stable and unstable orientation angles of a dumbbell in the shear plane are determined. This is done with and without taking into account the interaction effects. Furthermore it is discussed, which information about the material behaviour is available from observations of spheres or dumbbells in shear flow of a viscoelastic liquid.In conclusion the theoretical predictions are tested by experiments with spheres and dumbbells in a 0.1% aqueous solution of polyacrylamide. Even though this liquid cannot be described by the model of a second-order fluid in the range of shear rate applied, the predicted orientation effects are qualitatively confirmed. Moreover some other properties of highly viscoelastic fluids are observed.

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Von der Abteilung Chemietechnik genehmigte Dissertation; auszugsweise vorgetragen auf dem Euromech-Kolloquium No. 49 in Jabonna (Polen) vom 2.–5. April 1974 und der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin vom 28.–30. April 1975.

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Mit 9 Abbildungen und 1 Tabelle     

Zur Stabilität der ebenen schleichenden Dehnströmung einer allgemeinen Flüssigkeit mit freier Oberfläche

Zusammenfassung Die ebene schleichende Dehnströmung mit freier Oberfläche, die etwa beim Ziehen von dünnen Folien auftritt, wird auf Stabilität untersucht. Dabei wird eine frühere Untersuchung, die nur newtonsche Flüssigkeiten behandelt und stets Instabilität liefert, auf Fluide mit endlichem Gedächtnis verallgemeinert. Es zeigt sich, daß die Frage nach einem etwaigen stabilisierenden Einfluß endlicher Relaxationszeiten für verschiedene Flüssigkeiten unterschiedlich beantwortet werden muß. So liefern ein Maxwell- und ein Doi-Edwards-Fluid zwar wie im newtonschen Fall angefachte Lösungen, jedoch nimmt bei der Maxwell-Flüssigkeit die Anfachungsrate mit steigender Relaxationszeit ab, während sie beim Doi-Edwards-Fluid zunimmt.

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The stability of planar creeping extensional flow with a free surface, that may occur in sheet stretching, is investigated. For that purpose a former investigation that only deals with Newtonian fluids and which always leads to instability, is generalized to fluids with finite memory. It is shown, that finite relaxation times have different influences on stability for different materials. Thus a Maxwelland a Doi-Edwards fluid give unstable solutions like a Newtonian fluid, but in the case of a Maxwell fluid the rate of growth of the disturbances decreases with growing relaxation time, while it increases in case of a Doi-Edwards fluid.

     

Einfluß der Kanalgeometrie auf die pulsierende Druckströmung viskoelastischer Flüssigkeiten

Zusammenfassung Hiermit wird die in der Arbeit [1] dargestellte theoretische Erfassung der pulsierenden Strömung viskoelastischer Flüssigkeiten im kreisförmigen Kanal auf Breitschlitz- und Ringspaltkanäle verallgemeinert. Unabhängig von der Kanalgeometrie lassen sich sowohl die relative Amplitude der Ausstoßschwankungen als auch die relative Veränderung des mittleren Ausstoßes in einer einheitlichen Form ausdrücken, indem die Schergeschwindigkeit an der Kanalwand in der stationären Strömung passend definiert wird.

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A theoretical approach to the pulsating flow of viscoelastic liquids through a circular channel presented earlier has been generalized to include the case of slit and annular ducts. Irrespective of the geometry of the channel, both the relative amplitude of pulsation of the output and the relative change in the average output can be presented in a uniform manner by an appropriate definition of the shear rate at the wall of the channel under steady flow conditions.

     

Die Bestimmung der wahren Fließkurven nicht-newtonscher Flüssigkeiten und plastischer Stoffe mit der Methode der repräsentativen Viskosität

Zusammenfassung Nach Bereitstellung der Grundbeziehungen und einem kurzen Überblick über die bekannten Methoden zur Umrechnung von scheinbaren in wahre Fließkurven, die hier beispielhaft auf die Kanal-, Rohr-, Torsions- und Couette-Strömung angewendet werden, wird die ursprünglich als Approximationsverfahren eingeführte Methode der repräsentativen Viskosität zu einer exakten Methode verallgemeinert. Diese Methode läßt sich als eine im allgemeinen nicht-lineare Transformation der Abszisse der scheinbaren Viskositätskurve interpretieren, von der das bisher bekannte Approximationsverfahren eine lineare Näherung darstellt.Die exakte Methode wird auf die oben genannten Viskosimeterströmungen angewendet, wobei außer Potenzreihenentwicklungen für die scheinbaren Fließkurven zur Veranschaulichung auch die speziellen Fließgesetze der Ostwald-de Waele-, Rabinowitsch- und Reiner-Philippoff-Flüssigkeiten, sowie der plastischen Stoffe nachHerschel-Bulkley, eingeschlossen den Spezialfall der Bingham-plastischen Stoffe, in die Untersuchung einbezogen werden. Dabei erkennt man, daß die Methode ihre spezifischen Vorteile weitgehend einbüßt, sobald nicht-lineare Transformationen benötigt werden. Man kann allerdings die Approximationsgüte der linearen Transformation u. U. noch erheblich steigern, wenn man — entgegen dem ursprünglichen Konzept — einige aus der scheinbaren Fließkurve ganz einfach abzulesende Informationen, z. B. die mittlere Steigung bei doppelt-logarithmischer Auftragung, in Ansatz bringt. Dies wird am Beispiel einer Flüssigkeit mit ausgeprägter Scherentzähung demonstriert.

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Summary Preliminaries of the paper are a recollection of the basic relations and a short survey on the familiar methods for the conversion of fictitious flow curves (consistency curves) into real ones (i.e. plots of the rheological equations) as well as an exemplification by applying these to channel-, tube-, torsional and Couetteflow. After that the method of representative viscosity, up to now only introduced as an approximation method, is generalized to an exact method. It may be interpreted as an in general non-linear transformation of the abscissa of the fictitious viscosity curve, the hitherto known technique coming out to be a linear approximation.The exact method is applied to the above mentioned viscometric flows. Besides expansions of the fictitious flow curve into power series the special rheological equations of power-law (Ostwald-de Waele) fluids, Rabinowitsch- and Reiner-Philippoff-fluids as well as of plastic materials of theHerschel-Bulkley and, as a special case,Bingham types are enclosed for illustration, too. By this it becomes evident that the method loses its specific advantages largely as soon as non-linear transformations are required. On the other hand the quality of the linear approximation may considerably be increased if one introduces—in contrast to the original concept — only a few informations which can simply be obtained from the flow curve, e.g. the average inclination from a double-logarithmic plot. This is exemplified with a fluid showing marked shear thinning flow properties.

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Mit 15 Abbildungen

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Herrn Dr. phil.W. Meskat zum 70. Geburtstag gewidmet     

Viscometric flows of anisotropic fluids

Summary A brief introduction to the continuum theory for nematic liquid crystals is given. The problem of simple shearing flow is examined in some detail using this theory and some of the difficulties that arise are discussed. It is shown that under reasonable simplifying assumptions, useful asymptotic formulae can be found for the apparent viscosity in many viscometric flows.

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Zusammenfassung Es wird eine kurze Einführung in die Kontinuumstheorie nematischer Flüssigkristalle gegeben. Die Theorie wird benutzt, um das Problem der einfachen Scherströmung ausführlich zu behandeln. Einige der auftretenden Schwierigkeiten werden erörtert. Es wird gezeigt, daß unter vernünftigen vereinfachenden Annahmen nützliche asymptotische Formeln für die scheinbare Viskosität in vielen viskometrischen Strömungen gefunden werden können.

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With 4 figures and 1 table     

Instationäre Rohrströmung viskoelastischer Flüssigkeiten—Maßnahmen zur Durchsatzsteigerung

Übersicht Die stationäre Druckströmung einer nichtlinear-viskoelastischen Flüssigkeit durch ein gerades Rohr wird durch instationäre Maßnahmen wie die periodische Bewegung der Rohrwand oder die Überlagerung eines oszillierenden Druckgefälles so verändert, daß der Durchsatz unter Umständen erheblich ansteigt. Es wird eine Theorie mit dem Ziel entwickelt, den bei instationärer Rohrströmung geförderten mittleren Volumenstrom als Funktion der äußeren Parameter und der Stoffkonstanten der Flüssigkeit darzustellen und die Bedingungen für eine Durchsatzsteigerung gegenüber der stationären Vergleichsströmung zu finden. Die Strömung wird als langsam vorausgesetzt, so daß die konstitutive Gleichung einer allgemeinen Flüssigkeit vierter Ordnung zugrunde gelegt werden kann. Dadurch werden sowohl die nichtlinearen Fließeigenschaften als auch das Gedächtnis der Flüssigkeit berücksichtigt. Die analytischen Ergebnisse besitzen trotz der komplizierten Stoffeigenschaften überschaubare Struktur und lassen sich unter Verwendung geeigneter Dimensionsloser kompakt darstellen. Sie geben insbesondere Aufschluß über die Bedingungen größtmöglichen Durchsatzes.

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Summary If unsteady influences such as a periodic motion of the wall or an oscillating pressure drop are superimposed on a steady flow of a nonlinear viscoelastic fluid through a stright pipe, the mean volume discharge per unit time may increase considerably under certain circumstances. A theory is developed the aim of which is to find the mean flow rate in unsteady pipe flows as a function of the parameters of the problem including the material constants of the fluid and to become familiar with the conditions under which the mean rate of discharge exceeds that of the steady base flow. The flow is assumed to be slow so that the constitutive equation of a fourth order fluid can be used. By that the shear thinning properties as well as the memory of the fluid are taken into account. In spite of the rather complicated constitutive equation, the analytical results have a simple structure and can be written in a concise form by making use of suitable dimensionless darameters. They, especially, give information about the conditions for the greatest possible mean volume pischarge per unit time.