直线向量的参数形式在解题中的运用

全日制普通高级中学数学教科书(实验修订本·必修)第二册(下B,P_(28))(人民教育出版社, 2003)给出共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a =λb.其中介绍一个推论:如果L为经过点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对于任一点     

共线与共面向量定理的引申与应用

定理1 （共线向量定理）：对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是，存在实数λ使a=λb。（见高中教材第二册（下B））     

向量学习中的误区

误区一“实数α、b、c,由αb=αc,α≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确. 例1 取夹角为45°,|c|=1/2,α与c的夹角为0°. 显然a·b=a·c=-1/2,但b≠c. 误区二“如果αb=0,那么α、b中至少有一个为零”在向量推理中不正确. 例2 已知 ,α与b的夹角为90°,则有 的夹     

相似椭圆的性质再探

由文[1]的定义,我们把椭圆E1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)和E2:x2/a2+y2/b2=λ(λ>0,λ≠1)称为相似椭圆(可以证明:两相似椭圆有相同的离心率),文[2],[3],[4]给出了相似椭圆的一些性质,本文再给出相似椭圆的若干性质.     

一类重特征方程Goursat问题解的存在性中的离散现象

本文讨论下述Goursat问题■在原点的邻域中解析解的存在性(其中a,b,c为常数).结果如下:(i)若b≠1,3,5,…,则对任何解析函数ψ(x),问题(G_(a,b,c))恒有解析解;(ii)若b=2j+1(j≥0为整数),则问题(G_(a,b,c))有解析解的充要条件为 λφ~((j))(0)+φ~((j+2))(0)=0,若λ≠0, φ~((j+2l))(0)=0,l=1,2,…,若λ=0,其中λ=c-a~2/4,φ(x)=ψ(x)exp(ax/2). 在(i),(ii)两种情形中,均具体给出了解的形式.     

向量共线的理解性错误

<正>我们判断向量共线与三点共线的常用方法有向量共线定理及其推论,仔细推敲,发觉向量共线定理与推论当中存在容易产生误解的地方,本文就此误解的成因做一简要的分析。向量共线定理向量(?)b与(?)a(a≠O)共线的充要条件是存在实数λ,使(?)b=λa(?)。     

向量的数量积与数的乘法的若干区别

1)两向量的数量积是个数量 ,而不是向量 .它的值为两向量的模与其夹角余弦的乘积 ,其符号是由夹角θ(0≤θ≤π)决定的 .θ为锐角 ,数量积为π ;θ为钝角 ,数量积为负 ;θ为直角 ,数量积为零 ;θ =0 ,a·b =|a| |b| ,a·a =|a| 2 ,(a±b) 2 =a2 ± 2a·b +b2 =|a| 2 ±2 |a| |b| + |b| 2 ,(a +b)·(a -b) =a2 -b2 =|a| 2 -|b| 2 ;θ =π ,a·b =- |a| |b| .2 )对于实数a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0可推出b =0 .而对向量a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0不能推出b =0 .这是因为任一与a垂直的非零向量b ,都有a·b =0成立 .3)已知非零实数a ,b ,c,则…     

定比分点的应用

设 A( x1,y1) ,B( x2 ,y2 ) ,点 P( x,y)分有向线段 AB—— 所成的比 APPB=λ(λ≠ 1 ) ,则 x =x1 λx21 λ ,y =y1 λy21 λ .且当 P为内分点时λ>0 ;当 P为外分点时λ<0 (λ≠ - 1 ) ;当 P与A重合时λ=0 ;当 P与 B重合时λ不存在 .这就是定比分点的含义 .它在解析几何中的广泛应用是大家熟知的 ,如果我们注意充分挖掘定比分点的内涵 ,还不难发现它在其它一些非解几问题中的应用 .1　 用于比较数的大小例 1　已知 a >0 ,b >0 ,0 相似文献   

平面向量基本定理的应用举例

平面向量基本定理:如果e1,e2 是同一平面内两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2 ,使a =λ1e1+λ2 e2 .这是一个重要的定理,它反映了在基底向量e1,e2 确定的前提下,平面向量分解的唯一性.利用此唯一性可解决一类有趣的问题,课本的例、习题对这个定理在此方面的应用反映并不充分,本文提供一些范例供大家学习时参考.例1　求证:平行四边形ABCD的对角线互相平分.图1　例1图证明　如图1 ,设AB =a ,AD =b ,AC与BD相交于O ,AO =λAC =λ(a +b) ,BO=μBD =μ(a -b) .则b =AB =AO -BO =λ(a+b) - μ(a-…     

非齐次对称特征值问题

引言 用SR~(n×n)表示所有。n×n实对称矩阵的集合。R~n表示n维线性空间。||·||_2表示向量的Euclid范数或矩阵的谱范数。 本文研究如下问题: 问题ISEP 给定矩阵A∈SR~n×n和向量b∈R~n,求实数λ和向量X∈R~n使得 AX=λX+b, (1) ||X||_2=1. (2) 若b=0,则问题ISEP就是通常的实对称矩阵特征值问题,若b≠0,则问题ISEP称为非齐次对称特征值问题,使(1)和(2)式成立的数λ和向量X分别称为非齐次特征值和相应的非齐     

借用向量分解定理巧求f(x0)的范围

已知函数 f ( xi) ( i =1,2 ,3 ,… )的范围 ,求 f( x0 )的范围 .笔者在同行们研究的基础上 ,借用向量分解定理 ,使这类问题的解决更加简单、明了 ,可操作性强 ,便于实施 .例 1　已知一次函数 f( x) ,1≤ f ( 1)≤2 ,3≤ f ( 2 )≤ 4,试确定 f( 5 )的范围 .解　设一次函数为 f( x) =ax + b,则　 f( 1) =a+ b,f( 2 ) =2 a+ b,f( 5 ) =5 a+ b.记　 p1→ =a+ b,p2→ =2 a+ b,p=5 a+ b显然 p1→ ,p2→ 不共线 ,根据向量分解定理p=λ1 p1→ +λ2 p2→ 　 (λ1 ,λ2 为实数 ) ,即　 5 a+ b=λ1 ( a+ b) +λ2 ( 2 a+ b…     

平面向量 复数

5.1　向量的概念及运算内容概述1.向量是区别于数量的一种量 ,它由大小和方向两个因素确定 .向量有三种表示法 :一是用有向线段 ,二是用字母 a或 AB,三是用坐标 a =(x,y) .注意共线向量 (也称平行向量 ,方向相同或相反的向量 )与相等向量 (方向相同且模相等 )的联系与区别 .2 .向量的运算有加法、减法、数乘向量和向量的数量积四种 .注意前三种向量运算的几何表示和四种运算的坐标表示 .3.向理的基本定理及相关性质(1)两个非零向量平行的充要条件 :a∥ b　 　 a =λb.设 a =(x1,y1) ,b =(x2 ,y2 ) ,则a∥ b　 　 x1y2 - x2 y1=0 .(2 )两…     

巧用平面向量基本定理解题

由平面向量基本定理容易推出下列结论：若两个向量a与b不共线。λ、u都是实数，则λa=ub→←λ=u=0．     

分式函数y=(ax-b)/(cx-d)的性质及其应用

分式函数 y =ax - bcx - d( c≠ 0 ,a2 b2 ≠ 0 ,ad - bc≠ 0 )是一个常见的函数 ,但教材没有专门研究并给出它的图象及其性质 ,所以 ,当研究与之相关的某些问题时 ,也就没有现成的性质可作为结论被直接引用 ,以至分析、解决某些问题时 ,不便单刀直入 ,优化解题过程 .为此 ,本文将从函数和方程的联系出发 ,运用解析法 ,通过讨论函数对应的方程的曲线的性质 ,从而得到函数的一些基本性质 ,为大家解决与之相关的某些问题提供可直接引用的结论 ,达到优化解题过程之目的 .1　函数的图象及其性质当 C≠ 0 ,a2 b2 ≠ 0 ,ad - bc≠ 0时 ,y =ax…     

一个定理及其应用

定理若a,b是有理数,m是无理数,且a+bm=0,则a=b=0. 证明(用反证法) (1)若6≠0,则m=-a/b,这个等式左边是一个无理数,而右边是一个有理数,显然错误,故b=0. (2)若a≠0,而已证b=0,则有a+bm=a=0,这与假设a≠0矛盾,所以a=0. 综合(1)与(2)知道:一定有a=b=0. 推论若a,b,C,d都是有理数,m是无理数,且a     

推广一个法向量 求解一类高考题

一、缘起 容易知道,在平面直角坐标系xOy中,过点A(a,0)和点B(0,b)的直线x/a+y/b=1(其中ab≠0)的一个法向量是n=(1/a,1/b). 把此结论推广到空间直角坐标系O-xyz中思考,就有以下结论. 二、定理 在空间直角坐标系O-xyz中,过三点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(其中abc≠0,ab≠0)的平面ABC的一个法向量是n=(1/a,1/b,1/c). 证明:因为→AB=(-a,b,0),则由n·→AB=(1/a,1/b,1/c)·(-a,b,0)=-1+1+0=0,知n⊥→AB.     

用等比性质解题

<正>等比性质如果a/b=c/d=……=m/n(b+d+……+n≠0),那么(a+c+……+m)/(b+d+……+n)=a/b.应用时注意以下三点:(1)注意准确记忆性质,关键是记住性质成立的条件即b+d+……+n≠0.(2)注意掌握性质的应用,性质的应用有两层意思:一是性质本身的应用,二是性质证明方法的应用.     

函数图象信息题的解法

解关于函数图象信息题 ,必须掌握正比例函数y=kx(k≠ 0 ) ,反比例函数y =kx(k≠ 0 ) ,一次函数y =kx b(k≠ 0 ) ,二次函数y=ax2 bx c(a≠ 0 )的有关性质 ,弄清函数中字母系数k ,a ,b,c在函数图象信息中所起的作用 ,才能快捷、正确地解这类题 .例 1　 (98年南京中考题 )双曲线y     

两端奇异微分算式乘积自伴域的实参数解描述

考虑区间(a,b)上的两端奇异n阶复值系数对称微分算式ly=∑n j=0aj(t)y(j)(t),在其最小算子的实正则型域为Π(T0(l))∩R=(-1,1)及l2 y在L2(a,c]与L2[c,b)中均是部分分离的条件下(c∈(a,b)是任意固定正则点),利用微分方程ly=±λ0y与ly=±μ0y的L2(a,b)解给出微分算式l2 y在区间(a,b)上的自共轭域的完全解析描述,其中λ0,μ0∈Π(T0(l))∩R,λ0,μ0≠0.     

Whc80部分的初步解决

对于函数 yi( x) =aix2 bix ci　 ( a1a2≠ 0 ,i =1 ,2 ) :研究两个二次函数迭加即y0 ( x) =y1( x) λy2 ( x)是否不变号 (定正或定负 )的判定性质时 ,杨之先生在文[1 ]Whc80中提出 :有无 y0 ( x)定号的简易判别或论证方法 ?多个函数迭加问题有无本质的区别 ?本文着手解决这个问题 .定理　对二次函数　 f1( x) =a1x2 b1x c1,　 f2 ( x) =a2 x2 b2 x c2 ,( ai,bi,ci ∈ R,i =1 ,2 ,a1a2 ≠ 0 ) ,存在λ使 f0 ( x) =f1( x) λf2 ( x)不变号 (定正或定负 ) ,当且仅当下列条件之一成立 :i)Δ1<0 ;　 ii)Δ2 <0 ;iii)Δ1=0 ,p =b1…