Solutions périodiques d'un système différentiel non linéaire du second ordre avec changement de signe

Résumé On s'intéresse à la recherche de solutions T périodiques d'un système + a(t)V(x)= =f(t), où a:R R et f:R Rⁿ sont T périodiques. Le potentiel V est supposé convexe sous quadratique et on utilise la formulation variationnelle duale du problème. On démontre différents résultats d'existence d'au moins une solution au problème, non triviale dans le cas où la fonction f est nulle.     

Subordination des résolvantes

Résumé Soit (V ₎₀ une résolvante définie sur un espace mesurable telle que le noyau initial est borné; on trouve une condition nécéssaire et suffisante pour qu'un noyau borné U possède une résolvante (U ₎₀ telle que U V pour tout 0. On donne plusieurs applications de ce résultat.     

Classes caractéristiques d''une π-algèbre et suite spectrale en K-théorie bivariante

Résumé Pour tout groupe discret et pour toute -algèbre D, la C ^*-algèbre D(E) (dont la définition exacte est donnée dans la section 4) est la version équivariante de la C ^*-algèbre C(B, D) des fonctions continues sur B, le classifiant du groupe, à valeurs dans D et qui s'annulent à l'infini. Si D désigne une autre -algèbre, nous définissons une suite spectrale en K-théorie bivariante dont les premiers termes sont donnés par les groupes H ^p (B, KK(D, D)) et qui converge (lorsque B est de dimension finie) vers KK(B; D(E), D(E)). Cette suite spectrale généralise celle de Kasparov mais est obtenue de manière différente: en étendant la définition des quasihomomorphismes aux C(X)-algèbres (X est une espace topologique localement compact), on a recours à des méthodes homotopiques telles les décompositions de Postnikov et le calcul des groupes d'homotopie des espaces d'équivalences d'homotopie. Sous certaines hypothèses, ces mÊmes constructions nous permettent de définir, pour toute -algèbre D, une obstruction, appelée classe secondaire de la -algèbre D, qui détermine la différentielle d ₂ de la suite spectrale de Kasparov.

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For all discrete group and all -algebra D, the C ⁺-algebra D(E) (whose exact definition is given in Section 4) is the equivariant version of the C ^*-algebra C(B, D) of continuous functions from B (the classifiant of the group) to D, vanishing at infinity. If D is another -algebra, we define a spectral sequence in bivariant K-theory whose first terms are given by the groups H ^p (B, KK(D, D)) and which converges (if B of finite dimension) to KK(B; D(E), D(E)). This spectral sequence generalises the spectral sequence given by Kasparov but it is obtained in a quite different way: by extending the definition of quasihomomorphisms to the C(X)-algebras (where X is a locally compact topological space), we use homotopical methods, like Postnikov decompositions and the calculus of homotopy groups of spaces of homotopy equivalences. Furthermore, under certain hypotheses, with these constructions, we define an obstruction, called the secondary class of the -algebra D, which determines the differential d ₂ of the Kasparov spectral sequence.

     

Some overdetermined boundary value problems for harmonic functions

Summary In this paper we study various overdetermined problems involving harmonic functions. In particular, we show that if the second eigenfunctionu ₂ of the Stekloff eigenvalue problem in a bounded simply connected plane domain has a constant value of u ₂ on , then is a disk

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Résumé Cet article est consacré à l'étude de certains problèmes surdéterminés pour des fonctions harmoniques. En particulier, nous montrons que si le gradient de la seconde fonction propre du problème de Stekloff défini dans un domaine borné, simplement connexe du plan, a son module constant sur la frontière , alors est nécessairement un disque.

     

Addendum to ‘asymptotic eigenfunctions of mixed problems of Stekloff's type’: Extension to exterior problems

Summary The asymptotic eigenvalues and eigenfunctions of the problem: V=0 in the exterior domain to a regular closed curvec and V/=V(s)g(s) onc, are obtained. It is shown that _n =0(n) andV _n (s) becomes trigonometric.

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Résumé SoitD la région extérieure d'une courbe fermée régulière,c; on détermine le comportement asymptotique des valeurs propres et fonctions propres du problème: V=0 dansD et V/=V(s)g(s) surc. On peut démontrer que _n =0(n) et lesV _n (s) deviennent des fonctions trigonométriques.

     

Admissibility of linear estimators of regression coefficients under quadratic loss

For the general fixed effects linear model:Y=X+, N(0,V),V0, we obtain the necessary and sufficient conditions forLY+a to be admissible for a linear estimable functionS in the class of all estimators under the loss function (d -S)D(d -S), whereD0 is known. For the general random effects linear model: =XV ₁₁ X+XV ₁₂+V ₂₁ X+V ₂₂0, we also get the necessary and sufficient conditions forLY+a to be admissible for a linear estimable functionS+Q in the class of all estimators under the loss function (d -S -Q)D(d -S -Q), whereD0 is known.     

Dualität bei konvexen Optimierungs-(Programmierungs-)Aufgaben

Summary For a linear-programming-problem Max {px | Ax b, x 0} the so called dual problem is defined as Min {b y | y A p, y 0}. The two problems are linked by the following: Existence Theorem: If both problems have feasible solutions, then both have optimal solutions; and the Duality Theorem: If one of the problems has an optimal solution, then both have optimal solutions with equal optimal values.In this paper we show that all the different generalisations of these theorems to convex, nonlinear programming problems are special cases of two general theorems, which use the means of the theory of conjugate functions as set forth byFenchel.For easy understanding we develop the necessary properties of conjugate functions and give proofs of these two general theorems, of which the duality theorem has not been proved before. In the second part we specialise these theorems to some non-linear programming problems and obtain all the different duality theorems ofDennis, Dorn, Hanson, Huard, Wolfe as special cases of these general theorems.

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Résumé On dit que les problèmes de programmation linéaire Max {px | Ax b, x 0} et Min {by | y A p, y 0} sont duals. Les deux problèmes sont liés par les théorèmes suivants: Théorème d'existence: «Si les deux problèmes ont des solutions possibles, alors ils ont tout deux des solutions optimales.» Théorème de dualité: «Si un problème a une solution optimale, alors les deux ont des solutions optimales de mêmes valeurs.» Dans ce travail nous montrons que toutes les differentes généralisations de ces théorèmes aux problèmes de programmations convexes non linéaires sont des cas particuliers de deux théorèmes généraux qui utilisent les méthodes de la theorie des fonctions conjuguées comme les poseFenchel.Pour une compréhension plus facile nous développons les propriétés nécessaires des fonctions conjuguées et nous donnons des preuves de ces deux théorèmes généraux dont le théorème de dualité n'a pas été démontré précédemment. Dans la deuxième partie nous particularisons ces théorèmes à quelques problèmes de programmation non linéaire et nous obtenons tous les différents théorèmes de dualité deDennis, Dorn, Hanson, Huard, Wolfe, en tant que cas particulier de ces deux théorèmes généraux.

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Der Deutschen Forschungsgemeinschaft danke ich für finanzielle Unterstützung während der Abfassung dieser Arbeit.

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Vorgel. v.:W. Krelle     

Some isoperimetric norm bounds for the first eigenfunction of wedge-like membranes

Zusammenfassung Das Ziel dieser Arbeit ist die Konstruktion von unteren und oberen Schranken für _D hu dx dy mith=r sin . Dabei istu die erste Eigenfunktion einer auf dem Rande gebundenen Membran, deren Gebiet vollständig im Winkel 0/ liegt. Am Schluss der Arbeit werden zwei einfache Beispiele vorgeschlagen.

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Résumé L'objet de cet article est de construire des bornes inférieures et supérieures pour _D hu dx dy avech=r sin , et oùu est la première fonction propre d'une membrane vibrante fixée sur son contour D, complètement contenu dans l'angle 0/. Comme conclusion, deux applications simples sont présentées.

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This research was supported by the Swiss Nationalfonds.     

Problèmes elliptiques à frontière libre axi-symétriques: Estimation du diamètre de la section au moyen de la capacité

Résumé Le but de cet article est d'estimer la capacité d'un pétit segment [a(1–), a(1+)]×{z=0} du démi-plan := {x = (r, z)|r > 0, z } de ² par rapport à la capacité définie par la norme . Ce résultat est ensuite utilisé pour estimer le diamètre de la surface libre de certains problèmes elliptiques non linéaires.     

Elastostatics in the presence of a temperature distribution or inhomogeneity

The equilibrium of an inhomogeneous elastic body is analyzed theoretically and numerically, with special emphasis on the case when the inhomogeneity arises from a given temperature distribution. The case when the inhomogeneity (or variation in temperature) is small is treated via linearization, the corresponding expansion of the solution in terms of an appropriate small parameter being justified by means of the implicit function theorem. For certain stored-energy functions suggested by the problem of cooling basalt rock, an exact solution to the linearized problem is found. A direct minimization of the energy using a finite-element algorithm is found to agree with the linearized solution as 0.

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Résumé L'équilibre d'un corps élastique inhomogène est étudié théoriquement et numériquement, en particulier dans le cas où l'homogenéité résulte d'une distribution de température donnée. Le cas où l'inhomogenéité (ou variation de la température) est petite est traité par linéarisation, le développement correspondant de la solution en termes d'un paramètre convenable étant justifié par le théorème des fonctions implicites. Pour diverses fonctions d'énergie interne suggérées par le problème du refroidissement du basalte, on donne une solution exacte du problème linéarisé. Une minimisation directe de l'énergie utilisant une méthode d'éléments finis est en accord avec les solutions linéarisées quand 0.

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Dedicated to Klaus Kirchgässner on the occasion of his 60th birthday     

Opérateurs de mise en mémoire et traduction de Gödel

Résumé En-calcul, la stratégie de réduction à gauche (appel par nom) a, comme on sait, de bonnes propriétés mathématiques; en particulier, elle termine toujours si on l'applique à un terme normalisable. Mais, avec cette stratégie, l'argument d'une fonction est recalculé à chaque utilisation.Pour éviter ce défaut, on définit la notion «d'opérateur de mise en mémoire» (pour un type de données). SiT est un opérateur de mise en mémoire, pour les entiers par exemple, on remplace l'évaluation, par réduction gauche, de (où est un entier et un -terme quelconque) par celle deT; et celle-ci revient à ramener d'abord à une forme réduite ₀, puis à appliquer à ₀. On a donc ainsi simulé «l'appel par valeur» dans la stratégie de réduction à gauche.Le théorème principal (Corollaire du Théorème 4.1) montre que, dans un 1-calcul typé du second ordre, en utilisant la traduction de Gödel de la logique classique en logique intuitionniste, on peut trouver un type (spécification) très simple pour les opérateurs de mise en mémoire. Il donne donc aussi un moyen d'obtenir ces opérateurs, à savoir de démontrer ce type dans le calcul des prédicats intuitionniste du second ordre.

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In-calculus, the strategy of leftmost reduction (call-by-name) is known to have good mathematical properties; in particular, it always terminates when applied to a normalizable term. On the other hand, with this strategy, the argument of a function is re-evaluated at each time it is used.To avoid this drawback, we define the notion of storage operator, for each data type. IfT is a storage operator for integers, for example, let us replace the evaluation, by leftmost reduction, of (where is an integer, and any-term) by the evaluation oft. Then, this computation is the same as the following: first compute up to some reduced form ₀, and then apply to ₀. So, we have simulated call-by-value evaluation within the strategy of leftmost reduction.The main theorem of the paper (Corollary of Theorem 4.1) shows that, in a second order-calculus, using Gödel's translation of classical intuitionistic logic, we can find a very simple type (or specification) for storage operators. Thus, it gives a way to get such operators, which is to prove this type in second order intuitionistic predicate calculus.

     

Contraction of Exterior Powers in Characteristic 2 and the Spin Module

Let K be a field of characteristic 2 and letV be a vector space of dimension 2m over K. Let f be a non-degenerate alternating bilinear form defined on V × V. The symplectic group Sp(2m, K) acts on the exterior powers ^k V for 0 k. 2m There is a contraction map defined on the exterior algebra , which commutes with the Sp(2m, K) action and satisfies ² = 0 and ( ^k V) ^k–1 V We prove that ( ^k V)= ker ^k–1 V except when k=m+2. In the exceptional case, ( ^m+2 V) has codimension 2^m in ker ^m V and we show that the quotient module ker ^m V/ ^m+2 V is a spin module for Sp(2m,K). When K is algebraically closed, we show that this spin module occurs with multiplicity 1 in ^m V and multiplicity 0 in all other components of V.     

Regularity of ∫Ω|∇u|2 + λ∫Ω|u−f{2 and some gap phenomenon

We study the regularity of the minimizer u for the functional F (u,f)=|u|² + |u–f{² over all maps uH ¹(, S ²). We prove that for some suitable functions f every minimizer u is smooth in if ₀ and for the same functions f, u has singularities when is large enough.

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Résumé On étudie la régularité des minimiseurs u du problème de minimisation min_ueH ¹(,S²)(|u|² + |u–f{². On montre que pour certaines fonctions f, u est régulière lorsque ₀ et pour les mêmes f, si est assez grand, alors u possède des singularités.

     

Problème aux limites non-linéairey″ + λ2 f(y)=0:existence d'une solution et bornes pour λ2 (évaluations de la valeur critique)

Summary Le problème aux limites non-linéaire (1.1) possède une (ou plusieurs) solution seulement si < ^* = valeur critique. On donne dans cet article des bornes inférieures et supérieures de ^*. Pour certainsf, on détermine exactement ^*.Summary The nonlinear boundary value problem (1.1) possess one (or more) solution only if < ^* = critical value. We give in this paper lower and upper bounds of ^*. For somef, we determine ^* exactly.     

L'injectivité de l'application de Dixmier pour les algèbres de Lie résolubles

Résumé Soient g une algèbre de Lie résoluble sur un corps algébriquement clos de caractéristique 0, g^* l'espace dual de g et de groupe algébrique adjoint. Nous montrons que l'application de Dixmier de g^*/ dans l'espace des idéaux primitifs de l'algèbre enveloppante de g est injective.     

Аппроксимация субга рмонических функций

The following statement is proved. Letu be a subharmonic function in the region and _u the associated measure. Then there exists a functionf holomorphic in and such that if _f is the associated measure of the function in ¦f¦, then ¦u(z)–ln¦f(z)¦ A¦ln s¦+B¦ln diam¦+ s(¦lns¦+1)+C. hold at every point z for which the setsD(z, t)={w: ¦w–z¦},t(0,s) lie in and satisfy(D(z, t))t both for= _u and for= _f . In the case where is an unbounded region, In diam should be replaced by ln ¦z¦. The constants, , do not depend on andu.

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Opérateurs différentiels associés à certaines représentations unitaires d'un groupe de Lie résoluble exponentiel

Soient G = exp g un groupe de Lie résoluble exponentiel et H = exp h un sous-groupe connexe de G. Soient un caractère unitaire de H et = Ind_H ^G. Soit D(G/H) l'algèbre des opérateurs différentiels G-invariants sur G/H. Une question posée par Duflo et Corwin-Greenleaf consiste à voir si la finitude des multiplicités de est équivalente à la commutativité de D (G/H). Nous répondons positivement à cette question quand H est normal dans G. Lorsque H n'est pas normal, nous préparons le terrain pour d'espaces homogènes nilpotents et nous répondons à la question dans différents cas. Nous étudions finalement l'algèbre D (G) ^H , des opérateurs différentiels qui laissent l'espace des vecteurs C de invariant et qui commuttent avec l'action de H sur cet espace.     

Estimations a posteriori d’un schéma de volumes finis pour un problème non linéaire

Summary. RésuméDans cet article, nous développons des estimations a posteriori de lerreur commise en approchant un problème elliptique non linéaire, par une Méthode de Volumes Finis (MVF) de type Vertex-Centered. Les estimateurs obtenus mesurent, le résidu de léquation forte et lirrégularité de la solution discrète, qui se traduit par des sauts à travers les inter-élélments. Une condition sur la fonction flux numérique sera imposée pour traiter la non conformité du problème, au cours de lévaluation de lestimation. Summary.We derive a posteriori error estimates for vertex-centered finite volume discretizations of a class of non-linear elliptic pdes. The error estimates are of residual type and incorporate residuals of the pde in its strong form on the control volumes and jumps of the pdes prinicipal part across the element boundaries. The non-conformity of the discretization is taken into account by a condition on the numerical flux function.

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Mathematics Subject Classification (2000):35J60, 65N15, 65N30, 65N50, 74S10Recherche menée dans le cadre du projet AUPELF-FICU N° 2000/PAS/38 et du projet DAAD     

Equations intégrales de Fredholm: bornes inférieures de valeurs propres par l'inégalité de Hölder

Résumé A l'aide de l'inégalité de Hölder, on détermine une borne inférieure pour =min||, où est valeur propre d'une équation intégrale homogène de Fredholm de seconde espèce. On applique cette inégalité au cas où le noyau est la fonction de Green d'un problème de Sturm-Liouville. On peut ainsi comparer les valeurs propres fondamentales de deux problèmes différents.

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Summary Using Hölder's inequality, we determine a lower bound for =min|| where is an eigenvalue of a homogeneous Fredholm's integral equation of the second kind. We use this inequality when the kernel is the Green's function of a Sturm-Liouville problem. We can then compare the first eigenvalues of two different problems.

     

Résolution numérique des grands systèmes différentiels linéaires

Sommaire La solution stricte d'un système différentiel linéaire à coefficients constants [d /d t] = [A] [] + [f (t) ] est donnée par: [ (t)]= [e^At] [ (0) ] + f [e^A(t–)] [f (T) ] d .Cette relation, utilisée dans une méthode de pas à pas, permet le calcul de [(t+u)] en fonction de [(t)]. La mise en oeuvre numérique de cette formule nécessite le calcul de [e^A] et de l'intégrale de matrice du second membre.Le sujet de cette étude est la mise au point de techniques d'approximation permettant le calcul effectif de [e ^Aµ] et de l'intégrale de matrice par des méthodes qui peuvent s'adapter en particulier aux systèmes différentiels à très grand nombre d'inconnues, qui apparaissent par exemple dans l'approximation par discrétisation enx ety, de l'équation aux dérivées partielles, dite de la chaleur.