计算方程重根的一个高阶迭代程序

§1.我们知道,用通常的迭代程序(例如 Newton—Raphson 程序)去求方程的重根,或者由于程序收敛甚慢而浪费机器的宝贵时间,或者导致程序发散.对代数方程而言,重根使方程具有“病态”特性,这时可能使求得的根值不可信,甚至可能改变根的性质(例如,实根变为复根).因此,人们关注着方程重根的计算.     

关于计算重根的若干迭代程序

考虑具有重数为m的实根x~*的代数或超越方程 f(x)=(x-x~*)~mg(x)=0, (1)此处m为大于1的正整数,g(x)在含有x~*的某邻域内连续、可微、有界且异于零。我们知道,广义Newton-Raphson I.F。 x_(?+1)=X_n-λf(X_n)/f′(X_n),(n=0,1,2,…) (2)只当在使用时先测得所求根x~*的重数m,且令λ=m时,它所产生的序列{X_n}才能以平方敛速逼近x~*。但精确测定方程(1)的根x~*的重数m,是需要进行一些专门计算的。因此,人们常用在求根过程中已有的信息来测定根的重数m,这里通常是获得一个逼近m的序列。     

构造求方程重根高阶迭代公式的基本定理

在[1]中已经介绍了构造高阶多点迭代公式的基本定理:设φ(x)d是p阶的,则φ(x)=φ(x)-f(φ(x))/f′(x)是P 1阶的,[2]中又给出了[1]的一个改进了的基本定理,但这些定理仅适用于方程f(x)是单根的情况.本文针对φ′(x_*)的性质,提出了在重根情况下亦适用的多点迭代构造定理.     

对“重根”一文的意见

在《计算数学》1978年第3期“一个对重根也有效的求根公式”一文里提出的公式(2),是熟知的.例如见[1],J.F.Traub 的第9章第216页第9行.此外,根据(2)和切双曲法(5)综合的(7),据认为兼有(2)和(5)的长处,其实不然.例如,当根的重数k=2时,此法仅为一阶的.事实上,可不考虑 z_1的取法,从而不妨命 F(z)=z~2.由是     

关于“费尔马最后定理的证明”一文的评注

本文对“费尔马最后定理的证明”一文作出几点评注，主要结论是该证明仅仅是对费尔马最后定理的部分情形的证明，即并没有完全证明费尔马最后定理     

关于“解一维热传导方程的高精度的隐式差分格式”一文的评注

本文指出了文[1]中存在的几个问题。     

关于重积分换元公式证明的一个评注

本文指出了现行数学分析教本中有关重积分换元公式证明所普遍忽视的一个漏洞，同时给出了该公式的一个新的初等证明．     

计算方程重根及其重数的算法

给出一种计算方程重根及重数的迭代算法,分别具有平方收敛和线性收敛.(i)迭代:x_(n+1)=x_n-f x_n (f'(x_n))/((f'(x_n))~2-(f(x_n)f~n(x_n)),m_n=((f'(x_n)))~2/((f'(x_n))~2-f(xn_)f″(x_n)),n=0,1,2,…,重数m≈mn;(ii)加速迭代:x_(n+1)=x_n-(f~((m-1))(x_n))/(f(~m)(x_n)).     

方程根的迭代解法

近年来,计算数学有了很大的发展,它在国民经济及国防建设中起着越来越大的作用;特别是我国已能独立地制造电子计算机,更为它的发展奠定了物质基础。在一些读者中,常把计算数学看成是高深的学科,实际上,它是一门既古老又新兴的学科。计算方法的一些古典内容完全可以为广大数学工作者所掌握。本文的第一部分通过两个例题,介绍方程根的迭代解法的基本思想,并引导读者注意迭代解法的关键问题——迭代收敛性问题。在第二部分讨论了两个收敛性定理,其中定理1可以在通常的计算方法教科书上找到。定理1对φ(x)的假定较强,且不易检验,因而我们引进了定理2。在实际计算中,定理2的条件比定理1的条件更容易满足。本文以下的讨论都是以定理2为基础。在第三部分,讨论了怎样把一个方程     

关于“一个均值定理”一文的更正

<正> 我们在“一个均值定理”(见《数学学报》18:4(1975),254—262)一文所给的证明中有一不严格之处,即在(3.4)的最后一式把提到了的前面,这是不可以的.在不提出时,证明需稍作修正,但方法仍相同.由显然估计     

高阶中立型时滞差分方程解的振动性

研究了一类具有变系数的高阶中立型时滞差分方程解的振动性，给出了其有界解振动的两个充分条件。     

A NOTE ON THE COMPLEX OSCILLATION FOR HIGHER ORDER HOMOGENEOUS LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS

ＡＮＯＴＥＯＮＴＨＥＣＯＭＰＬＥＸＯＳＣＩＬＬＡＴＩＯＮＦＯＲＨＩＧＨＥＲＯＲＤＥＲＨＯＭＯＧＥＮＥＯＵＳＬＩＮＥＡＲＤＩＦＦＥＲＥＮＴＩＡＬＥＱＵＡＴＩＯＮＳＧａｏＳｈｉａｎ（高仕安）＆ＴａｎｇＪｉａｆｅｎｇ（汤家凤）（ＳｏｕｔｈＣｈｉｎａＮｏｒｍ...     

求解变分不等式问题的一个递推算法的一个注

本文改进了[3]中的一个基本不等式和原算法，从而提高了数值计算的效率,而且在新算法的收敛性分析中去掉了变分不等式问题的单调性条件．     

NOTE ON AN OPEN PROBLEM OF HIGHER ORDER NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS

In view of a new idea on initial conditions,an open problem of nonlinear evolution equations with higher order,which was given by J.L.Lions,is solved.Effect of our results is shown on an example.     

ON THE GROWTH OF SOLUTIONS OF A CLASS OF HIGHER ORDER DIFFERENTIAL EQUATION

In this paper, a class of higher order linear differential equation is investigated. The order and the hyper-order of the solutions of the equation are exactly estimated under some certain conditions.     

ON THE GROWTH OF SOLUTIONS TO HIGHER ORDER DIFFERENTIAL EQUATION

In this paper, we consider a higher order differential equation and obtain a precise estimate of the order of growth and the hyper-order of solutions to the equation.     

ITERATIVE METHODS FOR THE BOUNDARY VALUE PROBLEM OF A THIRD ORDER DIFFERENCE EQUATION

ＩＴＥＲＡＴＩＶＥＭＥＴＨＯＤＳＦＯＲＴＨＥＢＯＵＮＤＡＲＹＶＡＬＵＥＰＲＯＢＬＥＭＯＦＡＴＨＩＲＤＯＲＤＥＲＤＩＦＦＥＲＥＮＣＥＥＱＵＡＴＩＯＮＷａｎｇＰｅｉｇｕａｎｇ（王培光）（ＨｅｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，河北大学，邮编：０７１００２）＆Ｌｕ...     

一类高阶线性微分方程解的复振荡

研究了齐次微分方程f^(k) bf1 ezf=0的复振荡问题,其中b为复常数,在假设了方程存在非平凡解且其零点的密指量等价于o(e^r)的条件下,得到了方程的非平凡解f的一般表达式。