Symmetries in trees and parking functions

We investigate a particular symmetry in labeled trees first discovered by Gessel, which can be stated as follows: In the set of rooted labeled trees on n+1 vertices rooted at the smallest vertex, the number of trees with a descents and b+1 leaves equals the number of trees with b descents and a+1 leaves. We present two new ways to prove the symmetry resulting from decompositions of trees, which lead to three different bijections from trees to trees in which leaves and descents are swapped. We also interpret the symmetry in terms of parking functions: the number of parking functions on [n] with a descents and b unfavorable spaces (defined in this paper) equals the number of parking functions on [n] with b descents and a unfavorable spaces. We conclude with a generalization of these results to binary trees.RésuméNous étudions une symétrie particulière dans les arbres étiquetés, découverte par Gessel, qu'on peut énoncer comme suit: Dans l'ensemble des arbres étiquetés pointés avec n+1 sommets, pointés au sommet minimum, le nombre d'arbres avec a descentes et b+1 feuilles égale le nombre d'arbres avec b descentes et a+1 feuilles. Nous présentons deux nouvelles démonstrations de la symétrie, qui resultent des décompositions des arbres; à partir des décompositions, nous obtenons trois bijections des arbres sur les arbres qui échangent les feuilles et les descentes. De plus, nous interprétons la symétrie en termes des “fonctions de stationnement” (parking functions): le nombre des fonctions de stationnement avec a descentes et b positions défavorables (définies dans cette article) égale le nombre de fonctions de stationnement avec b positions défavorable et a descentes. Nous donnons aussi une généralisation de ces resultats aux arbres binaires.     

Transformations conformes des espaces symétriques pseudo-riemanniens

Résumé Nous donnons une classification algébrique des espaces symétriques pseudo-riemanniens localement conformément plats. Nous en déduisons la liste exhaustive (à revÊtement homothétique près) des espaces symétriques pseudo-riemanniens possédant soit un champ de vecteurs conforme non homothétique soit une transformation conforme non homothétique.     

Gap effect on moiré patterns

Résumé Nous analysons les caractéristiques principles des lignes de moiré produitues par des réseaux, dont les deux plans ne coïncident pas, illuminés par la lumière diffuse et non cohérente.Nous étudions, les aspects physiques de la formation des lignes de moiré et obtenons des équations qui donnent les valeurs des déformations fictives produites par la non-coïncidence des plans du réseau témoin et du réseau déformé.Les résultats théoriques sont comparés avec les mesures expérimentales. L'écart constaté entre les deux valeurs correspond aux erreurs expérimentales.     

Déformations des cônes de vecteurs primitifs

Résumé  Pour un groupe réductif connexe complexe G, on classifie les modules simples dont le c?ne des vecteurs primitifs admet une déformation G-invariante non triviale. On relie cette classification à celle (due à Akhiezer) des variétés projectives lisses dont les orbites sous l’action d’un groupe algébrique affine connexe sont un diviseur et son complémentaire. Notre principal outil est le schéma de Hilbert invariant d’Alexeev et Brion; on en détermine les premiers exemples. On détermine aussi les déformations infinitésimales (non nécessairement G-invariantes) des c?nes des vecteurs primitifs; elles sont triviales pour presque tous les modules simples.

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Ce travail a été partiellement soutenu par le réseau Liegrits MRTN-CT 2003-505078.     

Les lois de Cauchy sur les bouts de l'arbre homogène

Sommaire Nous définissons les lois de Cauchy sur l'espace des bouts d'un arbre homogène comme les probabilités invariantes par les sous-groupes compacts maximaux (déjà caractérisés par J. Tits) du groupe des automorphismes de l'arbre. L'article donne alors les analogues pour ces lois des résultats de Knight-Meyer et de Letac sur les lois de Cauchy dans R ^d.

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Summary We define the Cauchy distributions on the set of ends of the homogeneous tree as the probabilities invariant by the maximal compact subgroups of the automorphism group of the tree (the maximal subgroups have already been described by J. Tits). The paper proves the statements about these laws which are analogous to the Knight-Meyer and Letac's results on the Cauchy distributions in R ^d.

     

Rückwirkungsfreie Strahlpositionssonde mit intensitätsunabhängiger Positionsanzeige

Résumé Nous décrivons un moniteur de faisceau qui permet de déterminer la position d'un faisceau pulsé à l'intérieur d'un tube. Il est constitué par deux bobines placées des deux côtés du faisceau, dans lesquelles des signaux sont induits par les paquets d'ions parcourant le tube. A l'aide d'un multiplexeur les signaux sont alternativement appliqués à l'entrée d'un récepteur superhéterodyne, muni d'un système de contrôle automatique de volume. Après l'amplification, les signaux sont de nouveau séparés au moyen d'un démultiplexeur et ensuite redressés avec des polarités opposées. A l'aide d'un sommateur les deux signaux redressés sont additionnés et finalement intégrés par un intégrateur. Grâce au contrôle automatique de volume, la tension d'erreur ainsi produite est, dans certaines limites, indépendante de l'intensité du faisceau.     

Ensembles régénératifs de la droite

Résumé La théorie des ensembles régénératifs stationnaires de la droite a été étudiée récemment par Taksar (Regerative sets on real line — Séminaire de probabilités XIV, Lecture Notes in Mathematics 784, Springer 1980). Dans le présent article, nous développons une théorie des ensembles régénératifs de la droite (non nécessairement stationnaires) à partir d'une définition extrêmement maniable, nouvelle même pour les ensembles régénératifs de ₊, et nous retrouvons de manière simple les résultats de Taksar concernant le cas stationnaire.     

Représentation des fonctionnelles surmédianes

Summary Considérons la théorie du potentiel définie par un noyau de Hunt: si F est une fonction complètement additive de certaines mesures et croissante en ordre du balayage, il existe une (classe de) fonction borélienne représentant F; c'est le résultat principal de ce travail, et il se révèle extrêmement commode pour l'étude des fonctions fortement surmédianes.On en déduit un théorème de convergence du type de Cartan-Brelot pour les familles monotones de fonctions fortement surmédianes, et un critère de compacité relative inspiré de celui de Dunford-Pettis. On précise les termes de la décomposition de Mertens à l'aide du cône C des fonctions fortement surmédianes quasi-s.c.s. modérées.Comme application, on introduit et on étudie la «quasi-topologie fine» et les ensembles réguliers.Toute cette étude repose presque uniquement sur deux propriétés fondamentales, à savoir d'une part le caractère régularisant des opérateurs de réduction, et d'autre part la grande propriété des ensembles semi-polaires qui se trouve originellement chez R.M. Hervé [8] et dont nous donnons ici une version un peu plus forte.Dans un deuxième chapitre, nous signalons les généralisations possibles, et nous obtenons sans affaiblissement les mêmes énoncés en théorie des résolvantes de Ray ou en théorie des surmartingales.     

Un codage sofique des automorphismes hyperboliques du tore

Resumé Nous étudions les propriétés géométriques et algébriques du codage des automorphismes hyperboliques du tore défini dans [L3]. Nous donnons également des preuves détaillées pour la construction de ce codage qui diffère en plusieurs points de celle proposée (indépendamment) dans [KV].

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We study geometrical and algebraic properties of the coding for hyperbolic automorphisms of the torus defined in [L3]. We also give the detailed construction of this coding which differs from the one independantly proposed in [KV] in several points.

     

The N-dimensional matching polynomial

Heilmann et Lieb ont introduit le polynôme de couplage μ(G, x) d’un graphe G = (V, E). Nous prolongeons leur définition en munissant chaque sommet de G d’une forme linéaire N-dimensionnelle (ou bien d’un vecteur) et chaque arête d’une forme symétrique bilinéaire. On attache donc à tout r-couplage de G le produit des formes linéaires des sommets qui ne sont pas saturés par le couplage, multiplié par le produit des poids des r arêtes du couplage, où le poids d’une arête est la valeur de sa forme évaluée sur les deux vecteurs de ses extrémités. En multipliant par (−1)^r et en sommant sur tous les couplages, nous obtenons notre polynôme de couplage N-dimensionnel. Si N = 1, le théorème principal de l’article de Heilmann et Lieb affirme que tous les zéros de μ(G, x) sont réels. Si N = 2, cependant, nous avons trouvé des graphes exceptionnels où il n’y a aucun zéro réel, même si chaque arête est munie du produit scalaire canonique. Toutefois, la théorie de la dualité développée dans [La1] reste valable en N dimensions. Elle donne notamment une nouvelle interprétation à la transformation de Bargmann–Segal, aux diagrammes de Feynman et aux produits de Wick.Heilmann and Lieb have introduced the matching polynomial μ(G, x) of a graph G = (V, E). We extend their definition by associating to every vertex of G an N-dimensional linear form (or a vector) and to every edge a symmetric bilinear form. For every r-matching of G we define its weight as the product of the linear forms of the vertices not covered by the matching, multiplied by the product of the weights of the r edges of the matching, where the weight of an edge is the value of its form evaluated at the two vectors of its end points. Multiplying by (−1)^r and summing over all matchings, we get our N-dimensional matching polynomial. If N = 1, the Heilmann–Lieb theorem affirms that all zeroes of μ(G, x) are real. If N = 2, however, there are exceptional graphs without any real zero at all, even if the canonical scalar product is associated to every edge. Nevertheless, the duality theory developed in [La1] remains valid in N dimensions. In particular, it brings new light to the Bargmann–Segal transform, to the Feynman diagrams, and to the Wick products.Received: February 2004 Revision: July 2004 Accepted: August 2004     

Propagation of moments and regularity for the 3-dimensional Vlasov-Poisson system

Summary We prove that, if the initial data has moments inv higher than three, then the solution of Vlasov-Poisson has also moments inv higher than three. We deduce from this different regularity results on the local density, the force field or the solution itself. Also we give a new uniqueness result, and new regularity results for solutions satisfying only the energy andL bounds. Our proofs are based on a new representation formula and logarithmic estimates for the force field.

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Résumé Nous montrons que, si la donnée initiale possède des moments env plus élevés que trois, alors la solution de l'Equation de Vlasov-Poisson a aussi des moments plus élevés que trois. Nous en déduisons différents résultats de régularité sur la densité locale, le champ de force ou la solution elle-même. Nous donnons également un nouveau résultat d'unicité et de nouveaux résultats de régularité pour les solutions vérifiant uniquement les estimations d'énergie et les bornesL . Nos démonstrations sont fondés sur une nouvelle formule de représentation et des estimées logarithmiques sur le champ de force.

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Oblatum 14-I-1991     

Théorème de Merle: cas des 1-formes de type courbes généralisées

Resumé Cet article contribue à l'étude des 1-formes holomorphes de type courbes généralisées. Nous observons que deux 1-formes de type courbes généralisées ayant les mêmes séparatrices partagent certaines propriétés. Nous en déduisons que dans le cas d'une unique séparatrice, son type topologique est déterminé par ses invariants polaires. Nous commençons donc par étendre la notion d'invariant polaire aux 1-formes holomorphes de type courbes généralisées. Nous étudions ensuite le polygone de Newton d'une 1-forme holomorphe pour mesurer le contact de la séparatrice d'une 1-forme holomorphe de type courbe généralisée avec ses courbes polaires. Nous terminons la preuve par une formule à la Plücker.     

k-Eulerian Posets

A poset P is called k-Eulerian if every interval of rank k is Eulerian. The class of k-Eulerian posets interpolates between graded posets and Eulerian posets. It is a straightforward observation that a 2k-Eulerian poset is also (2k+1)-Eulerian. We prove that the ab-index of a (2k+1)-Eulerian poset can be expressed in terms of c=a+b, d=ab+ba and e ^2k+1=(a–b)^2k+1. The proof relies upon the algebraic approaches of Billera-Liu and Ehrenborg-Readdy. We extend the Billera-Liu flag algebra to a Newtonian coalgebra. This flag Newtonian coalgebra forms a Laplace pairing with the Newtonian coalgebra ka,b studied by Ehrenborg-Readdy. The ideal of flag operators that vanish on (2k+1)-Eulerian posets is also a coideal. Hence, the Laplace pairing implies that the dual of the coideal is the desired subalgebra of ka,b. As a corollary we obtain a proof of the existence of the cd-index which does not use induction.     

Sur les hypergraphes invariants

Cet article regroupe queiques remarques sur les relations d'inclusion entre aretes et ensembles le sommets dans un hypergraphe et sur la classe des hypergraphes H dont les stables maximaux sont les transversaux minimaux de H^c, hypergraphe des complémentaires des arêtes de H. Les hypergraphes uniformes (en particulier les graphes), duaux de graphes et hypergraphes conformes ayant cette propriéte sont caractérisés.     

Sharp estimates of the energy for the solutions of some dissipative second order evolution equations

We establish precise estimates of the energy decay for certain second order dissipative problems concentrating our attention on the effect of the nonlinearity on the constants depending on the initial data in such estimates. In general, when damping terms are superlinear such constants turn out to be superlinear functions of the initial energy. We consider nonlinear terms growing either polynomially or exponentially and apply our results to some concrete partial and ordinary differential equations. In certain particular cases, the optimality of the obtained estimates is also proved.

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Résumé On établit des estimations très précises de la décroissance de l'énergie pour des solutions des problèmes dissipatifs de second ordre, en veillant a élucider la façon dont le terme non linéaire agit sur les constantes dépendant des données initiales qui apparaissent dans ces estimations. En général, pour des terms de frottement a croissance surlinéaire, ces constantes sont aussi des fonctions surlinéaires de l'énergie initiale. Nous considérons des nonlinearités à croissance polynômiale ou exponentielle, en appliquant les resultats obtenus a plusieurs exemples d'équations différentielles ordinaires et équations aux dérivées partielles. Dans certains cas particuliers, on montre également l'optimalité des estimations établies.

     

Calcul stochastique non adapté pour des processus à deux paramètres: formules de changement de variables de type Stratonovitch et de type Skorohod

Résumé Nous établissons une formule de changement de variables de type Stratonovitch pour des processus non adaptés indéxés par [0, 1]² qui est analogue à celle existant en calcul déterministe. Pour cela nous définissons une intégrale de Stratonovitch simple (resp. double): Nous en déduisons une formule de changement de variables de type Skorohod ne contenant pas d'intégrale curviligne. Nous utilisons des régularisations du processus de Wiener obtenues par convolution avec une approximation de l'unité.

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Summary We prove a Stratonovitch-type change of variable formula for anticipative processes on [0, 1]². The formula is the same as the existing one from deterministic calculus. In order to do so we define simple and double Stratonovitch integrals. We deduce a Skorohod-type change of variable formula which does not contain any line integral. Our method consists in using regularization of the Wiener process obtained by convolution.

     

Estimations inférieures du noyau de la chaleur sur les variétés coniques et transformée de Riesz

Résumé Nous complétons les estimations supérieures du noyau de la chaleur sur les variétés coniques obtenues dans [13] par des estimations inférieures, et nous en déduisons quune variété à croissance polynomiale du volume peut vérifier des estimations supérieures et inférieures gaussiennes du noyau de la chaleur sans que la transformée de Riesz y soit bornée sur L^p pour tout p > 2.     

Action localement libres du groupe affine

Résumé SoitGA le groupe des transformations affines de préservant l'orientation. Nous étudions les actions localement libres deGA sur les 3-variétés fermées. Il s'avère que ces actions sont remarquablement rigides, ce qui permet de les étudier à conjugaison différentiable près. Nous classifions complètement ces actions sous l'hypothèse qu'elles préservent une forme de volume puis nous montrons que cette hypothèse est inutile si la variété ambiante est une sphère d'homologie réelle. Comme application, nous obtenons un résultat de rigidité pour certains groupes fuchsiens: un nombre fini de paramètres suffit pour décrire, à conjugaison différentiable près, les déformations de ces groupes dans Diff( ).