Zur Bestimmung der Verwölbungen und Profilverformungen von elastischen Stäben mit beliebigen und dünnwandigen Querschnitten

Übersicht Eine bereits vorgestellte Theorie, die eine schrittweise Bestimmung der Verwölbungen und Profilverformungen von Stäben mit beliebiger Querschnittsform ermöglicht, wird zusammengefaßt und hinsichtlich des Problems gekoppelter Biegung und Torsion erweitert. Dabei wird auf einer allgemeinen Approximationsstufe die Lage des Schub und Drillruhepunkts für das zugehörige Verwölbungsproblem angegeben und die Einführung von Hilfskräften zur Erzeugung von Gleichgewichtszuständen für das zugehörige Profilverformungsproblem erörtert. Die Theorie wird anschließend auf Stäbe mit dünnwandigen Querschnitten spezialisiert, Beispiele aus der Ingenieurpraxis sollen die Anwendbarkeit des Verfahrens zeigen.

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On the determination of cross-sectional warpings and distortions of bars with arbitrary and thin-walled cross-sections

Summary An already presented theory which allows for a stepwise determination of cross-sectional warpings and distortions of bars with arbitrary cross-sections is summarized and extended with respect to the problem of coupled bending and torsion. On a general approximation level the locations of the shear centers due to bending and torsion are given for the corresponding warping problem and the introduction of auxiliary forces in order to get equilibrated states of stress is discussed for the corresponding distortional problem. The theory is then specialized to bars with thin-walled cross-sections. Examples from the engineering practice shall demonstrate the applicability of the method.

     

Räumliche Verzweigungsprobleme des dünnen elastischen Stabes mit endlichen Verformungen

Übersicht Mit Hilfe der Kreiselanalogie von Kirchhoff werden räumliche Knickprobleme von dünnen elastischen Stäben mit endlicher Verformung exakt behandelt. Es wird gezeigt, daß der beidseitig eingespannte gerade Stab neben der Euler-Last noch eine weitere kritische Kraft besitzt, bei der die stabile, ebene Biegelinie in eine unstabile Raumkurve übergeht. Die strenge Untersuchung des Kippens eines Balkens unter einem Moment führt — bei Verzicht auf jegliche Linearisierung — auf eine Kippformel, welche die Prandtlsche Lösung als Spezialfall zwar enthält, aber nicht mit den Ergebnissen einer verbesserten linearisierteri Theorie übereinstimmt. Als Schlußfolgerung wird die Tatsache bestätigt, daß bei Problemen mit endlichen Verformungen des Ausgangssystems, die Annahme des indifferenten Gleichgewichtes für den kritischen Zustand nicht zulässig ist.

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Summary The paper deals with stability problems of slender rods characterised by large deflections in three dimensions. Kirchhoff's analogy between the motion of a gyroscope and the equilibrium of a slender rod is used. In addition to the critical Euler-load a rod with both ends rigidly supported is shown to have a further critical load beyond which the deflection curve is no longer a plane one. Two additional problems of a similar nature are treated without linearization of the basic differential equations.

     

Stochastische,holonome elastoplastische Torsion von zylindrischen oder prismatischen Stäben

Übersicht Ein Minimalprinzip für das Torsionsproblem von zylindrischen oder prismatischen Stäben aus holonomen elastoplastischem Material wird hergeleitet. Die Kombination dieses Satzes mit der Monte-Carlo-Methode gestattet die Behandlung des entsprechenden stochastischen Problems mit Hilfe der stochastischen Optimierung. Die Theorie wird durch numerische Beispiele erläutert.

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Summary A minimum principle for the torsion problem of a cylindrical or prismatic bar of a holonomic elastoplastic material is derived. The combination of the minimum principle with the Monte-Carlo-method permits the treatment of the corresponding stochastic problem by means of stochastic optimization. Numerical examples illustrate the theory.

     

On T-T-T and C-C-T diagrams of steels: a phenomenological approach to transformation kinetics

Summary A new transformation kinetics for the solid-solid transformation, which includes the temperature-rate as one of the variables, is proposed from the phenomenological point of view, and the procedure to construct the T-T-T and C-C-T diagrams is discussed. As an application of the theory the diagrams for the eutectoid and bainitic transformations of two typical carbon steels are drawn. The results clearly prove that the theory proposed could work well in practical situations in the engineering field.

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Über Umwandlungsdiagramme für Stahl: eine phänomenologische Theorie zur Umwandlungskinetik

Übersicht Es wird eine neue phänomenologische Theorie zur Umwandlungskinetik vorgeschlagen. Dabei wird auch die Konstruktion von ZTU-Schaubildern und von Umwandlungsdiagrammen für kontinuierliche Abkühlung diskutiert. Zur Anwendung der Theorie werden die Diagramme für die eutectoidische und die bainitische Umwandlung zweier unlegierter Stähle gezeichnet. Die Ergebnisse zeigen, daß die Theorie auch praktische Anwendung finden kann.

     

Instability of a rotating disk with a support under the action of a static in-plane load

Summary Vibrations of a rotating disk with a clamped inner circle, a free outer periphery and an elastic support at one point are analyzed under the action of a static in-plane load. A solution of the equation of motion is described in form of series by orthogonal eigenfunctions of a non-rotating disk with the same boundary conditions. Relations between natural frequencies and angular velocity and then those between regions of instability of vibrations and the magnitude of static load are shown.

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Instabilität einer drehenden Scheibe mit einer Stütze unter der Wirkung einer ebenen statischen Belastung

Übersicht Schwingungen einer drehenden Scheibe mit einem befestigten inneren Umfang, einem freien äußeren Umfang und einer elastischen Stütze in einem Punkt werden unter der Wirkung einer ebenen statischen Belastung analysiert. Eine Lösung der Bewegungsgleichung wird in der Form von Reihen mit orthogonalen Eigenfunktionen einer nicht drehenden Scheibe mit den gleichen Randbedingungen beschrieben. Beziehungen zwischen Eigenfrequenzen und der Drehgeschwindigkeit sowie zwischen instabilen Bereichen und der Größe der statischen Belastung werden gezeigt.

     

On the shape of characteristic curves for optimal structures under non-conservative loads

Summary In numerous cases of optimal design of structures under non-conservative loads, it is essential to choose the most suitable stability constraint conditions. Some authors have investigated the optimal shape of structures (columns) subjected to follower loads assuming that the critical load is given by the horizontal tangent to the first branch of the characteristic curve in the force-frequency plane. However, maximization of such a critical load as well as minimization of the volume does not always lead to an optimal solution.The optimal design of structures consisting of stepped columns with arbitrary thickness and length, interacting with spring-mass systems and subjected to follower loads is considered in this paper. After solving the non-self-adjoint boundary value problem, various shapes of characteristic curves are found showing that other stability constraints should be taken into account to reach an optimal solution. Some numerical results are also presented.

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Übersicht Bei der optimalen Auslegung von Strukturen unter nicht-konservativen Kräften ist es in vielen Fällen wesentlich, passende Stabilitätsbedingungen zu formulieren. Mehrere Autoren haben die optimale Form von Strukturen (Stäben) unter Folgelast mit der Annahme untersucht, daß die kritische Last durch die horizontale Tangente an den ersten Ast der charakteristischen Kurve in der Last-Frequenz-Ebene gegeben ist. Sowohl die Maximierung einer so gefundenen kritischen Last als auch die Minimierung des Stabvolumens führen nicht in allen Fällen zur optimalen Lösung.In dieser Arbeit wird die optimale Auslegung von Strukturen betrachtet, die aus Stäben mit Abschnitten beliebiger Dicke und Länge bestehen, mit Feder-Masse-Systemen zusammenwirken und durch Folgelasten beansprucht sind. Nach der Lösung des nicht selbstadjungierten Randwertproblems werden verschiedene Typen von charakteristischen Kurven dargestellt, die zeigen, daß andere als die oben erwähnten Stabilitätsbedingungen zu berücksichtigen sind, um eine optimale Lösung zu finden. Numerische Ergebnisse werden vorgestellt.

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Dedicated to Professor E. Mettler on the occasion of his 70th birthday on July 19, 1980

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Fellow of the Alexander yon Humboldt Foundation 1978/1980, visiting the University of Hannover     

Nonlinear progressive waves in elastic materials

Summary Progressive harmonic waves in nonlinear elastic materials are generally considered as small disturbances superposed on a finite deformation. In this first approximation they are governed by essentially the same laws as in linear elasticity. In the present paper a second-order theory is developed which allows for nonlinear effects on progressive waves in a finitely deformed elastic material. The problem is investigated by means of a perturbation procedure using intrinsically two time scales. After providing the kinematical prerequisites a transport equation is derived which governs the distortion of the wave profile. A closedform solution is obtained for the case of a plane wave in a homogeneous medium. The influence of nonlinearity is closely related to the evolution of acceleration waves.

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Zusammenfassung Fortschreitende harmonische Wellen in nichtlinearen elastischen Stoffen werden meist als kleine Störungen betrachtet, die einer endlichen Verformung überlagert sind. In dieser ersten Näherung genügen sie im wesentlichen den gleichen Gesetzen wie in der linearen Elastizitätstheorie. In der vorliegenden Arbeit wird eine Theorie zweiter Ordnung entwickelt, die auch nichtlineare Effekte bei fortschreitenden Wellen in einem endlich verformten elastischen Material berücksichtigt. Das Problem wird mit Hilfe einer Störungsmethode behandelt, welche implizit zwei verschiedene Zeitmaßstäbe zuläßt. Nach Bereitstellung der kinematischen Hilfsmittel wird eine Transportgleichung hergeleitet, welche die Verzerrung des Wellenprofils beschreibt. Für ebene Wellen in einem homogenen Medium wird eine geschlossene Lösung angegeben. Der Einfluß der Nichtlinearität zeigt eine enge Verwandtschaft zur zeitlichen Entwicklung von Beschleunigungswellen.

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With 1 figure     

Numerischer Stabilitätsnachweis dünner Schalen mit dem Konzept der Störenergie

Übersicht Es wird eine nichtlineare Eigenwertanalyse vorgestellt, die es ermöglicht, für stabilitätsgefährdete Tragwerke die Umgebung von bekannten Belastungszuständen nach kritischen Zuständen abzusuchen. Da alle im Rahmen der Theorie und Diskretisierung möglichen Störungen und Imperfektionen berücksichtigt werden, wird derjenige kritische Zustand gefunden, der mit einem Minimum an Störenergie erreicht wird. Auf diese Weise ist es möglich, die Störungs- oder Imperfektionssensitivität von Schalen mit einer nichtlinearen Eigenwertanalyse zu berechnen. Nach Kalibrierung des hier vorgeschlagenen Konzeptes der bezogenen Störenergie an statistisch ermittelten Versuchs-Grenzlasten können reale elastische Grenzbeullasten für beliebige Tragwerke berechnet werden, ohne daß der Ingenieur einschränkende Imperfektionen vorzugeben hat. Die derzeit erwogene Vorgabe von geometrischen Imperfektionen zur Erfassung der Imperfektionssensitivität von Schalen wird in einer Parameterstudie untersucht. Da die so berechneten Beullasten zum Teil erheblich von den Versuchs-Beullasten abweichen, wird das Vorgeben speziell von geometrischen Imperfektionen kritisch beurteilt.

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Numerical stability analysis of thin shells by a concept of perturbation energy

Summary A nonlinear eigenvalue analysis is presented which enables to investigate the surrounding of given states of equilibrium for critical states of equilibrium. By including all possible perturbation or imperfection patterns, that critical state is derived which is reached with a minimum of perturbation energy. Thus it is possible to analyse the imperfection sensitiveness by applying the nonlinear eigenvalue analysis. After calibration at buckling loads derived by experiments, the proposed concept may be applied for arbitrary structures. It is not necessary that the designing engineer introduces special imperfection patterns. The influence of different types of geometrical imperfections on the computational buckling load is studied. The buckling loads derived by given geometrical imperfections deviate considerably from critical loads found in experiments.

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Herrn Prof. Dr.-Ing. Walter Wunderlich zum 60. Geburtstag am 25. 7. 1991 gewidmet     

Stability of a freestanding column loaded through a roller bearing

Summary Analysis of instability through divergence or bifurcation of a freestanding column, fixed at the base and supporting a transversally stabilized structure by means of a roller bearing. Analysis is done within second order theory of small deflections for an ideally elastic material.

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Stabilität einer durch ein Rollenlager belasteten, freistehenden Stütze

Übersicht Analyse der Instabilität durch Divergenz oder Gleichgewichtsverzweigung (Bifurkation) einer freistehenden Stütze, die unten eingespannt ist und am freien Ende eine querversteifte Konstruktion unter-stützt. Die Untersuchung wird durchgeführt im Rahmen der Theorie zweiter Ordnung kleiner Durchbiegungen und des ideal elastischen Stoffverhaltens.

     

On the impossibility of linear Cauchy and Piola-Kirchhoff constitutive theories for stress in solids

We investigate the possibility of linear elasticity as an infinitesimal theory based on a genuinely linear response function which retains its validity even for finite deformations. Careful consideration of the domain of definition of the stress response function, the definition of linearity and the notion of material frame-indifference leads to our main result that an exact linear constitutive theory for elastic solids is impossible. We then generalize our result to viscoelasticity theory where the stress response is dependent on deformation gradient histories.

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Zusammenfassung Verf. betrachten die Möglichkeit linearer Elastizität als infinitesimale Theorie begründet auf einer echt linearen Reaktionsfunktion die ihre Gültigkeit sogar für endliche Deformationen behält. Genaue Betrachtung des Definitionsbereiches der Spannungsreaktionsfunktion, der Definition von Linearität, und des Objektivitätsbegriffes führen zum Hauptresultat dass eine echt lineare Theorie für elastische Körper unmöglich ist. Das Resultat wird dann auf viskoelastische Theorie verallgemeinert, wobei die Spannungsreaktion von der Vorgeschichte des Deformationsgradienten abhängt.

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Department of Aerospace Engineering and Mechanics

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Department of Mathematics     

Introduction of small velocity and pressure variation into a stationary compressible fluid

Summary This work formulates the aerodynamic time-dependent Coulomb and Biot-Savart laws with inherent transmission retardation. It generalizes the theory by Baskin et al. (for only the isentropic propagation of small vortex disturbances) to deal with the propagation of small disturbances caused by a distributed system of both vortices and variation in specific entropy of a thermodynamically simple compressible fluid. The proof here uses an alternative, more appealing derivation with the help of a novel wave-cone transformation (which changes Kirchhoff's retarded potentials into Newtonian potentials). The results suggest the possibility of using a focused laser spot to simulate the effect of a source in a compressible fluid; the source may even move at a supersonic speed to create a shock wave. They also suggest a time-dependent, three-dimensional formula for lifts caused by small disturbances that is in agreement with Blasius' formula for two-dimensional, time-independent, inviscid flows.

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Störung einer stationären, kompressiblen Flüssigkeit durch kleine Geschwindigkeits- und Druckänderungen

Übersicht Formuliert werden die zeitabhängigen, aerodynamischen Gesetze von Coulomb und Biot-Savart mit inhärenter Übertragungsverzögerung. Damit wird die Theorie von Baskin u. a. für isentrope Fortpflanzung kleiner Wirbelstörungen verallgemeinert auf die Fortpflanzung kleiner Störungen, die durch eine Verteilung von Wirbeln und von Änderungen der spezifischen Entropie einer thermodynamisch einfachen, kompressiblen Flüssigkeit verursacht werden. Mit Hilfe einer neuartigen Wellenkegel-Transformation, welche die Kirchhoff-Potentiale mit Verzögerung in Newtonsche Potentiale über führt, wird der Beweis hier in einer alternativen Form hergeleitet. Die Ergebnisse zeigen die Möglichkeit, durch einen fokusierten Laserfleck den Effekt einer Quelle in der kompressiblen Flüssigkeit zu simulieren, wobei die Quelle zur Erzeugung einer Schockwelle sogar mit Überschallgeschwindigkeit wandern kann. Aufgrund der Resultate wird eine zeitabhängige, dreidimensionale Formel für den Auftrieb infolge kleiner Störungen vorgeschlagen, die mit Blasius' Formel für zweidimensionale, zeitunabhängige zähigkeitslose Strömungen in Einklang steht.

     

Coupling effects on torsional vibrations of prismatic bars

Summary Due to the warping any torsional wave or disturbance in a noncircular cylinder is propagated with a higher velocity than that predicted by the elementary theory. This change of the wave velocity depending on wave length, i.e. the dispersion phenomenon, is accompanied by certain modifications of stresses and displacements. This paper presents a systematic investigation of these coupling effects within the framework of the linear theory of elasticity by means of the method of strained parameters and of the technique of Lindstedt-Poincaré leading to exact solutions in the asymptotic sense. The dispersion is found to be related to the shearing stresses of higher order of magnitude and to the distortion of cross section which are consequences not only of the axial stresses and accelerations hut also of the plane stresses. The coupling between torsional and flexural vibrations which occur in the case of cross sections not having two axes of symmetry is also determined explicitly.

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Kopplungseffekte bei Torsionsschwingungen zylindrischer Stäbe

Übersicht Infolge Verwölbung weisen Torsionswellen bei Stäben nichtkreisförmigen Querschnitts höhere Geschwindigkeiten auf als jene nach der klassischen St. Venantschen Theorie. Diese wellenlängenabhängige, als Dispersionsphänomen bekannte Änderung der Geschwindigkeit hängt unmittelbar mit Spannungen und Verschiebungen zusammen, welche über den Rahmen der elementaren Theorie hinausgehen. Die vorliegende Arbeit gibt eine systematische Untersuchung dieser Kopplungseffekte auf der Grundlage der linearen Elastizitätstheorie wieder, welche sich der Methode der asymptotischen Entwicklungen bedient und durch Anwendung der Technik von Lindstedt-Poincaré zu asymptotisch exakten Ergebnissen führt. Es wird gezeigt, daß die Dispersion im direkten Zusammenhang mit den Schubspannungen und Querverschiebungen sekundärer Größenordnung steht, welche als Folge von durch Verwölbung bedingten axialen Spannungen und Beschleunigungen, aber auch von ebenen Spannungen zustande kommen. Die je nach Symmetrieeigenschaft des Querschnitts zu erwartende Kopplung zwischen Torsions- und Biegeschwingungen wird ebenfalls explizit erfaßt.

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This paper has been presented at the XVIth International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, held on August 19–25, 1984 in Lyngby/DK     

Numerical solution of the curved rigid line problem in an infinite plate

Summary This paper deals with the problem of evaluating the stress singularity coefficients at the tips of a rigid line in an infinite plate. If the traction difference between the upper and lower borders of the rigid line is taken as an unknown function and the displacement of the curved rigid line as the right-hand term of the integral equation, then a new integral equation for the curved rigid line problem is obtained which is presented in this paper. The newly obtained integral equation has a logarithmic singular kernel. To solve the integral equation an interpolation equation for the traction difference functions (the undetermined functions in the integral equation) is proposed. A numerical examination is carried out to demonstrate the efficiency of the proposed technique. Also two numerical examples are given in this paper.

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Numerische lösung des problems einer gekrümmten linie als starrer einschlu\ in einer unendlichen platte

Übersicht Vorgeführt wird die Bestimmung von Spannungssingularitätsfaktoren an den Enden einer starren Kurve in einer unendlichen Platte. Wenn die Spannungsdifferenz an beiden Seiten der starren Linie als unbekannte Funktion und die Verschiebung dieser Linie als rechte Seite der Integralgleichung gewählt werden, erhält man eine neue Integralgleichung, die hier vorgestellt wird. Diese enthält einen logarithmisch singulären Kern. Um sie zu lösen, wird eine Interpolationsfunktion für die unbekannten Funktionen der Spannungsdifferenzen vorgeschlagen und ein numerischer Test zur Demonstration der Leistungsfähigkeit der Methode durchgeführt. Zwei numerische Beispiele werden vorgestellt.

     

On the propagation of flexural waves in anisotropic bars

Summary Propagation of flexural waves in circularly cylindrical bars of anisotropic material on the basis of the exact three-dimensional theory of elasticity of small deformations is considered, the rigor of the analysis being the same as the one of the Pochhammer-Chree theory. A system of the governing equations of motion for the cylindrical orthotropy (its axis coinciding with the axis of the bar) is derived and expressed in terms of radial, tangential and axial displacement components. For a steady-state sinusoidal flexural wave the system reduces to coupled ordinary second order differential equations with a regular singular point. Solution for a transversely isotropic is obtained by means of Frobenius series method. Upon using two or three terms of the series approximate dispersion relations for isotropic material as well as for the pyrolytic graphite type material and two other types of anisotropic materials are obtained and illustrated by graphs. Higher order modes than those already known are found.

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Übersicht Die Fortpflanzung von Biegewellen in kreiszylindrischen Balken aus anisotropem Material wird auf der Grundlage der exakten dreidimensionalen Elastizitätstheorie kleiner Verformungen betrachtet. Die Strenge der hier gegebenen Untersuchungen entspricht der in der Theorie von Pochhammer-Chree. Das System der Bewegungsgleichungen wird für zylindrische Orthotropie, deren Achse mit der Balkenachse zusammenfällt, abgeleitet und durch die radialen, atngentialen und axialen Verschiebungskomponenten ausgedrückt. Das System reduziert sich im Fall einer stationären sinusförmigen Biegewelle auf gekoppelte, gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung mit einem singulären Punkt. Lösungen für transversale Isotropie werden mit Hilfe der Reihenmethode von Frobenius abgeleitet. Unter Verwendung von zwei oder drei Gliedern dieser Reihen werden angenäherte Dispersionsbeziehungen sowohl für isotropes Material als auch für Material vom Typ pyrolytischen Graphits und für zwei andere Typen anisotropischer Materialien erhalten und graphisch dargestellt. Es werden Schwingungsformen gefunden, die von höherer Ordnung als die bisher bekannten sind.

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Research supported by a grant of the National Science Foundation.     

Übertragungsmatrizen bei Schwingungen dünnwandiger Stäbe mit offenen Profilen bei Kopplung von Biegung und Drillung

Zusammenfassung Das Verfahren der Übertragungsmatrizen wird auf die Berechnung der erzwungenen, gekoppelten Biege- und Drillschwingungen von Stäben mit dünnwandigen, schwach stetig veränderlichen Querschnitten angewandt. Hierbei ist es nicht notwendig, die Übertragungsmatrizen explizit zu berechnen, vielmehr dient der Begriff der Übertragungsmatrix nur zur formelmäßigen Darstellung des Rechnungsganges (Gl. (14)). Die Zahlenrechnung selbst erfolgt durch zyklische Anwendung des Goussschen Algorithmus und eines Matrixproduktes. Abweichend von der sonst üblichen Betrachtungsweise wird nicht ein mechanisches Modell mit stückweise konstanten Querschnitten zugrundegelegt, sondern es wird der wirkliche Stab mit einer mathematischen Ersatzlösung behandelt, wobei die bekannten Lösungen des Problems für prismatische Stäbe als Näherungslösungen dienen. Dieses Verfahren hat gegenüber einer Behandlung als abgesetzter Stab den Vorteil, daß auch die Spannungen, die nach Gl. (16) und (18) direkt aus den Verschiebungsableitungen und den Querschnittskoordinaten berechnet werden, an den Intervallgrenzen stetig sind. Inwieweit zusätzliche Einflüsse, die hier nicht berücksichtigt werden konnten, bei stark verjüngten Stäben eine Rolle spielen, muß noch festgestellt werden. Über im Zusammenhang hiermit geplante experimentelle Untersuchungen soll später berichtet werden.Aus dem Institut für Mechanik (Prof. Dr.-Ing. K.-A. Reckling) der TU Berlin.     

Das nicht-klassische Verhalten fluider Stoffe im kritischen Zustand

Zusammenfassung Bei der Aufstellung von technischen Zustandsgleichungen benutzt man meist Reihenentwicklungen, die am kritischen Punkt, wie auch die klassische van der Waals'sche Zustandsgleichung, analytisch sind. Dabei wird vielfach die analytische Formulierung als physikalisch not-wendiges Prinzip vertreten. In den letzten Jahren aber wurde durch eingehende experimentelle und theoretische Forschung deutlich, daß Phasenübergänge an kritischen Punkten einen asymptotischen nicht-analytischen Charakter haben und die Annahme einer am kritischen Punkt analytischen Zustandsgleichung sehr unrealistisch ist. Es wird eine Zustandsgleichung vorgeschlagen, die am kritischen Punkt nicht analytisch ist, die Meßwerte gut wiedergibt und nach der Gas- und Flüssigkeitsseite hin leicht zu erweitern ist.

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The non-classical behaviour of fluids at the critical state

In formulating technical equations of state, series expressions are used which are analytic at the critical point as the classical van der Waals equation of state is. In many cases the analytical formulation is considered to be the physically necessary principle. In recent years, however, detailed experimental and theoretical research has shown that changes of phase at critical points have an asymptotic nonanalytic character and assumption of an analytic equation of state at the critical point appears unrealistic. An equation of state is suggested, non-analytic at the critical point, which provides good representation of experimental data and possible expansion into the gas- and liquid region.

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Prof. Dr.-Ing. U. Grigull zum 60. Geburtstag.     

On the imperfection sensitivity of compound branching

Summary The effect of small imperfections on the stability behaviour of an N-degree-of-freedom system exhibiting 2-fold coincident critical points is investigated. The analysis is based on equilibrium surfaces and the multiple-parameter perturbation technique. The relationship between certain forms of the equilibrium surface and the Catastrophe theory is discussed. An illustrative structural model is analyzed.

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Übersicht Es wird der Einfluß kleiner Abweichungen auf die Stabilität von Systemen mit N Freiheitsgraden mit einem zweifachen kritischen Punkt untersucht. Die Analyse beruht auf der Betrachtung von Gleichgewichtsflächen und auf der Störungsrechnung für mehrere Parameter. Die Beziehungen zwischen den auftretenden Gleichgewichtsflächen und der Katastrophentheorie werden erörtert. An einem Strukturmodell wird die Vorgehensweise erläutert.

     

Eine direkt formulierte lineare Theorie für viskoelastische Platten und Schalen

Übersicht Eine Möglichkeit der Entwicklung einer allgemeinen Theorie für Platten und Schalen besteht in der Modellierung des Flächentragwerks durch ein zweidimensionales deformierbares Kontimmm und der direkten Ableitung der kinematischen Beziehungen, der Bewegungsgleichungen und der konstitutiveu Gleichungen. Eine so erhaltene Theorie ist mathematisch und physikalisch widerspruchsfrei, jedoch ist es für ihre Anwendung notwendig, die sogenannten Ersatzeigenschaften zu ermitteln. Im Beitrag wird eine geometrisch und physikalisch lineare Theorie behandelt. Jeder Punkt des Kontinuums ist ein infinitesimal kleiner Starrkörper mit nur 5 Freiheitsgraden (3 Translationen, 2 Rotationen). Bei Annahme dieser Einschränkungen gelingt es, eine Theorie direkt abzuleiten, wobei alle Ersatzeigenschaften des Flächentragwerks bestimmt werden können. Im Beitrag werden die Möglichkeiten der allgemeinen Theorie am Beispiel isotropen viskoelastischen Materials mit über die Dicke veränderlichen Eigenschaften gezeigt. Die Theorie schließt die Betrachtung mehrschichtiger Flächentragwerke ein.

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A directly formulated linear theory of viscoelastic plates and shells

Summary One kind to develop a general theory for plates and shells is the modelling of the structure as a two-dimensional deformable continuum and the direct approach to the kinematical relations, equations of motion and constitutive equations. Such a theory is physically and mathematically correct. For the application of such directly formulated theories it is nessecery to identify the so-called effective properties. In the paper the theory is formulated for geometrical and physical linearity. Each point of the continuum is an infinitesimal small rigid body with only 5 degrees of freedom (3 translations, 2 rotations). For such a kinematical assumption it is possible to develop a direct theory and to determinate all effective properties of the structure. The paper demonstrates the possibilities of the general theory for an isotropic viscoelastic plate with material properties varying over the thickness. The theory includes also the analysis of multilayered plates and shells.

     

Eine allgemeine Theorie der Stabilität von Gleichgewichtszuständen bei Stäben

Übersicht Unter Beachtung von drei Zuständen eines Stabes mit beliebiger Form der Zeritrallinie, nämlich des spannungslosen Ausgangszustandes, des Grundverformungszustandes unmittelbar vor der Verzweigung des Gleichgewichts und des hierzu infinitesimalen Nachbarzustandes, wird eine lineare Theorie räumlicher Verzweigungsprobleme hergeleitet. Für den Fall des ideal linear elastischen Stabes werden drei Beispiele vorgeführt. Das erste ist der ursprünglich gerade Stab unter Druck und Biegung. Hier wird der Grundzustand als infinitesimal dem Ausgangszustand benachbart angenommen. Als zweites wird der ursprünglich gerade Stab unter Druck und Torsion behandelt. Hier wird ein Grundzustand mit endlichen Verformungen betrachtet. Im dritten Beispiel wird am Fall des ebenen, gebogenen Bogens mit beliebiger Achse die Vorgehensweise bei einer Vernachlässigbarkeit der Verformungen des Grundzustandes demonstriert. Insgesamt ergeben sich durchweg Aussagen, die über die der bekannten klassischen Resultate hinausgehen.

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Summary Three states of a rod with arbitrary shape of the center line are considered: the initial stress-free state, the fundamental state before the bifurcation of equilibrium, and the state in an infinitesimal neighbourhood. This leads to a linear theory of stability for spatial bifurcation problems. In the case of the ideal elastic rod three examples are treated. The first one is the initially straight rod unter bending and pressure. In this case the fundamental state is considered to be infinitesimally close to the initial state. The second example is the straight rod under torsion and pressure. Here the fundamental state has finite deformations before the bifurcation. In the third example, the plane arch in bending, the deformation of the fundamental state is neglected. In all cases one gets results which are free of contradictions and more general than the classical ones.

     

Theory of incremental motion in a body with initial elasto-plastic deformation

A theory of incremental deformation is developed for a body with initial stress and strain, valid for elastic and plastic pre-deformation. The superimposed motion is assumed hyperelastic. We present the constitutive equation, relating a measure of incremental stress to incremental strain, and the momentum equations referred to the prestrained initial configuration of the body. The latter is linearized with respect to the displacement field of the superimposed motion. For general nonlinear pre-deformation the constitutive theory of an anisotropic body may be based on the assumed strain energy that is an isotropic function of the Green strain tensor and a number of material directors of unit length. For bodies with elastoplastic prestrain and prestress, an elastic constitutive relation that depends on the plastic pre-deformation and the deformation from a relaxed state is postulated. Imposing the requirements of invariance with respect to rotations of the plastic pre-deformation and using the objectivity rule, we show that the constitutive function of stress must be an isotropic function of its arguments. This leads to a new theory of acoustoelasticity for an elasto-plastically prestrained material with anisotropic natural state by incorporating materially fixed unit directors as independent variables in the constitutive equations.

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Zusammenfassung Es wird eine Theorie der inkrementellen Deformation für einen Körper mit Vorspannung und Vorverformung entwickelt, welche sowohl für elastische wie plastische Vorverformung Gültigkeit hat. Die überlagerte Bewegung wird als hyperelastisch angenommen. Wir leiten die Materialgleichung her, welche eine inkrementelle Spannung mit einer inkrementellen Verzerrung verknüpft und geben die Impulsgleichung in einer auf die anfängliche Verformung bezogenen Konfiguration. Diese Impulsgleichung wird bezüglich des überlagerten Verschiebungsfeldes linearisiert. Für eine allgemeine nichtlineare Vorverformung kann die Materialtheorie eines anisotropen Körpers auf der Basis einer postulierten Verzerrungsenergie gegründet werden, welche eine isotrope Funktion des Greenschen Verzerrungstensors und einer Zahl materieller Direktoren mit Länge 1 darstellt. Für elasto-plastisch vorgespannte und vorverformte Körper wird eine elastische Materialgleichung postuliert, die von der plastischen Vorverformung sowie der Deformation aus einer relaxierten Konfiguration abhängt. Es wird gezeigt, daß die Materialgleichung für den Spannungstensor eine isotrope Funktion ihrer Argumente sein muß, wenn man als übergeordnetes Prinzip das Objektivitätsprinzip fordert und Invarianz des Spannungsfunktionals gegenüber Rotationen der plastischen Vordeformation verlangt. Durch Einführen von materiellen Direktoren der Einheitslänge als unabhängige Konstitutivvariablen erhält man hieraus eine neue Theorie der Akusteolastizität für elasto-plastisch vorverformte Materialien mit anisotropen natürlichen Referenzzuständen.