p~(1/n)是无理数的简证

《中学生数学》04年3月(上)期P30刊登了3~(1/3)是无理数的证明”,读后颇受启发,但感到邓老师的证法有点繁,现首先给出如下简证: 证明假设3~(1/3)=q/p,P,q互质,平方整理得3p2=q2 若q=3n 1(n∈N),则q2=9n2 3n 1;     

一些常見的无理数

大家都知道2~(1/2),2~(1/3),…,是无理数,然而严格的証明可能并不是多数人所熟悉的,为此,我們在本文中列举出一些常見的无理数,并証明它們的无理性。 1.設N,n都是正整数,且N~(1/n)不是整数,則它必为无理数。用反証法証之。設N~(1/n)=p/q,其中p>0,q>1,且二者无公因数;将p,q分解成素因数的乘积: 由于p,q无公因数,故pi与qj中无相同者,又由于N~(1/n)=q/p, 由于pi与qj中无共同者,故上式是一不可約分式,从而p~n/q~n不可能为整数,这与假設矛盾。 2.設p,q是无公因数的正整数,且p~(1/N),q~(1/N)不同时为整数,則(p/q)~(1/N)是无理数。     

数学问题解答

1.证明:对于任意的整数p,q(≠0)永远有不等式 证:不失一般性,可令p,q为自然数。事实上,若p、q异号,显然有2~(1/2)-p/q>2~(1/2),故|2~(1/2)-p/q>1/3q~2。若p,q皆负,可令p=-p_1,q=-q_1,从而问题归结为对于自然数p_1q_1证明有     

妙证一例

例题已知正数p、q满足p~3 q~3=2,求证：p q≤2．证明∵p,q＞0,∴p~3,q~3＞0．由均值不等式p~3 1 1≥3 p~3~(1/3)=3p,q~3 1 1≥3 q~3~(1/3)=3q．两式相加得p~3 q~3 4≥3(p q)．∴6≥3(p q),从而p q≤2．     

证明3~(1/2)是无理数的方法推广

《中学生数学》的文[1]、[2]证明(1/2)~3是无理数的方法均带有特殊性．不易推广．本文将用反证法给出证明(1/2)~3是无理数方法的两种推广,供同学们参考．     

从证明“2~(1/2)”是无理数所想到的

一般数学资料上在谈到实数分类时,都讲到无理数,但往往所举之例多是证明2~(1/2)为无理数,以及用几何方法在数轴上作表示2~(1/2)的点。其证明都是采用反证法,首先假设它是有理数,按反设—推演—矛盾—结论的步骤证明,那么形如3~(1/2)、5~(1/2)、7~(1/2)、……等等无理数是否可以采用同样的方法证明呢?我请教了数学老师,他们都隐约给我提了些线索让我思考,并指点了     

对“2~(1/2)不是有理数”证明的延伸

<正>在苏教版数学书选修1-2《推理与证明》一章中,有这样一道例题:证明:2~(1/2)不是有理数.课本给出的证明如下:"证:假设2~(1/2)是有理数,则可设2~(1/2)=q/p,①其中p,q为互素的整数,q>0,将①式的两边平方,变形后得2p~2=q~2,②     

调和级数的增减性问题——Adamouic—Toskovic问题的彻底解决

一、引言本世纪中叶,Lucic和Djokovic给出不等式:设 Su(p,q)=1/pn 1 1/pu 2 … 1/qn 1/qn 1 (其中n,p,q∈N,p相似文献   

关于Rotkiewicz的一个问题

在这篇短文中,我们完全解决了Rotkiewicz提出的这个问题,证明了下面的结果: 定理 设p>3,≠9,是一个给定的奇数,则存在奇数q使得(1)和(2)成立。现在我们将这个定理分成两个引理来证明。 引理1 设p>3,≠2~(2n 1) 1(n=1,2,…)是一个给定的奇数,则存在奇数q使得(1)和(2)成立。 证 如果p≡5,7(mod8),则有奇数q=p-2使得(q/p)=((p-2)/p)=(-2/p)=-1,以及     

用“最小数原理”证明2~(1/2)是无理数

《中学生数学》2004年3月(上)和2004年8 月(上)分别给出了3~(1/2)是无理数的两种证明,开阔 了同学们的视野．本文用最小数原理证明2~(1/2)是无 理数． “在任何一个自然数集合里．必定存在一个 最小的数．”这就是最小数原理． 下面证明2~(1/2)是无理数． 证明 只须证n·2~(1/2)对任何正整数n都不 是整数． 设S是所有使n·2~(1/2)为整数的正整数n的     

关于Littlewood的一个问题

本文证明了: (1)如果{a_n}_n~N=1是非负不减序列,p>0,q>0,0≤r≤1,且p(q+r)≥q+p,则sum from n=1 to N(a_n~pA_n~q)(sum from m=n to N(a_n~(1+p/q)~r≤1·sum from n=1 to N(a_n~pA_n~q)~(1+p/q),其中A_n=sum from m=n to n (a_m).上述不等式在0≤r≤1时完全解决了H.Alzer~([4])在1996年提出的一个问题,且1是最佳常数; (2)如果{a_n}_n~N=1是非负序列,p,p≥1,r>0,r(p-1)≤2(q-1),令α=((p-1)(q+r)+p~2+1)/(p+1) β=(2p+2r+p-1)/(q+1),σ=(q+r-1)/(p+q+r)则sum from n=1 to N (a_n~p)sum from i=1 to n (a_i~qA_i~r)≤2~σsum from n=1 to N(a_n~αA_n~β)(0.2)(0.2)式改进了G.Be(?)et~([2,3])在1987年对Littlewood一个问题的结果,常数因子的3/2降为2~(3/2)=1.2598…     

Bargmann系统与耦合Harry-Dym方程解的对合表示

在位势与特征函数确定的约束下,耦合 Harry-Dym 方程 Lax 对的空间部分非线性化为一个完全可积的系统{R~(2N),dpΛdq,H=1/2〈Λ~2q,q〉〈Λq,q〉~(-2)+1/2〈p,p〉-1/2α〈q,q〉},而时间部分的非线性化导出它的 N-对合系{F_m}.约束映射将相容系统(H)、(F_m)的对合解映成 m 阶耦合 Harry-Dym 方程的解.一个 Neumann 系统和定态 Harry-Dym 方程之间的关系被讨论.系统{R~(2N),dpΛdq,(?)=1/2〈p,p〉-1/2〈Λq,q〉~(-1)-1/2α〈q,q〉}证明是完全可积的.     

一道习题的推广

《中学数学》1983年第4期问题征解中有这样一题,求证 1+2+3+…+1983|1~5+2~5+3~5+…+1983~5。事实上,我们有一般的结论:1°。1+2+3+…+n|1~5+2~5+3~5+…+n~5,甚至更一般的结论:2°。1+2+3+…+n|1~(2k+1)+2~(2k+1)+3~(2k+1)+…+n~(2k+1)。这里n、k为任意自然数,为了证明这一结论,我们要用到整数的两个性质。性质1。两个连续整数必互质。性质2。如果(p,q)=1,p|m,q|m则pq|m、((p,q)表示p与q的最大公约数)。此二性质都很容易用反证法证明,这里从略。我们来证明上述结论2°。证∵ 1+2+…+n=(1/2)n(n+1),记 S_(2k+1)(n)=1~(2k+1)+2~(2k+1)+…+n~(2k+1),     

Local regularity criteria of a suitable weak solution to MHD equations

We present a regularity condition of a suitable weak solution to the MHD equations in three dimensional space with slip boundary conditions for a velocity and magnetic vector fields. More precisely, we prove a suitable weak solution are H¨older continuous near boundary provided that the scaled mixed L_(x,t)~(p,q) -norm of the velocity vector field with 3/p + 2/q ≤ 2,2 q ∞ is sufficiently small near the boundary. Also, we will investigate that for this solution u ∈ L_(x,t)~(p,q) with 1≤3/p+2/q≤3/2, 3 p ∞, the Hausdorff dimension of its singular set is no greater than max{p, q}(3/p+2/q-1).     

混合幂的素变数丢番图逼近

证明了:如果λ_1,λ_2,λ_3,λ_4是正实数,λ_1/λ_2是无理数和代数数,V是well-spaced序列,δ0,那么对于v∈V,v≤X,ε0,使得|λ_(1p_1~2)+λ_(2p_2~2)+λ_(3p_3~3)+λ_(4p_4~3)-v|v~(-δ)没有素数解p1,p2,p3,p4的v的个数不超过O(X~(20/21+21δ+ε)).     

數學問题及解答欄

144,假如m/n是2~(1/3)的一個近似值,試証明(m~2+mn+2n~2)/(m~2+mn+n~2)是2~(1/3)的一個更好的近似值,並且(m~2+mn+2n~2)/(m~2+mn+n~2)-2~(1/3)與m/n-2~(1/3)異號。(選自蘇聯“數學教學”1954年第4期間題欄), 145.設P,Q,R,p,q,r那是整數,且p,q,r互素,證明:如 P/p+(Q/q)+(R/r)是一整數,那末P/p,Q/q,R/r,也是整數。 146.求不定方程x~2+y~2+z~2=3xyz的正整數解之適合於0相似文献   

代数数与超越数简介

人们在建立数系的过程中,自引入无理数之后,数系就从有理数集扩展到实数集。由于无理数的引入首先是通过对2~(1/2)的研究来实现的,因此人们很容易认识到3~(1/5)、7~(1/4)、… …103~(1/n)、……都是无理数。但是,往往会造成一种错觉,即错误地认为一切无理数都是用根式     

这样证3~(1/2)是无理数更简捷

《中学生数学》2004年3月上(高中版第3期)给出了~3(1/2)是无理数的证明,但过程繁琐.现给出它的简捷证法. 证明用反证法:假设~3(1/2)是有理数,则可设~3(1/2)=m/n(m∈Z,n∈N )且m,n互质. ∴3=m2/n2(?)m2=3n2, ∴m必为3的倍数,可设m=3k(k∈Z),     

无理数“生”无理数

学习了无理数后,同学们知道了无理数有根号型,如2~(1/2),3~(1/3),3(5~(1/5))等等,但要注意,带根号的数并非都是无理数,如9~(1/9),3(27~(1/27))是有理数;无理数有构造型,如0．101001000100001 ……(两个1之间依次多一个0), 4.212112111……(两个2之间依次多一个1); 无理数有特定型,如π,e．到高中学习阶段,     

2~(1/2)是无理数的另一个简捷证明

<正>有许多方法可以证得2^(1/2)是无理数,这其中可能最著名且历史最悠久的要数欧几里得基于反证法的证明.然而在本文中我们对给出2(1/2)是无理数,这其中可能最著名且历史最悠久的要数欧几里得基于反证法的证明.然而在本文中我们对给出2^(1/2)是无理数的另一种简捷的证法,其实也只需要几句话就可以证明2(1/2)是无理数的另一种简捷的证法,其实也只需要几句话就可以证明2^(1/2)是无理数.证明方法如下:如果2(1/2)是无理数.证明方法如下:如果2^(1/2)是有理数,那么它必然可以写成两个整数的比的形式,对分子分母约分,一定可