有理式的一次式估计与一类不等式问题

我们在解决一类不等式问题时 ,发现不等式的形式结构与有理式相关 .如果利用相应有理式的一次式估计 ,就能自然而简捷地解决这类问题 .我们容易证明下面的引理及定理 .引理　设有理式 f ( x)在 x =x0 处有定义 ,并且存在有理式 b( x)、a( x)满足下列两个条件 :( i) b( x)、a( x)在 x =x0 处有定义 ;( ii)当≠ x0 时 ,　　 b( x) =f ( x) - f ( x0 )x - x0( 1 )　　 a( x) =b( x) - b( x0 )x - x0( 2 )那么有理式 f ( x)可表示成f ( x) =a( x) ( x - x0 ) 2 　　　 b( x0 ) ( x - x0 ) f ( x0 ) . ( 3)这个引理指出有理式 f ( x)可转化为…     

多项式最大公因式的矩阵求法

设F是一个数域,F(x)为关于文字x的多项式环,多项式d(x)是多项式f(x)、g(x)的一个最大公因式,那么存在F(x)中的多项式u(x)、v(x),使d(x)=u(x)f(x) v(x)g(x) (1)成立。在一般现行《高等代数》教材中,采用辗转相除法求得d(x)后,再利用逐步代入的方法求得u(x),v(x)使(1)式成立,这样做在f(x)、g(x)的次数较高,     

构造函数利用单调性解题

由函数单调性的定义容易知道 :(1 )若函数 f (x)在区间 I上单调增 ,且x1、x2 ∈ I,则 f(x1) x2 ;(3 )若函数 f(x)在区间 I上单调 ,且 x1、x2 ∈ I,则 f (x1) =f (x2 )　 　 x1=x2 .根据题目的特点 ,构造恰当的函数 ,利用函数单调性来解题是一种常用技巧 ,本文在此作点归纳和介绍 .1　巧用单调性解方程 (不等式 )例 1　解方程　 3 x 4x =5x.解　易知原方程同解于方程 (35) x (45) x=1 ,观察知 x =2是此方程的解 .易知 ,函数 f (x) =(…     

基于拟牛顿方程的非线性最小二乘的新算法

<正>1引言我们知道,非线性最小二乘问题:minf(x)=1/2R(x)~TR(x)=1/2■[r_i(x)]~2,(1)其中x∈R~n称为决策变量,R(x)=(r_1(x),r_2(x),…,r_m(x))~T称为在点x的残向量,目标函数f(x)的梯度和海森矩阵分别为:g(x)=▽f(x)=J(x)R(x)(2)▽~2f(x)=C(x)+S(x)(3)其中,J(x)是R(x)在x处的Jacobian的转置.     

为何少了一个值?

题目　已知关于x的函数 f(x) =2ax- 1x2 在 ( 0 ,1 ]上是增函数 ,求a的取值范围 .解法 1　由已知可得 f′(x) =2a + 2x3 .∵f(x)在 ( 0 ,1 ]上是增函数 ,∴有 f′(x) >0在 ( 0 ,1 ]上成立 ,即a >- 1x3 在 ( 0 ,1 ]上成立 .而函数 g(x) =- 1x3 在x∈ ( 0 ,1 ]上是增函数 ,且 [g(x) ]max=g( 1 ) =- 1 ,∴a >- 1 .解法 2　设 0 0恒成立 ,即　 (x2 -x1) 2a+ x1+x2x21x22>0恒成…     

抽象函数奇偶性的又一证明方法

抽象函数奇偶性的证明往往是同学感到困难问题之一 ,一般方法是通过对 f(x)和 f(- x)的性质的探讨加以证明 .笔者在教学中得到一种新颖的方法 ,介绍如下 :引理　任意一个函数 f(x)可表示为一个偶函数φ(x)和一个奇函数 g(x)之和 (f(x)的定义域关于原点对称 ) .证　设 f(x) =φ(x) +g(x) (其中 φ(x)为偶函数 ,g(x)为奇函数 ) ,则　 f (x) =φ(x) +g(x) (1)　　 f(- x) =φ(- x) +g(- x)=φ(x) - g(x) (2 )由 (1) ,(2 )得 :φ(x) =f (x) +f (- x)2 ,g(x ) =f (x) - f (- x)2 .经检验 φ(x) ,g(x)满足题意 ,故引理成立 .例 1　已知函数定义域…     

一个重要的结论

有些学生认为 ,如果 f(x)≥ g(x) (当且仅当 x =a时取“=”号 ) ,那么[f (x) ]m in=g(a) .但这是错误的 .错在哪里呢 ?请看下面的反例 :设 f (x) =x2 1,g(x) =2 x,p(x) =1,则对任意 x∈ R有 f (x)≥ g(x) (当且仅当x = 1时取“=”号 ) .同样对任意 x∈ R有f(x)≥ p(x) (当且仅当 x =0时取“=”号 ) ,为什么 f (x)的最小值是 1而不是 2呢 ?如图 1,可以看出曲线 f (x) =x2 1与水平线 p(x) =1相切图 1且在其上方 ,即说明 f(x)≥ 1恒成立 .但是曲线 f(x) =x2 1与斜线 g(x) =2 x相切且在其上方 ,并不能说明 f (x)的所有值不小于切点的纵坐…     

两道函数题的错解剖析

在函数这章的教学中 ,笔者发现学生在解题过程中出现与函数有关的两个相似的错误 .剖析如下 .错误 1　认为函数 y =f (x 1 )的反函数是 y =f-1(x 1 ) .例 1　已知 f (x) =2 x 3x - 1 ,函数 g(x)的图象与 y =f-1(x 1 )的图象关于直线y =x对称 ,则 g(3 ) =.错解　根据题意 ,g(x)是 f -1(x 1 )的反函数 ,而 f -1(x 1 )的反函数是 f (x 1 ) ,∴　 g(x) =f (x 1 )=2 (x 1 ) 3(x 1 ) - 1 =2 x 5x .故得　 g(x) =1 13 .剖析　 f (x 1 )的反函数是 f-1(x 1 )吗 ?我们不妨来求 f (x 1 )的反函数 ,设 y =f (x 1 ) ,则 x 1 =f -1(y) ,…     

一类特殊方程的解法探讨

本文在实数范围内探讨一类特殊方程的解法。 定理1 若F(x)在区间D上存在二阶导函数,且F″(x)>0(或F″(x)<0),又f(x),g(x),h(x),k(x)均为R上的函数,其值域均包含于D,f(x) g(x)=h(x) k(x),则方程F(f(x)) F(g(x))=F(h(x)) F(k(x))与方程f(x)=h(x)或f(x)=k(x)同解。     

综合题新编选登

题153设函数f(x)=ax-(a 1)ln(x 1),其中a>0.1)求f(x)的单调区间;2)当x>0时,证明不等式:1 xx0),由f′(x)=0,解得x=1a.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-1,1a)1a(1a, ∞)f′(x)-0 f(x)极小值由上表可知,当x∈(-1,1a)时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1,1a)内单调递减;当x∈(1a, ∞)时,f′(x)>0,函数f(x)在(1a, ∞)内单调递增.所以,函数f(x)的单调减区…     

2002年全国高中数学联合竞赛试题参考答案

一、选择题 (本题满分 36分 ,每小题 6分 )1.函数 f (x) =log12 (x2 - 2 x - 3)的单调递增区间是 (　　 ) .(A) (-∞ ,- 1)　　　 (B) (-∞ ,1)(C) (1, ∞ ) (D) (3, ∞ )解　由 x2 - 2 x - 3>0有 x <- 1或 x >3,故函数 log12 (x2 - 2 x - 3)的定义域为 x <- 1或 x >3.二次函数 u =x2 - 2 x - 3在 (-∞ ,- 1)内单调递减 ,在 (3, ∞ )内单调递增 .而 log12 u在(0 , ∞ )上单调递减 ,所以 log12 (x2 - 2 x - 3)在(-∞ ,- 1)单调递增 ,故选 (A) .2 .若实数 x,y满足 (x 5 ) 2 (y - 12 ) 2 =142 ,则 x2 y2 的最小值为 (　　 ) .(A) 2　 …     

一类反三角不等式的解法

形如arcsinf(x)arccosg(x)、arcsin f(x)arctgg(x)、arctgf(x)arccosg(x)、arccosf(x)arctgy(x)、等形式的反三角不等式,因不等式的两边是异名的反三角函数,且它们的取值不一定在三角函数的同一单调区间内,因此不能简单地在不等式的两边取三角函     

含绝对值不等式的“转化”错了吗——一类恒成立问题错误之剖析

湘教版《不等式选讲》教师教学用书中对f(x)＞g(x)与f(x)＜g(x)型不等式作了如下转化: │f(x)│＞g(x)(≒)f(x)＞g(x)或f(x)＜-g(x),(1);│f(x)│＜g(x)(≒)-g(x)＜f(x)＜g(x),(2). 但(1)在解决恒成立问题时却遇到了麻烦. 例1 已知不等式│a-2x│＞x-1在x∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.     

对一组容易混淆问题的剖析

问题已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=x3-3x2-6x m.(1)若对于任意的x1∈[-2,2],x2∈[-2,2],都有f(x1)≤g(x2)成立,求实数m的取值范围;(2)若对于任意的x1∈[-2,2],都有f(x1)≤g(x1)成立,求实数m的取值范围;(3)若对于任意的x1∈[-2,2],总存在x2∈[-2,2],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.(摘录改编于各地高三数学试题)对于(1)有学生这样解:记h(x)=g(x)-f(x)=x3-4x2-4x m-1,令h′(x)=3x2-8x-4=0,得x=4±327,易知在-2,4-327上h′(x)>0,因而h(x)在-2,4-327上单调递增,同理h(x)在4-273,2上单调递减,所以h(x)在[-2,2]上的最小值是h(2)=h(-2)=m-17,…     

超线性收敛的指数下降迭代法

1　引　　言文[1]中借助于常微分方程的Liapunov方法建立了与非线性方程f(x)=0(1)在区间[a,b]内的解x*相对应的Cauchy问题dx/dt=-w(x)f(x)(2)x(0)=x0,　x0∈[a,b](3)其中f(x)在[a,b]上连续可导,f′(x)≠0,而w(x)满足w(x)f′(x)>0且使得Cauachy问题(2)—(3)的饱和解x=x(t,x0)存在唯一.于是非线性方程(1)在[a,b]内的解x*为自治系统(2)的渐近稳定的奇点,从而有limt→+∞x(t,x0)=x*,　　x0∈[a,b](4)成立.这说明对任一初值x0∈[a,b]通过解Cauchy问题(2)—(3)可得非线性方程(1)在[a,b]内的解x*.在文[2]中利用Lambert的非线性方法[3],导出了一个…     

综合题新编选登

题 6 7　 已知函数 f(x) =x2 - 2tx + 1,其定义域为 {x| 0≤x≤ 1或 7≤x≤ 8} .1)f(x)在定义域内是否一定有反函数 ?2 )当 f(x)在定义域内有反函数 ,求t的范围 .3)在 2 )的条件下 ,求反函数 f- 1(x) .解　 1)取t =12 ,有 f(0 ) =f(1) =1.∴f(x)在其定义域内不一定有反函数 .2 )∵f(x)在x∈R时其对称轴为x =t.当t≤ 0时 ,f(x)在其定义域内为增函数 ,∴此时 f(x)有反函数 ;同理 ,当t≥ 8时 ,f(x)在其定义域内也有反函数 .图 1　题 6 7图当 1≤t≤ 4时 ,f(x)图象在x∈ [0 ,1]的一段比在x∈ [7,8]的一段更靠近对称轴 .那么要使 f(x)有反函数 ,…     

平均值函数的性质及应用

设函数 f (x)在 (-∞ , ∞ )上连续 ,当 x≠ 0时 ,我们称 F(x) =1x∫x0 f (t) dt为 f (x)在 [0 ,x]上的平均值函数 ,本文将介绍平均值函数 F(x)的若干性质并举例说明其应用 .一、F(x)的性质性质 1　 f(x)是 [0 ,x](或 [x,0 ])上的有界函数 ,F(x)也是 [0 ,x]或 [x,0 ]上的有界函数 .性质 2　若 f (x)为奇 (偶 )函数 ,则 F(x)也为奇 (偶 )函数 .性质 3　若 f(x)是周期为 T(T>0 )的周期函数 ,则limx→ ∞1x∫x0f (t) dt=1T∫T0f (t) dt (1 )　　　性质 4　若 f(x)为单调递增 (减 )函数 ,则 F(x)也为单调递增 (减 )函数 .性质 5　若对任意…     

导数应用典型错误剖析

一、导数定义理解不清例1设f(x)在x0处可导,则li m△x→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx=.误解:∵Δx→0,-Δx→0.∴Δx→0,f(x0-Δx)→f(x0),f(x0 Δx)→f(x0).即li mΔx→0f(x0-Δx)=lΔi xm→0f(x0 Δx).因此li mΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx=li mΔx→0f(x0 Δx)-f(x0)Δx=f′(x0).剖析:错误的主要原因是由于对导数的定义理解不清,导数f′(x0)=li mΔx→0ΔyΔx=li mΔx→0f(x0 Δx)-f(x0)Δx,函数在某一点x0处的导数,就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限,分子分母中的自变量的增量Δx必须保持对应一致…     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1找到所有映射f:R→R,满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y,其中x,y∈R.解映射f(x)=0和f(x)=x2显然符合条件.下面证明不存在其它的映射符合要求.设映射f:R→R满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y(1)其中x,y∈R.令a=f(0).在(1)中取x=0则对任意y∈R,f(a y)=f(-y) 4ay(2)在(2)式中先取y=0,则有f(a)=a.取y=-a,则有a=a-4a2,即a=0.因此由(2)式知f是一个偶函数.在(1)式中令y=-f(x)及y=x2.比较其结果有4(f(x))2=4x2f(x).因而f(x)=0或f(x)=x2.现假设存在x0使得f(x0)≠0,则x0≠0及f(x0)=x02.因为f是偶函数.我们假设x0>0.令x为任意非零实数,在(1)式中令y=-x0,则…     

Cauchy-Schwarz不等式的一个加强

设f(x),g(x)均在[a,b]上可积,则Cauchy-Schwarz不等式可加强为:∫abf(x)g(x)dx2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx b-2a∫abf(x)g(x)dx∫abf(x)d(x)∫abg(x)dx-b-1a∫abf2(x)dx.∫abg(x)dx2-b-1a∫abg2(x)dx∫abf(x)dx2.由此推广了文[1]结果