不等式的恒成立和恒不成立问题

本文举例说明不等式中的恒成立和恒不成立问题的相应解法,供同学们参考．一、恒成立问题对于恒成立问题,我们有定理1 对于函数f(x),a≥f(x)恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值;a≤f(x)恒成立的充要条件是a≤f(x)的最小值．     

例谈应用导数证明不等式的解题策略

<正>函数与不等式结合的问题,通常应用导数对函数单调性进行判断,转化为函数最值问题,进而求解．下面结合一道函数不等式问题,谈谈应用导数证明不等式的解题策略．题目(2018年海淀期中文科20)已知函数f(x)=(x²-x)lnx．(Ⅰ)求证:1是函数f(x)的极值点;(Ⅱ)设g(x)是函数f(x)的导函数,求证:g(x)>-1．解析第(Ⅰ)问比较基础,证明留给读者自行完成．下文使用五种方法就第(Ⅱ)问的解答进行分析．     

浅谈抽象函数问题常见题型及其求法

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊条件的函数.此类函数问题比较抽象,同学们往往感到难以理解,下面举例说明抽象函数问题常见题型及其求法,以供参考.一、函数的定义域问题例1 设f(x)的定义域是[-3,(√)2],求函数f((√)x-2)的定义域.     

y=Asinωx和Y=Acosωx的几何性质

函数y=Asin（ωx＋φ）＋k或y=Acos（ωx＋φ）＋忌的最值、周期、单调代数性质等是大家都比较熟悉的．本文介绍它们的几个几何性质，供同学们学习参考．     

抽象函数奇偶性的判定方法

<正>抽象函数问题是高中数学的一个难点.抽象函数题解法灵活,技巧性强.本文介绍判断抽象函数奇偶性的方法和技巧,供同学们参考.一、直接利用奇偶性的定义例1若函数y=f(x)和y=g(x)有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义中任意x有f(x)+f(-x)=0,g(x)·g(-x)=1,且当x≠0时,g(x)≠1,试判断F(x)=     

抽象函数奇偶性的判定方法

<正>抽象函数问题是高中数学的一个难点.抽象函数题解法灵活,技巧性强.本文介绍判断抽象函数奇偶性的方法和技巧,供同学们参考.一、直接利用奇偶性的定义例1若函数y=f(x)和y=g(x)有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义中任意x有f(x)+f(-x)=0,g(x)·g(-x)=1,且当     

求函数单调区间的几种基本方法

函数单调性是函数的一个重要性质,利用它可以比较函数值大小,也可以求函数的值域或最值.因此,有必要掌握求函数单调区间的基本方法,本文就给同学们介绍求函数单调区间的几种基本方法. 一、紧扣函数单调性的定义求单调区间例1 设函数f(x)=x a/x b(a>b>0),     

有理函数的图像的对称轴探究

1．问题的提出 分式函数f（x）=cx＋d/ax＋b（ad≠bc）的图像的对称轴方程是什么？这个问题是一位同学在课堂上提出来的，当他提出这个问题时，笔者没有马上回答，而是冷静地引导同学们作如下探究．     

利用公切线研究曲线的位置关系

<正>1问题发现近期本人在同学们的作业中发现了这样一个问题:判断函数f(x)=e^x-xx-x²的零点个数.该问题在同学们之中引起了广泛讨论,争议点就是当x>0时,函数f(x)是否存在零点.许多同学选择了对函数f(x)求两次导数的方法解决了上述问题,这不失为一种较为理想的方法,但我们的研究不能止步于此,有没有更好的可以解决该问题的方法呢?     

函数图像交点问题的几种类型

分析近年高考试题不难发现,函数图像交点问题是高考中的一大热点问题．一般地,此类问题可以分为：f（x）与直线的交点问题、f（x）与g（x）（非直线）的交点问题、曲线的切线条数问题和方程根的问题,本文中对这四种类型加以解析,希望对同学们有所帮助!     

五类抽象函数解法例说

文[1]把一类没有给出具体解析式的函数称之为抽象函数．由于抽象函数具有一定的抽象性，其性质隐而不露，因而学生对抽象函数问题比较害怕．其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路．本文从这一认识出发，例谈五种类型的抽象函数及其解法．1线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数．例1已知函数f（x）对任意实数x、y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），…     

利用向量求一类无理函数的值域

设向量→a=(x1,y1),→b=(x2,y2),则称cos〈→a,→b〉=(x1x2+y1y2)/~1/2((x21+y21)(x22+y22))为向量→a与→b的坐标形式的夹角公式.有一类无理函数,它本身就是根据这一公式编制出来的.其函数表达式的结构与坐标形式的向量夹角公式的结构相似,同学们求解时,若能适当构造向量,还原其本来面目,则可利用该公式求这类无理函数的值域(这是一类有较大难度的函数值域问题).下面略举两例加以说明,供同学们参考.     

例析函数应用问题

<正>函数应用问题是指将实际问题转化为函数问题,建立起函数的"数学模型".这类问题,不仅考查同学们的基础知识,同时能够考查同学们的应用思想和应用意识,认真审题,依据已知条件建构函数模型是求解的关键,其次要熟练掌握诸如一次函数、二次函数及反比例函数的性质.下面举例加以说明,供参考.例题1(2013年河北省中考试题)某公司在固定线路上运输,拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩.Q=W+100,W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素),W由两部分的和组成:一部分与x的平方成正比,另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了下表中的数据.     

构造函数求两类函数的值域

本文通过构造配对函数来解决两类函数的值域问题．1．y=ax b/x型的函数例1已知f(x)=x 4/x,x∈[1,3]求f(x)的值域．分析显然f(x)=x 4/x在区间[1,3]上不具备一致单调性．但是函数g(x)=x-4/x在区间[1,3]上却是单调递增的,于是我们只要     

一定是正比例函数吗?

<正>正比例函数是同学们最早接触到的函数,它满足条件f(x+y)=f(x)+f(y).在一些场合,也会遇到反向的问题:一个函数满足上述条件(为方便引用,之后我们称为"保加性"),它一定是正比例函数吗?类似的问题在概念学习,直至数学竞赛题中都时常出现,如[1].本文就此做一个较详细的说明.     

y=Asinωx和y=Acosωx的几何性质

函数y=Asin(ωx φ) k或y= Acos(ωx φ) k的最值、周期、单调代数性质等是大家都比较熟悉的.本文介绍它们的几个几何性质,供同学们学习参考.性质如图1和图2,M,N,P是函数y =Asinωx或y=Acosωx(A>0,ω>0)的图象上的三个相邻的两个最高点和一个最低     

高考复习课堂实录

课题:函数初步适用年级:高三年级学期:2006～2007学年度第一学期要点提示函数思想贯穿高中数学始终,函数一章历来是高考的重点,试题大致分为两类:一是考查函数的基础知识和基本方法;二是对函数与其他数学问题如导数、方程、不等式和数列的综合考查．函数的三要素是对应法则、定义域和值域．函数y =f(x)中x与y的对应关系可采用解析法、列表法、图像法等形式,其中解析法应用最普遍,函数的解析表达式的确定常采用待定系数法．函数定义域的确定常采用解不等式(组)的方法;而函数值域确定的基本方法是由自变量x所满足的不等式,通过变换导出因变量y的不等式．函数的奇偶性是函数值所满足的一个特定的等量关系;函数的单调性则是不等式x1f(x2)的转换关系,或是与f'(x)>0或f'(x)<0成立与否密切相关．函数图像直观形象地反映了函数的性质,要深刻体会数形结合的数学思想,并应用数形结合的方法解决函数问题．     

用判别式法求值域的注意事项

在求函数y=(x~2 3x 2)/(-2x~2 x 3)的值域时,同学们大都将函数转化为关于x的二次方程,用判别式法求函数的值域．解答如下:     

超越方程a~x=x(a>0且a≠1)根的分布

笔者曾在教学中遇到这样一个问题：当a＞1时,函数y＝ax的图象与函数y＝x的图象有无交点．对于中学生来讲,问题的难点在于：当a＞1时,如何取a使函数y＝αx的图象与函数y=x的图象有交点．问题的本质是超越方程ax=x的根的分布．本文将对这一问题利用分析的方法作深人地探讨．1根的分布定理1方程a"一x的根的分布：l）当。Me｝时,方程。x＝x无解;2）当a-e。时,方程a"一x有唯一解x-e;3）当1＜。＜e5时,方程。x一x有且只有两根今1,夸2,且占IE（工,庄）,主ZE（庄,十一）;4）当OMaMI时,方程a"一x有唯一解z,iE（0,1）．证明引进…     

并组训练——提高学生的思辨能力

在数学习题中,有许多外表相似实质不同的问题.为提高同学们的辨异思维能力,今特选五组题目予以解析,希望对同学们有所启发.题组一:已知函数f(x)=loga2(x2-ax-a).1)若函数的定义域为R,求a的取值范围.2)若函数的值域为R,求a的取值范围.分析此题为“一根藤上的两个瓜”.其中第一问