On polynomials orthogonal with respect to particular variable-signed weight functions

In this paper we examine the existence of polynomials orthogonal with respect to weight functions which are given by the product of a nonnegative (on the interval of orthogonality) function and a polynomial. In particular, we give some results when the polynomial factor is orthogonal with respect to the remaining (nonnegative) part of the weight function.

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Sommario In questo lavoro esaminiamo l'esistenza di polinomi ortogonali rispetto a funzioni peso date dal prodotto di una funzione non negativa (nell' intervallo di ortogonalità) per un polinomio. In particolare diamo alcuni risultati quando il fattore polinomiale è ortogonale rispetto alla rimanente parte (non negativa) della funzione peso.

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Work performed under the auspices of the Italian Research Council.     

Sull’operatore di pseudo prodotto

Riassunto Si studia il concetto di classe di algebre associato ad un insieme di identità regolari nel senso diPlonka [3] mediante un operatore di ?Pseudo prodotto? che viene introdotto.

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Summary We introduce an operator ?Pseudo prodotto? to study the concept of class of algebras associated to a set of regular equations (Pzonka [3]).

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del Consiglio Nazionale per la Matematica del C.N.R. (Contratto n. 115218205174 anno 1970).     

On the genus of 4-dimensional products of manifolds

Summary We determine bounds for the regular genus of any 4-manifold, which is a product of by a closed 3-manifold, or a product of two closed surfaces. This is done by an explicit construction of a graph representing the manifold, and by finding a minimal regular imbedding of it.

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Sunto Determiniamo una limitazione del genere regolare di una 4-varieta prodotto di per una 3-varieta chiusa, o prodotto di due superficie chiuse, costruendo esplicitamente un grafo che la rappresenta, e trovandone un'immersione regolare minimale.

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This work was performed under the auspieces of the G.N.S.A.G.A. of the C.N.R. (National Research Council) of Italy.     

Alcune osservazioni sul prodotto din forme lineari reali non omogenee

Sunto Se d(Λ)μ(ρ) è il minimo non omogeneo, rispetto al punto ρ, del prodotto di n forme reali omogenee, si studia la successione {μ(hρ)} al variare di h intero.

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Summary Let d(Λ)μ(ρ) the inhomogeneous minimum, in the point ρ, of the product of n homogeneous linear real forms. Some results on μ(hρ), for h an integer, are given.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del gruppo di ricerca n^o 40 del Comitato per la Matematica del C. N. R. (1961–62).     

Sul problema di Picard in ipotesi di Carathéodory

Sunto Viene studiato il problema di Picard per una equazione differenziale del secondo ordine di tipo iperbolico in due variabili, stabilendo, in ipotesi del tipo di Carathéodory e con dati al contorno assolutamente continui, dei teoremi di esistenza. La tecnica seguita per tale studio richiede la dimostrazione di alcuni criteri di compatezza rispetto alla convergenza quasi uniforme del tipo semiregolare nonchè di alcuni risultati concernenti la dipendenza da un parametro della soluzione di una equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Vengono anche utilizzati dei nuovi risultati sulla derivazione sotto il segno d’integrale recentemente stabiliti, altrove, dall’Autore.

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Summary The Picard problem for a second order partial differential equation of hyperbolic type in two variables is studied. Existence theorems are established under rather mild assumptions of Carathéodory type on the data. The technique used requires some compactness criteria with respect to a certain type of convergence, as well as some results, not be found in the current literature, about ordinary d.e. depending on a parameter and Leibnitz rule for derivation of an integral.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei Gruppi di ricerca matematica del C.N.R.     

Un’osservazione sulle classi metafiltrali

Sunto Si dimostrano alcuni risultati complementari a quelli di [1].

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Summary Some additional results to [1] are proved.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività del Comitato Nazionale per la Matematica del C.N.R. contratto 115218205174 (anno 1969).     

Analytic solutions to problems of radiative transport in an absorbing medium

A method is proposed for solving the linear integral equations governing some problems of radiation transport. The Fourier transform technique provides the solution as a convolution integral of the kernel and a series expansion in orthogonal functions. Two standard problems were considered as an application and the results given in comparison with those obtained by different approaches.

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Riassunto Si propone un metodo per risolvere le equazioni lineari integrali del trasporto radiativo. La tecnica della trasformata di Fourier fornisce la soluzione come integrale di convoluzione del kernel e di uno sviluppo in serie di funzioni ortogonali. Come applicazione si sono risolti due problemi classici ed i risultati si sono confrontati con quelli ottenuti mediante altri procedimenti.

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This work was partially supported by the Consiglio Nazionale delle Ricerche, Gruppo di Fisica Matematica.     

Su alcuni sistemi di equazioni integrodifferenziali (*)

Sunto Si studiano alcune classi di sistemi di equazioni integrodifferenziali stabilendo condizioni sufficienti per l'esistenza di soluzioni in senso generalizzato, con dati al contorno sommabili, che estendono alcuni noti risultati relativi a certe classi di sistemi di equazioni alle derivate parziali. In particolare sono anche estesi alcuni noti risultati sull'esistenza di soluzioni per il problema diDarboux per una equazione del secondo ordine di tipo iperbolico.

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Summary The existence of solutions of a certain type is shown for a class of integro-differential equations with L-integrable data. The results include the existence of generalized solutions of theDarboux problem for second order hyperbolic equations.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del Gruppo di ricerca n. 6 del Comitato per la Matematica del C. N. R. per l'anno accademico 1962–1963.     

Partial regularity for the solutions to nonlinear parabolic systems

Sunto Si estendono a sistemi non lineari di tipo parabolico alcuni risultati di regolarità parziale delle soluzioni di sistemi ellittici.

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Entrata in Redazione il 19 settembre 1972.

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Research supported in part by a C.N.R. fellowship at the University of Paris.

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Research partially supported by NSF Grant GP 16115.     

Sulla classe dei moltiplicatori di BV(Ω)

Riassunto Si studiano i moltiplicatori di BV(Ω): si danno risultati sulla struttura dello spazio dei moltiplicatori e se ne analizzano alcune proprietà.

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Summary We study the multipliers of BV(Ω): some results are proved concerning the space of multipliers and properties of its elements.

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Lavoro eseguito nell'ambito dello G.N.A.F.A.     

Conservation laws and growth of discontinuities in a reactive polytropic gas

Summary We shall consider a conservation law associated with a non-equilibrium gas flow with chemical reaction. Some results on the growth of discontinuities and the occurrence of breakdown of the solution are pointed out.

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Sommario Si prende in esame una legge di conservazione che viene associata alle equazioni che governano un gas in non equilibrio in cui avviene una reazione chimica. Si mettono in evidenza alcuni risultati sull'evoluzione delle discontinuita' e sulla eventuale perdita di regolarita' della soluzione.

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This work was partially supported by the G.N.F.M. (Gruppo Nazionale Fisica Matematica) of C.N.R.     

Some fixed-points theorems for multi-valued mappings in topological vector spaces

Sunto Si danno dei teoremi di punto fisso der trasformazioni multivoche non compatte, definite in un sottoinsieme convesso e chiuso di uno spazio lineare topologico, localmente convesso e di Hausdorff. Tali teoremi estendono alcuni noti risultati dovuti a Darbo, Sadovskij, Daneš ed altri.

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Work performed under the auspices of the National Research Council (C.N.R.).

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Entrata in Redazione il 18 maggio 1971.     

A stability problem for holonomic systems

Sunto Si studia il problema della stabilità di una posizione di equilibrio di un sistema meccanico olonomo soggetto ad una sollecitazione derivante da un potenziale del tipo U(q, t)=f(t) U*(q), conf funzione periodica, e ad una sollecitazione dissipativa. I risultati ottenuti estendono a sistemi con un numero finito qualsiasi di gradi di libertà risultati noti per sistemi ad un solo grado di libertà.

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Work performed under the auspices of the Italian Council of Research (C.N.R.): National Group of Mathematical Physics (G.N.F.M.), and Italian Ministry of Public Education (M.P.I.).

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The author wishes to thank professors S.Busenberg and L.Salvadori for many useful discussions.     

Sull’equilibrio di una massa fluida in rotazione

Riassunto In questa nota si studia il funzionale (1.1) dimostrando l’esistenza di minimi ?locali? in una opportuna classe di insiemi soggetti ad un vincolo di volume, almeno nel caso in cui Ω è abbastanza ?piccolo?. Le tecniche usate per ottenere i risultati di esistenza portano implicitamente alla regolarità degli insiemi minimizzanti.

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Summary In this note we study the functional (1.1), proving existence of ?local? minima in a suitable class of sets subject to a volume constraint, at least when Ω is sufficientyl ?small?. Techniques employed to obtain existence results lead implicitly to the regularity of minimizing sets.

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Ringrazio il Prof.E. De Giorgi per gli utili consigli durante lo svolgimento del lavoro.     

Risultati di regolarità parziale per le soluzioni ℋ1,p1<p<2 di sistemi ellittici quasi lineari1<p<2 di sistemi ellittici quasi lineari

Riassunto Si estendono i risultati di regolarità di Morrey, Giusti e M. Miranda, relativi ai sistemi ellittici quasi lineari, ad una classe più generale di soluzioni, si dà inoltre un'applicazione dei risultati ottenuti allo studio di un problema del calcolo delle variazioni.

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Résumé On donne une extension des résultats de régularité des solutions faibles des systèmes elliptiques non linéaires prouvés pár Morrey, Giusti, M. Miranda. On donne aussi une application de nos résultats à l'étude d'un problème du calcul des variations.

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Lavoro eseguito nell'ambito dei gruppi di ricerca del C.N.R.     

Spectrum for nonlinear maps and bifurcation in the non differentiable case

Sunto. Si introduce una nozione di spettro locale per una classe di applicazioni non lineari in uno spazio di Banach. Se ne deducono alcuni risultati di suriettività locale ed applicazioni alla stabilità delle soluzioni di equazioni differenziali ordinarie e ai problemi di biforcazione nel caso non differenziabile.

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Entrata in Redazione il 28 aprile 1976.     

On metrically dense-in-itself sets

Summary In this note, by introducing two definitions on sets of positive measure, a new characterisation of metrically dense-in-itself sets has been given. Some other allied results have been also proved.

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Riassunto In questa Nota, dando due definizioni di insieme a misura positiva, si è ottenuta una nuova caratterizzazione di insiemi metricamente densi in sè. Sono stati dimostrati alcuni altri risultati collegati.

     

Stabilità delle soluzioni di disequazioni variazionali ellittiche e paraboliche quasi lineari

Riassunto In questo lavoro, si studia, per una classe di operatori quasi-lineari, il problema della dipendenza simultanea dai vincoli, dai coefficienti dell'operatore e dai termini noti delle soluzioni di disequazioni variazionali ellittiche e delle soluzioni forti di disequazioni variazionali paraboliche. L'esistenza di queste ultime è consequenza dei risultati precedenti.

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Summary We study the problem of the dependence from the data of the solutions of quasilinear elliptic variational inequalities. We also consider the case of the strong solutions of parabolic variational inequalities, whose existence has been proved as a consequence of the previous results.

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Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A.—C.N.R.     

Sulla monogeneità negli spazi di Banach

Summary In assenza di struttura moltiplicativa, la definizione di funzione monogena viene data in questo lavoro basandosi sulla considerazione di una coppia di operatori lineari (uno dei quali coincidente ad es. col differenziale) che mandano 0-forme in 1-forme. Si stabiliscono risultati sull’esistenza delle derivate successive, delle primitive e un teorema integrale di tipo Cauchy. L’equivalenza fra il problema della primitiva e il problema della derivata appare qui dipendere dalla permutabilità dei ruoli degli operatori della coppia.

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Lavoro eseguito nell’ambito del Programma di Ricerca n. 9 del C.N.R.

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Entrata in Redazione il 25 giugno 1970.     

Approssimabilità degli aperti diR n di perimetro finito

Riassunto Si provano, utilizzando certe misure di ricoprimento, risultati di approssimazione in perimetro e in misura per gli aperti limitati di perimetro finito, il cui perimetro coincide con la misura di Hausdorff (n−1)-dimensionale della frontiera.

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Summary We prove some results of approximation of a limited open Caccioppoli set, whose perimeter equals the (n−1)-dimensional Hausdorff measure of its boundary. A special geometric covering measure is employed.

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Lavoro eseguito nell'ambito dello G.N.A.F.A.