谈谈数学猜想

“猜想”是人们一种重要的思维方法,它在数学教学中有它的重要意义。人们发现欧几里德的《几何原本》中的第五公设不像其它四个公设那样写在书的较前面,而且引用的也不太多,这就促使人们猜测或第五公设不独立,可以论证;或可以用其它公设来代替,正是为了论证这个猜测,后来形成了罗氏几何和黎曼几何学.刚刚迎来20世纪的1900年8月6日,德国的38岁的希尔伯特在第二届国际数学家代表会议上发表了著名的希尔伯特演说,提出了二十三个数学问题(猜想),为二十世纪数学的发展揭开了光辉的一页.     

探析初中数学教学中学生几何直观素养的培养

《义务教育数学课程标准(2022年版)》中指出要重视发展学生的几何直观素养,几何直观能够帮助学生深入理解数学概念,准确把握数学问题,开拓学生的数学思维,发展学生的创造性,对学生的数学学习具有极大的帮助.在初中阶段,教师可以利用实物和图形直观辅助概念形成教学;在命题探究教学中培养学生直观分析和直观解释的能力;在问题解决教学中,通过培养学生数形结合能力、直观洞察能力以及注重语言表达三个方面来培养学生的几何直观素养.     

《等腰三角形及其性质》教学实录

这一节新课程的几何课 ,突出的向我们提出了 :从旧的“纯”论证几何 ,转变为新的直观几何与论证几何的适当结合时 ,教师应该如何驾驭 ,如何把握好其中的“度”的问题 .一是教师要多让学生动手操作 ,多借助、利用CAI课件的展示 ,来探索发现图形的几何性质 .即使严谨性上削弱了 ,也别急 ;使课堂气氛活跃 ,使教学内容充实 ,使大部份学生都学得愉快、有效 ,值 !这是第一要义 .二是始终不忘发展学生的几何素质的重任 .凡是能渗透说理 (说理的方式也不定是像过去那样的“论证”) ,渗透学生能领悟得了的几何论证 ,渗透发展学生的思维能力、想象能力的地方 ,就要适度的利用 .把握好课堂的几何思维容量 ,为部分学生的后续发展打好基础 ,这是不是也就部分的体现了“让不同的人在数学上得到不同的发展”呢 ?看来课堂上如何把握好论证即理性思维的度 ,是今后初中数学课的一大课题 !     

抓住基本图形教学提升数学思维水平

平面几何是初中数学一个重要的内容模块.初中数学的平面几何内容以欧几里德的《几何原本》所建立的公理化体系为基础,对于培养学生的逻辑推理能力、培养学生的理性思维、形成实事求是的态度有重要的作用.然而,现实情况下,一些学生感到几何难学,或是学习效果不佳,畏惧几何,继而畏惧数学,甚至放弃数学学习."对初中生来说,首先是几何比代数难学,许多学生连"基本题"也做不好;其次是"两极分化"……[1],那么,怎么样解决这些问题?     

例析中考代数推理题及其教学反思

推理是数学思维的主要表现，体现了数学的严谨性，保障了数学的科学性.在日常的数学教学中，教师往往注重培养学生的几何推理能力，却忽视对学生代数推理能力的培养.事实上，代数推理同样重要.目前，随着《义务教育数学课程标准(2022年版)》的颁布，教师应彻底转变主要依赖几何培养学生数学推理能力的观念，而应同样重视代数推理在培养学生核心素养方面的作用.本文中结合近几年江苏中考代数推理题的解题思路进行分析，并结合初中数学教学进行反思.     

基于思维发展的信息技术与数学教学融合实践探索——以几何画板在二次函数学习中的运用为例

数学教学是以数学思维发展为核心的教学,学生思维发展需要在积极的问题情境思考中得以实现.基于思维发展的信息技术与数学教学的融合实践,一方面重视学生通过主动思考完成知识和方法的初步建构,实现思维的内化;另一方面重视展示、交流、辨析等思维外显过程,并注重借助几何画板等信息化图示技术,在动态的问题思考中实现抽象知识直观化、内隐思维可视化,达成从感性认知到理性建构再到思维自觉的育人目的.     

基于数学抽象的概念形成:模型与案例

1问题提出 《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课标》)提出,数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现.其中数学抽象位于六大学科核心素养之首,是数学的基本思想,是形成理性思维的重要基础.从数学内容来看,数学源于对现实世界的抽象,概念是数学的核心内容,因此,获得数学概念是数学抽象的主要表现之一,数学概念的...     

从欧几里得《几何原本》到希尔伯特《几何基础》

数学研究的对象是"数"与"形",形的数学就是几何学.它是以直观为主导,以培养人的空间洞察力与思维为目的.从数学发展的历史来看几何学的第一个最重要著作就是欧几里得(Euclid,约公元前330-275年)的<几何原本>.它被世界各国翻译成各种文字.它的印刷量仅次于"圣经",所以不少人称<几何原本>为数学工作者的"圣经".<几何原本>在数学史乃至人类思想史上有着无比崇高的地位.     

几何教学的好帮手《3D数学画板》

长期以来 ,人们一直使用《几何画板》制作平面几何、解析几何方面的课件 ,然而这个软件对立体几何显得力量单薄 .现有国人制作的软件《立体几何画板》(即 3Ｄ数学画板 )较好地解决了这三个方面的问题 ,它号称 2 1世纪的动态几何工具 ,其功能新颖独特且符合中国人习惯 .它完全可取代教育部推广的《几何画板》 ,应该成为中学数学教育工作者必须掌握的一门工具 .它是使用ＳｍａｌｌＴａｌｋ语言开发 ,作者刘飞兵 ,主页网址ｈｔｔｐ :/ /ｇｏｌａｂ .12 6.ｃｏｍ .读者可到这一地址下载和注册 .由于作者并未提供帮助文件 ,故本人为此写一简要的…     

数学启发探索法及教学设计案例

1　数学启发探索法的发生发展数学中的探索性思维从数学发端即开始了 .但由于数学家们历来都注重数学研究成果的逻辑整理和记述 ,因而获得这些成果的探索性思维过程本身很少有专门研究和详细记载 .历史上比较著名的探索性思维是古希腊数学家阿基米德的“启发式论证法” .他在写给亚历山大里亚数学家埃拉托色尼 (Eratosthenes)的一封信中谈到了这种方法 .他写道 :“对我来说 ,某些定理首先是借助于力学方法才清楚的 .由于这种方法没提供真正的证明 ,因而它们还需要从几何上加以证明 .显然 ,当我们借助这种方法对一个问题已了解到某些情况 ,…     

初中数学整体化思维的挑战与对策:迈向深度理解之路

<正>《义务教育数学课程标准(2022年版)》明确:会用数学的思维思考现实世界,数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式^[1].通过数学的思维,可以揭示客观事物的本质属性,建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑联系,形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质,培养科学态度与理性精神.整体化思维能力的培养有助于学生对知识的理解和掌握走向深入;基于此,本文拟对初中数学整体化思维的挑战与对策进行探讨,以期引起一线教师的共鸣.     

谈初中数学教学中分化现象的几点处理方法

数学是一门严谨性很强的学科。它要求数学结论的叙述准确、精炼,推理论证又必须严格、周密,但是它的内容却具有高度的抽象性。而初中学生的思维又没有发展成熟,特别是低年级学生具有初级的形象思维,对于稍高的抽象内容难以接受理解。如几何     

正三角形在一个格点问题中的应用

本文是一篇好文章,推荐给数学爱好者一读.从中可以看到思维的魅力,感悟到数学的美妙. 田永海老师在长期教学实践中对平面几何倍加独钟,有很深的造诣.他提出了“三角形中格点”的概念,并对相关问题作过较为系统地研究.著有《三角形中的格点问题》(2000年12月版,东北师范大学出版社)一书,田老师也是初等数学研究的热心参加者.其研究成果表明,平面几何领域尚有许多丰富的资源有待开发,平面几何的内容也随着研究的深入在与时俱进.平面几何对培养青少年理性思维的作用更加日益突出.“学习几何能锻炼一个人的思维”的作用更为凸显出来了.那种在基础教育中削弱砍杀几何的作法,是极为有害的.本文中“一题8解”,思路灵活,表述简捷,行文流畅,推理严谨,读后必会多有收益如果有兴趣,不妨读一读《三角形中的格点问题》一书.周春荔     

理性思维视角下结构不良问题的探析——以近四年高考中结构不良试题为例

<正>2019年12月,教育部考试中心正式发布了《中国高考评价体系》,明确数学学科素养包含理性思维、数学应用、数学探索、数学文化四个方面,要求在数学教学中充分展示理性思维,培养学生的理性思维品质^[1]. 2020年10月,中共中央国务院印发《深化新时代教育评价改革总体方案》,要求高考命题“改变相对固化的试题形式,增强试题开放性,减少死记硬背和‘机械刷题’现象.”为了贯彻这一要求,高考数学命题加大了开放题的创新力度,强调利用开放题考查数学学科核心素养和关键能力.     

立足几何直观的平面几何中考复习——以“平行四边形”为例

目前我国正处于教育改革的关键时期,教育部门对中学阶段教育提出新的教学要求,认为中学数学教育要注重学生逻辑推理能力的培养.而几何直观概念正是《义务教育数学课程标准(2011年版)》所提出的核心几何数学概念,其主要指通过图形描述方式分析几何问题如今,中学教师不断创新自身教学方法,以便于迎合中考考核需求在对平面几何知识进行复习时,考虑到激发学生的复习欲望,将复杂的公式概念转化为直观且动态的图形,教师开始探究立足于几何直观的平面几何复习方法.下面将以平行四边形知识复习为例,分析平面几何中考复习.     

在CAI中用《几何画板》进行素质教育

有识之士指出 :“ＣＡＩ(ＣｏｍｐｕｔｅｒＡｓｓｉｓｔｅｄＩｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ)的发展与普及对中学数学教育正在产生十分巨大的影响 .”《几何画板》(以下简称《画板》)不同于其他的计算机绘图软件 ,它所作出的图形、图象都是动态的 ,而且注重数学表达的准确性 .它最突出的优点就是使图形、图象在变动的状态下保持不变的几何关系 ,线段的中点永远是中点 ,平行的直线永远保持平行 .这样就可以帮助学生从动态中去观察、探索和发现对象之间的数学关系与空间关系 ,可以利用它培养学生的能力、开发学生的智力、发挥学生的创新精神 ,达到提高…     

降低度量计算突出直观想象——新课标湖北卷对文科立体几何内容的考查研究

1 引言 立体几何的内容是高中数学的重要组成部分,《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称"课标")对立体几何的教学作了重大的结构调整和教学要求改变."课标"中的立体几何定位于培养和发展学生的几何直观能力、空间想象能力和推理论证能力等,在处理方式上,与以往按照点、线、面、体从局部到整体展开几何内容的方式不同,"课标"按照从"整体—局部—整体"的原则展开,突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程.其内容分层设计和分科要求,文理两科共同学习必修《数学2》中的"立体几何初步",主要是通过直观感知、操作确认,获得几何图形的性质,并通过简单的推理发现、论证一些几何性质,对于进一步的论证与度量则放在选修《数学2-1》"空间向量与立体几何"中用向量方法处理[1][2][3][4],并只要求理科学生学习和掌握.     

关注探究拓展过程 发展数学核心素养——以一道中考几何模拟试题的解答与拓展过程为例

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“标准”)明确指出:数学在形成人的理性思维精神、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用.数学教学要以发展学生数学学科核心素养为导向,深刻把握数学内容的本质,引导学生会用数学的思维思考世界.[1]正如G·波利亚指出:思维应该在学生的头脑中产生出来,而教师仅仅应起一个产婆的作用.因此,教师要善于通过精准选择学习材料,系统设计探究任务,合理组织学习活动,激发学生学习兴趣,指导学生体验发现,激活学生数学思维,发展学生的数学核心素养.     

飞到圆外的“蝴蝶”

蝴蝶定理是平面几何中构图最优美、引起的关注也最多的定理之一 .这只美丽的蝴蝶 ,1815年诞生于英国的《男士日记》(一种杂志 ) ,之后便很快地飞到了《美国数学月刊》、《中学数理》、《数学难题》、《找到了》(Ｅｕｒａｋａ)等等 ,至今它仍在遍布全球的数学百花园中翩翩起舞 .对于这一定理的证法 ,目前已发现的不少于 4 0种 ,而且从最初等的三角形全等证法 ,到较高级的解析几何证法 ,直至高等几何中的笛沙格对偶原理、交比解法等等 ,不同层次的爱好者都在自己的邻域内对它作出了相应的诠释 ,真可谓雅俗共赏 .图 1为便于体会 ,我们先把这一…     

领会新课标用好新教材——《对高中实验教材中一些问题的商榷》的不同看法

文[1]对北师大版教材《普通高中课程标准实验教科书数学2(必修)》(以下简称《数学2》)中的几个问题提出了不同意见,读后深受启发.但文[1]中的1.3要不要介绍三垂线定理似有不妥,值得商榷,本文提出来与大家讨论.需要介绍三垂线定理及其逆定理吗?文[1]提出,“《数学2》没有介绍三垂线定理,是否出于淡化论证的考虑呢?”笔者认为,这个问题在《普通高中数学课程标准》(实验)中已经做了回答,《普通高中数学课程标准》(实验)指出:“在立体几何初步部分,学生将从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形;再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线…