寻找主条件,打开解题突破口

<正>一、问题(2016年全国初中数学四川初二初赛13题)已知如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,且AC=AB+BD,求证:AD是∠BAC的平分线.二、问题分析在△ABC中,已知一个边关系AC=AB+BD,一个角关系∠B=2∠C,欲证明AD是角平分线.从哪里入手呢?题目给出的两个已知条件还不能直接建立联系.此时可以选择其中一个为主条件,从它出发找到解决问题的突破口实现问题解决.     

一道外接球问题的通解

<正>近日,有一朋友与我交流一道外接球问题,做后颇有感悟,特记录下此题与诸位分享.原题三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的表面上,且平面ABC⊥平面BCD,AB=CD=5,AC=8,BD=3,且∠BAC+∠BDC=π,则球O的表面积为_.解析法一(借助双圆模型)令∠BAC=θ,∠BDC=α,由余弦定理知,BC²=AB2=AB²+AC2+AC²-2AB·AC·cosθ=89-80cosθ;BC2-2AB·AC·cosθ=89-80cosθ;BC²=BC2=BC²+BD2+BD²-2BC·BD·cosα=34-30cosα;     

一道内涵丰富的联赛题及其背景探讨

今年的全国初中数学竞赛二试的第二题,笔者认为这是一道源于教材,高于教材,内涵丰富,不落俗套的好题。题如图1,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,且∠BED=2∠CED=∠A。求证:BD=2CD。等腰三角形极为常见,但给出连等式∠BED=2∠CED=∠A,使其内涵丰富,可用元素多,证题方法灵活,可用知识点几乎涉及整个平几知识,本文给出标准答案以外的若干证法,大家就不难体会这一点。     

角平分线定理的几种证法

我在学习的过程中,发现了关于角平分线定理的几种证法.现简证于下: 命题在△ABC中,AD是∠BAC的平分线.若AB=c,AC=b,BD=p,DC=q,则c:b=P:q.     

由一道题的解题过程所想到的

笔者在某丛书中看到这样一道题及解答过程： 例题 如图1，已知△ABC中，∠ABC=90°，延长AC到点D，连接BD，若∠CBD=30°且AB=CD=1，求AC的长．     

构造辅助线解几何题两例

<正>在解几何题中,有时候恰当地构造辅助线,可以有效地打开思维,化繁为简,起到很好的解题效果.下面以两道题为例来进行说明.例1如图1,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于D、交AC于E,且BD=EC.求证:AB=AC.证法1如图2,连接OD、OE.∵OB=OC,OD=OE且BD=CE,∴△OBD≌△OCE(SSS),∴∠B=∠C,∴AB=AC.证法2如图2,连接OD、OE.∵BD=EC,     

新题征展(70)

A 题组新编 1.(1)在△ABC中,已知AB=AC=1,∠A=20°,E,D分别是AB,AC上的动点.求BD DE EC的最小值dmin; (2)在(1)中,将∠A=20°改为∠A=30°,求dmin;     

一堂复习课的教学实录与反思

问题1关于Rt△ABC(图1),你知道哪些知识?生1:AC2 CB2=AB2,∠A ∠B=90°;若∠A=30°,则BC=12AB,反之也成立.师:还有吗?生2:AC CB>AB,AB>AC;若M为AB中点,则CM=21AB.师:还有吗?生3:若CD⊥AB于D,则CD2=AD·BD,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.师:噢,我正想出示问题2呢?图2问题2因为Rt△ABC,C     

"∠B=2∠A"型问题的处理方法

掌握几何中"∠B=2∠A"型问题的处理 方法,是快速解答相关问题的关键. 一、作大角的角平分线 例1 如图1, 在△ABC中,AB= 2BC,又∠B=2∠A, 求∠C. 解 作∠B的平 分线交AC于E,过E 作DE⊥AB于D. ∵∠B=2∠A,∴ ∠1=∠2=∠A. ∵ DE⊥AB,　∴ BD=1/2AB. ∵AB=2BC, ∴ BD=1/2×2BC=BC.     

利用基本图形进行课本习题的挖掘和深化

原题1 已知:如图1,∠ABC、∠ACB角平分线交于点F,过F作DE∥BC交AB于D,交AC于E,求证:BD EC=DE.(初中《几何》第二册P85) 略证∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,DE∥BC, ∴ △DBF、△EFC是等腰三角形, DF=BD,EF=EC, ∴ BD EC=DE. 原题2(初中《几何》)第二册P116,15题,题略)     

培养学生思维能力的一道优秀几何竞赛题

题目(2008年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛)已知:如图1,在△ABC中,∠A=75°,∠B=35°,D是BC上一点,BD=2CD,求证:AD2=(AC+BD)(AC-CD).图1此题是培养学生观察、实验、分析、比较、论证的思维能力,培养学生的分析图形,抓住图形的本质,灵活运用定理公式等基础知识综合解决问题的能力的一道几何题,本文对这道题进行具体的分析,以期对数学教学有所启示.分析1观察图1和问题的结论,一看就知道它符合斯特瓦特(Stewart)定理的构图,由斯特瓦特定理(数学竞赛大纲中指定的定理,还有梅涅劳斯定理,塞瓦定理等)可得AD2.BC=AB2.CD+AC2.BD-BC.BD.DC.由BD=2CD,可化简为AD2=12AB2+23AC2-2CD2.①在公式①中,除AB2外,其余各线段都是与该题结论相关的线段,那么AB2与什么线段相关呢,这就是本题的隐含公式,如何找出这隐含公式,我们看结论AD2=(AC+BD)(AC-CD)=(AC+2CD)(AC-CD)=AC2+AC.CD-2CD2.②由①和②公式,可得AB2=AC2+AC.BC这就是本题中的隐含公式下面的所有证法都是围绕解决公式AB2=AC2+...     

“三角形内角平分线性质定理”教学实录 湖北省六市、三企教研协作会数学公开课之一

一课题:三角形内角平分性的线质定理。二教学目的 1.理解定理的含义,初步用来解答一些基本习题; 2.理解定理的证明过程,了解这种证法的基本思想。三重点与难点三角形内角平分线的性质定理及其证明过程是重点;证明定理时适当添作辅助平行线是难点。四教学方法:研究式教学法。五教学过程 1.引入新课教师:如图1,已知△ABC中,AB=AC且AD平分∠BAC;那么BD/DC=? AB/AC=? 〔众生举手,教师指定A生回答。〕 A生:BD/DC=1,AB/AC=1。教师:这两个比有何关系?     

从一道几何题的证明谈如何探索解题途径

如图,△ABC中AB=AC,AD是∠BAC的平分线,BM、BN三等分∠ABC,CN的延长线交AB于E,求证EM∥BN 这是一个能够培养学生的思维的广阔性、灵活性等多种思维品质的不可多得的好题。如果教师能够和学生一起深入研究、探讨本题的各种证法将能收到举一反三、触类旁通、事半功倍之效。 1.由面积证法、三角证法诱发出“纯”几何证法(“综合法”)。一个陌生的几何证明题摆在我们面前,常使人感到无从下手。也许,有一个相当筒单的证法,但是在     

一道常见题的证明、一般化和拓展

<正>1问题呈现已知如图1,O是正方形ABCD的对角线AC与BD的交点,AF平分∠BAC,DH⊥AF于点H,分别交AB,AC与点E,G.求证:OG=1/2BE.本题的一种证法是应用梅涅劳斯定理,即如图1,△ABO被直线ED所截,     

对一道平面几何问题的探究反思

2010年第5期《数学通报》刊登了白玉娟、郭璋老师给出的1846号问题"在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D1,D2在AC上,且AD1=CD2,AE1⊥BD1于E1,延长AE1交BC于F1,AE2⊥BD2于E2,延长AE2交BC于F2.求证:∠AD1B+∠AD2B=∠CD1F2+∠CD2F1"的证明1.我们通过对该问题认真探究反思,得到了该问题的一些有意义的结论:一是该问题的多种证法,二是该问题的变形命题,三是该问题的原型命题,四是问题的推广引申.     

平分90°圆周角的弦长公式的多种证法

<正>《中学生数学》2013年第4期(下)刊登了永安老师《平分90°圆周角的弦长公式》,读后益匪浅,本文拟给出另外两种证法,供参考.原题如图1,在⊙O中AB是直径,CD平分圆周角∠ACB,交⊙O于D,记AC=b,BC=a,     

数学问题解答

20 0 4年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 0 6　在△ABC中 ,AB=AC ,∠B的平分线交AC于D ,且BC =BD AD .求∠A .(山东大学数学与系统科学学院 3 62信箱　王大鹏　2 50 1 0 0 )解法 1 　在BC上取一点E ,使BE =BD .连结DE .因为AB =AC ,所以∠ABC=∠C .设∠C =2α ,因为     

一赛题的另解

<正>题目在△ABC中,∠BAC=40°,∠ABC=60°,若D和E分别是边AC和AB上的点,且使∠CBD=40°,∠BCE=70°,F是BD和CE的交点,连结AF,求证:AF⊥BC.此题是2013年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题第四题,竞赛组委会所提供的答案是采用多组"四点共圆"进行证明的.本文再给出另外几种证法,供读者赏析.     

遇到困难想“开”点

几何题难 ,难在作辅助线 .在许多人的常规思维中 ,辅助线只会在图形的内部作 ,“锅里打 ,碗里斗” ,而“延”着图形想开去———在图形的外部作辅助线 ,是一个极易忽视或很难想到的问题 .本文谈谈我在这方面的看法 .一、向外作延长线例 1△ABC内 ,∠BAC =60° ,∠ACB =40° ,P、Q分别在BC、CA上 ,并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线 .求证 :BQ +AQ =AB +BP . (2 0 0 2年全国竞赛 )分析　延长AB至D ,使BD =BP ,则AB +BP =AD .由∠QBC =∠C =40° ,得BQ =QC ,于是BQ +AQ =AC .易知△ADP≌△ACP ,所以AC =AD …     

端点相连的三条弦的性质

<正>端点相连的三条弦可分为几种情形,下面介绍它们的性质.情形1[1]如图1,AB、AC、AD是⊙O中依次的三条弦,记∠CAD=α、∠BAC=β,则AC·sin(α+β)=AB·sinα+AD·sinβ.证明连接BD、BC、CD,由托勒密定理得AC·BD=AB·CD+AD·BC 1设⊙O的半径为R,显然有