Beschreibung des nichtlinearen Verhaltens von Kunststoffen unter Belastung mit konstanter Dehngeschwindigkeit

Zusammenfassung Für die mathematische Beschreibung des viskoelastischen Verhaltens von Kunststoffen unter Dehnung mit konstanter Dehngeschwindigkeit führt eine Prony-Dirichlet-Reihe zu guten Ergebnissen. Erfaßt man die Abhängigkeit der Parameter dieser Reihe von der Dehngeschwindigkeit bzw. der Versuchsdauer, so kann das nichtlineare viskoelastische Verhalten des Werkstoffes in einer relativ breiten Spanne von Dehngeschwindigkeiten, wie es Beispiele zeigen, mit sehr guter Genauigkeit wiedergegeben werden.

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Summary A good mathematical representation of the viscoelastic behaviour of plastics under constant strain rate tension is obtained by using a Prony-Dirichlet series. If the dependence of the parameters of the series from the strain rate an the duration of the test is established, then the nonlinear viscoelastic behaviour of the material can be described with a good accuracy in a relatively wide range of strain rates, as shown in some examples.

Mit 5 Abbildungen und 1 Tabelle     

Zur Berechnung von Rotationsschalen mit Differenzenverfahren

Übersicht Die lineare Biegetheorie von Rotationsschalen wird durch ein System gekoppelter Differentialgleichungen erster Ordnung beschrieben. Zu ihrer numerischen Integration wird das Differenzenverfahren herangezogen, womit sich die Zustandsgrößen allgemeiner Rotationsschalen bei beliebigen Randbedingungen und Beanspruchungen ermitteln lassen. Die Anwendung des Verfahrens wird an Beispielen erläutert.

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Summary The linear bending theory of shells of revolution is described by a system of first order differential equations. The system is solved numerically by the method of differences. Thus, the stresses and elastic deformations of shells of revolution with arbitrary loads and boundary conditions can be determined. The application of the method is illustrated by several examples.

     

Zur Berechnung von Rotationsschalen mit Übertragungsmatrizen

Übersicht Die Grundgleichungen der linearen Biegetheorie dünner Rotationsschalen werden zu einem System von Differentialgleichungen erster Ordnung zusammengefaßt und in Matrizenform geschrieben. Die Koeffizientenmatrix des Systems ist für Hauptkrümmungskoordinaten in allgemeinen differentialgeometrischen Kennwerten angegeben und kann für bestimmte Rotationsschalen spezialisiert werden. Die Integration des Differentialsystems führt über Matrizenreihen und Matrizenprodukte unmittelbar zur Übertragungsmatrix. Numerische Schwierigkeiten lassen sich durch die Kombination mit einer baustatischen Methode beseitigen. Als Beispiel dient eine Teil-Torusschale unter Randbelastung.

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Summary The fundamental equations of the linear theory of shells of revolution are combined into a system of first-order differential equations formulated with matrices. The coefficient-matrix of the system is stated in general terms of differential geometry and lines of curvature but it may be specialized for any rotational geometry. The transfer-matrix results from a straightforward process of integration by series and products of matrices. Numerical difficulties may be removed by combination with a force or displacement method. As an example a section of a torus-shell subjected to edge-loads is treated.

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Dieser Arbeit liegt die Dissertation [13] des Verfassers zugrunde. Berichter: Prof. Dr.-Ing.W. Zerna; Mitberichter: Prof. Dr.-Ing.H. Duddeck.     

Zur analytischen Beschreibung des Füllstoffeinflusses auf das Fließverhalten von Kunststoff-Schmelzen

From literature some representative equations have been compiled describing the influence of filler on the viscosity of polymer melts. By application of these on the experimental results obtained from GF-SAN it was found that the relative viscosity _R , i.e. the ratio of the viscosities of the filled and unfilled melt, shows a pronounced dependence on the shear rate but not on the shear stress. Defining _R with constant and not with constant (as it is usually done), an analytical approach is possible independent of Further the influence of pressure, temperature and filler content on the zero-shear viscosity of filled polymer melts may be expressed by a modified Arrhenius equation.

     

Zur Theorie von Mehrkörpersystemen mit drehzahlgeregelten Rotoren

Übersicht Es wird gezeigt, daß die bekannte Routhsche Methode zur Elimination von zyklischen Koordinaten dann erheblich vereinfacht werden kann, wenn die in einem System vorhandenen Rotoren durch eine Regelung auf konstanter relativer Drehzahl gehalten werden. Bewegungsgleichungen, ihre Vereinfachung für den Fall schneller Rotoren sowie zweckmäßige Verfahren zur Aufstellung linearer Gleichungen werden besprochen und am Beispiel einer Drei-Kreisel-Plattform demonstriert.

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Summary The wellknown Routh-procedure for eliminating ignorable (cyclic) coordinates can be simplified considerably if the rotors, installed in a multi-body-system, are kept on constant relative rotational velocity by control. The general equations of motion, their simplifications in the case of fast running rotors and a suitable way for deriving linear equations are discussed. As an example a three-gyro-platform is considered.

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Heinz Neuber zum 70. Geburtstag gewidmet.     

Zur Verformung von Stoffen mit veränderlichen Stoff-Parametern

Zusammenfassung Es ist aus vielen Beobachtungen bekannt, daß technisch wichtige Materialien ein Verhalten zeigen, welches analytisch durch Lösung der Stoffgleichungen nicht beschrieben werden kann, wenn das Stoffgesetz unter Verwendung von Parametern konstanten Betrages gebildet wird. Die einfachste Erscheinung dieser Art kann durch das im verformungsfreien Zustand eintretende Stocken eines viskoplastischen Stoffes veranschaulicht werden. Die Thixotropie eines Stoffes wurde ursprünglich als jene Eigenschaft definiert, der zufolge in einem Stoff nach vorausgegangener Verformung allgemeiner Art eine Verminderung des Verhältnisses von Scherspannung zu Schergeschwindigkeit eintritt. In Erweiterung dieses ursprünglichen Begriffes werden gegenwärtig vielfach Werkstoffe als thixotrop angesprochen, wenn die analytische Beschreibung ihres Verformungszustandes ganz allgemein die Verwendung veränderlicher Stoffparameter verlangt.Entsprechend der usprünglichen Bedeutung der Thixotropie werden die Verformungsvorgänge beschrieben, die der Wirkung einer vorausgegangenen Verformung auf die Grenzscherspannung anBinghamschen Materialien Rechnung tragen. Bei Berücksichtigung der Abhängigkeit dieser kritischen Scherspannung von den vorausgegangenem Ruhe oder Verformungszustand können die notwendigen Stoffgleichungen aufgestellt und physikalisch begründet werden. Ein Vergleich mit bekanntenMeßergebnissen erlaubt, die für die analytische Behandlung notwendigen Stoffkennzahlen zu bestimmen.Neben thixotropem Verhalten im ursprünglichen Sinn zeigen viele Stoffe eine Abhängigkeit ihrer Eigenschaften von Druck und Temperatur. Diese Einflüsse können in das Stoffgesetz dadurch aufgenommen werden, daß man den Stoffparameter, der die Zähigkeit beschreibt, als Funktion der Temperatur und des mittleren Normaldrucks ansetzt und zur Beschreibung des Vorgangs eine Aussage über die Umwandlung von mechanischer Energie in Wärmeenergie hinzuzieht. Mit den so gewonnenen Gleichungen wird ein einfaches Beispiel, nämlich das Fließen einer Schicht konstanter Dicke auf einer geneigten Ebene unter der Wirkung der Schwerkraft, behandelt. Für die sich hierbei ergebende nichtlineare Differentialgleichung für die Temperaturverteilung werden durch Näherungsverfahren gewonnene Lösungskurven angegeben, aus denen sich der Bewegungszustand ermitteln läßt.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen vom 11.–13. Mai 1964 in Berlin-Dahlem.     

Dynamische Wechselwirkung eines Fundamentes mit dem viskoelastischen Halbraum

Übersicht Im Zusammenhang mit der Ermittlung des dynamischen Verhaltens erregter Strukturen wird die Wechselwirkung von Fundament und Baugrund behandelt. Ein auf der Kontinuumstheorie basierendes Verfahren zur Berechnung von Vertikal- und Kippschwingungen beliebig berandeter, starrer Fundamente auf dem als viskoelastischer Halbraum abgebildeten Baugrund wird angegeben. Die Lösung eines dreidimensionalen dynamischen Spannungsrandwertproblems erlaubt mittels linearer Superposition die Berechnung der Parameter eines Halbraumersatzmodelles, der dynamischen Sohldruckverteilung sowie der Ausbreitung erzwungener Wellen im Erregernahfeld.

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Summary Subject of the present paper is the dynamics of soil-foundation interactions. This interaction has to be included in calculating the response of dynamically loaded footing-supported structures. Vertical and rocking vibrations of an arbitrarily shaped rigid base resting on the surface of a viscoelastic halfspace are considered. A three-dimensional dynamic stress boundary value problem is solved using a continuum approach. Based on this solution one can calculate by means of linear superposition spring and damping coefficients of a lumped-parameter model for the halfspace, the actual pressure distribution at the interface between base and soil as well as the wave-propagation in the vicinity of the excitation.

     

Zur Berechnung von Durchsenkungen eines Balkens unter Folgen von wandernden Lasten mit finiten Raum-Zeit-Elementen

Übersicht Die Diskretisierung des Raumes und der Zeit führt auf ein Näherungsverfahren für die Durchbiegungen von Einfeldträgern unter Folgen von wandernden Lasten. Dabei wird nachgewiesen, daß Vereinfachungen der mathematischen Ausgangsgleichung für analytische Näherungslösungen nur bedingt möglich sind.

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Summary The discretization of space and time leads to an approximation for the deflections of a beam under sequences of moving loads. It is shown that simplifications of the mathematical equation for analytical approximations are possible only under certain restrictions.

     

Zur Berechnung von Fahrleitungsschwingungen mit Hilfe frequenzabhängiger finiter Elemente

Übersicht Bei der Untersuchung des dynamischen Zusammenwirkens von Fahrdraht-Kettenwerk und Stromabnehmer im Hochgeschwindigkeitsbereich ist es erforderlich, die hochfrequenten Schwingungsformen der Fahrleitung zu berücksichtigen. Diese Forderung behindert den wirtschaftlichen Einsatz der in der Praxis gebräuchlichen Finite-Elemente-Programme, da zur Modellierung einer aus mehreren Mastfeldern bestehenden Abspannlänge sehr viele Freilieitsgrade zur Darstellung der hochfrequenten Eigenformen benötigt werden.In dem Beitrag wird die analytische Lösung der Seilgleichung zur Herleitung frequenzabhängiger Elementmatrizen verwendet. Damit kann die Flexibilität der Finite-Elemente-Modellierung mit der Genauigkeit und Kürze der analytischen Lösung kombiniert werden. Die Elementteilung der Fahrleitung erfolgt nur noch nach Maßgabe geometrischer und physikalischer Erfordernisse.Den Abschluß des Beitrages bildet eine Nachrechnung der von den British Railways durchgeführten Versuche, bei denen ein mehrfeldriges Kettenwerk durch Freigabe eines angehängten Gewichts zu Schwingungen angeregt wurde.

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Summary The coupled analysis of the dynamic behavior of an overhead catenary with a pantograph moving at high speed requires the representation of the catenary natural modes up to very high frequencies. This requirement hampers the economic use of commercial finite-element-programmes, because too many degrees of freedom are necessary in the finite-element-model of a multi-span catenary to represent the highest natural frequencies with the required accuracy.The analytical solution of the string differential equation is used in the paper to derive frequency dependent element matrices, in order to combine the finite-element modeling technique with the accuracy of the analytical solution. Thus clement partitioning is only governed by geometrical and physical requirements.The paper ends with a comparative analysis of a two-span catenary which was tested by British Railways.

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Prof. Dr.-Ing. Sigurd Falk zum 60. Geburtstag gewidmet.

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Die Arbeit entstand zum Teil im Rahmen eines Forschungsauftrages der Deutschen Bundesbahn mit Förderung des Bundesministers für Forschung und Technologie     

Zur Beschreibung der rheologischen Eigenschaften konzentrierter Polystyrol-Lösungen

Zusammenfassung Es wurden Messungen der Viskosität und der ersten Normalspannungsdifferenz (Querviskosität) an konzentrierten Polystyrollösungen in Toluol durchgeführt. Die Meßergebnisse werden anhand der modifizierten Theorie vonTanner-Lodge analysiert. Der Einfluß der Biegsamkeit der Ketten und der Homogenität des Molekulargewichts auf die rheologischen Eigenschaften der Lösung wird aufgrund dieser Theorie diskutiert.

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Summary Measurements of viscosity and the first normal stress coefficient (cross-viscosity) were carried out with concentrated solutions of polystyrene in toluene. The results are analysed by means of the modified theory ofTanner-Lodge. The influence of the rigidity of the macromolecular chains and of the molecular weight distribution on the rheological properties of its solutions are discussed in terms of this theory.

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Mit 8 Abbildungen und 1 Tabelle     

Zur Berechnung von stählernen Behältern mit elastisch-plastischem Werkstoffverhalten

Übersicht Bei stählernen Behältern treten in Bereichen mit polygonartig veränderlicher Schalenform, verstärkten Ausschnitten oder konstruktiven Verzweigungen Spannungsspitzen auf, die sich durch örtliches Fließen abbauen. Um diesen Vorgang für rotationssymetrische Geometrien rechnerisch verfolgen zu können, wurden elastisch-plastische Ringelemente entwickelt und deren Brauchbarkeit an Hand von Vergleichsbeispielen erprobt.

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Summary Elasticplastic shell elements for axi-symmetric problems are developed, which enable the calculation of thin and thick vessel structures including those with varying geometry, holes and junctions. Comparisons of the present analysis with known solutions demonstrate the efficiency of the present elements.

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Diese Arbeit wurde aus Mitteln der Stiftung Volkswagenwerk und der Deutschen Forschungsgemeinschaft gefördert     

Zur Wölbkrafttorsion von Stäben mit dünnwandigem Querschnitt

Übersicht Mit einem erweiterten Balkenmodell, einem eindimensionalen Kontinuum mit sieben funktionalen Freiheitsgraden, kann man außer Dehnung und Biegung noch die Wölbkrafttorsion erfassen. Nur bei der Bestimmung der Beträge der Elastizitätskonstanten muß man auf die dreidimensionale (Punkt-)Elastizitätstheorie zurückgreifen. Durch die getrennte Darstellung von eindimensionaler und dreidimensionaler Theorie wird deutlich, weshalb das Bimoment als zusätzliche Kraftgröße eingeführt werden muß.

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Summary A somewhat extended model, which considers a beam as a one-dimensional continuum with seven functional degrees of freedom, is used to describe tension, bending and torsion with restrained warping. The three-dimensional theory of (point) elasticity is referred to only obtain the values of the elastic coefficients. By presenting the one- und three-dimensional theories separately the reason for introducing the bimoment as an additional force becomes clear.

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Der Verfasser dankt Herrn Prof. Dr.-Ing. K. Marguerre für die Durchsicht der Arbeit.     

Zur homogenen Maschine mit Zusatzdrehmassen

Zusammenfassung Unter gewissen Bedingungen liefern die für die Berechnung der Eigenwerte einer homogenen Maschine mit Zusatzdrehmassen maßgebenden transzendenten Gleichungen bei alleiniger Berücksichtigung der reellen Lösungen zu wenig Eigenfrequenzen. Die fehlenden Frequenzen — es handelt sich hierbei stets um die höchsten — erhält man aus den komplexen Lösungen. Es werden, unter Beschränkung auf eine oder zwei Zusatzmassen, die Bedingungen untersucht, bei denen komplexe Eigenwerte auftreten, und die in diesen Fällen geltenden Gleichungen für die Eigenfrequenzen, Momente und Drehwinkel abgeleitet. Neben dem Verhältnis der Trägheitsmomente ist auch dasjenige der Federkonstanten für das Auftreten komplexer Lösungen von Bedeutung, so daß solche, wie man aus den zuständigen Bedingungsgleichungen ersieht, auch bei sehr großen Zusatzmassen vorkommen können. Man kann übrigens zeigen, daß beim Vorhandensein von z Zusatzmassen maximal z komplexe Eigenwerte möglich sind.Es sei hier noch vermerkt, daß sich die gewonnenen Ergebnisse analog auf homogene Schwingungsketten mit Zusatzmassen an den Enden übertragen lassen.     

Zur energetischen Optimierung von Schleppströmungspumpen mit durchgehend konstantem Arbeitsspalt für Medien mit nicht-newtonschem Fließverhalten

Zusammenfassung Die zum kontinuierlichen Austragen und Ausformen von strukturviskosen und anderen nicht-newtonschen Medien dienenden Schleppströmungspumpen lassen sich bei vorgegebenem Volumendurchsatz und Betriebsdruckp durch Anpassung des Arbeitsspaltesh und der Arbeitsdrehzahln energetisch optimal auslegen und betreiben. Die entsprechende Kennzahl ist der als Quotient aus Austriebs-Leistung p und AntriebsleistungP definierte Pumpwirkungsgrad . — Die optimalen (h, n, )-Werte werden unter der Voraussetzung berechnet, daß sich das Fließverhalten des geförderten Mediums durch einen Polynomansatz nachRabinowitsch beschreiben läßt. Dabei ergibt sich für die optimalen-Werte ein Bereich zwischen etwa 20% und 33%. Rheologische Ansätze mit einer auf eine mittlere Schergeschwindigkeit bezogenen konstanten scheinbaren Viskosität, welche in jedem Fall auf den für newtonsche Medien charakteristischen Idealwert=33% führen, sind hiernach für strukturviskose und andere nicht-newtonsche Medien unzulässig.

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Summary Drag-flow pumps, as used for the continuous extrusion of non-Newtonian fluids, can be operated with minimum drive powerP at a given volume throughput and pressurep, if the radial dimensionh of the drag channel and working speedn are optimized. The key number of this optimization is the efficiency . — Appropriate (h, n, )-values are calculated on the basis of the rheological equation proposed byRabinowitsch. The optimum range of-values is found to be between 20% and 33%, whilst former calculations with an average apparent viscosity resulted in _opt = 33% generally. Obviously, here is one of the causes of discrepancy between theoretical and actual efficiencies of such pumps.

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Symbole a Stoffkennzahl, Gl. [3] - b Breite des Schleppspalts, Abb. 2 - c Stoffkennzahl, Gl. [3] - C ₁ Integrationskonstante, Gl. [5] - C ₂ Integrationskonstante, Gl. [8] - d Durchmesser des rotierenden Elements, Abb. 1 - e spezifische Antriebsleistung, Gl. [18] - h Höhe (Radialmaß) des Schleppspalts, Abb. 1 - k Anzahl der Schleppspalte - m Fließexponent im Potenzansatz - Massedurchsatz - M _d Drehmoment - n Umdrehungsgeschwindigkeit, Arbeitsdrehzahl des rotierenden Elements, Abb. 1 - p Betriebsdruck - p Druckgradient, Gl. [6] - P aufgenommene Antriebsleistung - r radiale Koordinate - r _i=d/2 – h Innenradius des rotierenden Elements - r _a=d/2 Außenradius des rotierenden Elements - s zirkulare Länge des Schleppspalts - t (mittlere) Verweilzeit des Mediums im Schleppspalt - T Temperatur - v lokale zirkulare Geschwindigkeit - v ₀ Umfangsgeschwindigkeit des rotierenden Elements, Abb. 1 - V Volumen des Schleppspalts - Volumendurchsatz der Schleppströmungspumpe - Volumendurchsatz der Druck(gradienten)strömung - Volumendurchsatz der Schleppströmung - dimensionslose Kennzahl, Gl. [22] - Schergeschwindigkeit, Gl. [2] - dimensionsloser Pumpwirkungsgrad, Gl. [1] - µ Scherviskosität - Dichte - Schubspannung, Gl. [2] - zirkulare Koordinate - Fluidität im Potenzansatz - Winkelgeschwindigkeit Erweiterte Fassung eines Vortrages anläßlich des 5. Stuttgarter Kunststoff-Kolloquiums vom 2. März 1977.Mit 14 Abbildungen     

Zur Berechnung von Platten nach der Theorie II. Ordnung mit Hilfe eines hybriden Deformationsmodells

Übersicht Auf der Grundlage eines erweiterten Variationsprinzips für elastische Platten nach der Theorie II. Ordnung wird die Herleitung von Elementsteifigkeitsmatrizen angegeben, die es erlauben, die Anzahl der finiten Elemente und damit die Größe der Gesamtstrukturmatrizen drastisch zu vermindern. Zur Annäherung an die genaue Lösung eines gegebenen Problems kann neben der feineren Elementunterteilung der Grad der Verschiebungsansätze innerhalb der Elemente und der Grad der Kraftgrößenansätze an den Elementübergängen beliebig erhöht werden. Zur Abschätzung der Genauigkeit und des Rechenaufwands bei dieser Vorgehensweise wurde an Hand eines rechteckigen Elementes ein Vergleich mit einem vollverträglichen Deformationsmodell (Hermite-Polynom Elemente) durchgeführt. Es zeigte sich, daß das hybride Modell immer dann schnelle und gute Ergebnisse liefert, wenn die Lösung nicht durch Singularitäten gestört wird.

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Summary On the basis of a generalized variational principle for elastic plates with initial stresses element stiffness matrices are derived, which permit a drastic reduction of the number of finite elements and of the magnitude of the assembled stiffness matrix. To approximate the exact solution of a given problem either the element mesh may be refined or the order of the assumed displacement function within the elements or the order of the assumed force functions at the interelement boundaries may be increased. To estimate the approximation and the computational effort a comparison is made between a rectangular hybrid displacement element and a fully compatible Hermite polynomial displacement model. The proposed hybrid model gives fast and good results provided that the solution is not disturbed by singularities.

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Fachgebiet Leichtbau, Technische Hochschule Darmstadt.     

Zur Rheologie von Biosuspensionen

Zusammenfassung Das Fließverhalten suspendierter Mikroorganismen, hier kurz Biosuspensionen genannt, ist unter anderem stark abhängig von der Konzentration und der Morphologie der Mikroorganismen. Hier wird über Untersuchungen zu diesen Abhängigkeiten berichtet. Als Biosuspension wurde Streptomyces tendae, ein pelletbildendes Bakterium verwendet. Die rheometrischen Untersuchungen wurden in einem Couette-System (3 mm Spaltweite) mit einem konventionellen Rotationsrheometer durchgeführt. Zur Kennzeichnung der Morphologie wurden Pelettgrößenverteilungen und zur Beschreibung des Fließverhaltens die stationäre Fließkurve und die Parameter der linearen Viskoelastizität bestimmt. Es zeigt sich, daß bei kleinen Scherbelastungen die Pellets zu unter Umständen den gesamten Meßspalt überbrückenden Netzwerken agglomerieren, die bei höheren Schergeschwindigkeiten schließlich bis zu Einzelpellets abgebaut werden. Noch weitere Steigerung der Schergeschwindigkeit führt zur Verformung der Pellets, was sich als sehr langsam ablaufender Vorgang darstellt. Abschließend werden Betrachtungen zur Modellierung des Fließverhaltens angestellt.

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The flow behavior of microbial suspensions, otherwise referred to as fermentation broths, is strongly influenced by both the concentration and morphology of the suspended microorganisms. This work investigates the relationship between these parameters. The microorganism used was Streptomyces tendae, which is a pellet-building, filamentous organism. Rheological measurements of these broths were carried out in a Couette geometry. The morphology of the suspensions was characterized by the microbial pellet size distribution. The suspensions showed themselves to be both shear thinning (steady flow curve) and very elastic (dynamic flow curve).

     

Zur Beschreibung homogener unärer und binärer Kondensationsvorgänge

The modified theoretical analysis of the binary nucleation and the subsequent heterogeneous droplet growth presented includes the limiting unary condensation. By introducing a new parameterζ, the ratio of the reduced partial molecular volumes, it is possible to illustrate the changing binary droplet composition during their growth from the metastable equilibrium. A complete calculation of the droplet growth confirms the assumptions. As a typical result it is found, that the binary droplets will obtain their equilibrium composition within 10^?5s — starting with their metastable value. The comparison of the droplet growth model and parallel measurements with water-ethanol mixtures in the expansion fan of a shock tube confirms the results.     

Zur Kinetik dehnungsloser Seile mit Knickstellen

Ohne Zusammenfassung