透过现象看本质——“隐圆”问题探究

<正>圆是高中数学一种重要的曲线,在一些与圆有关的题目中,条件没有直接给出圆方面的信息,而是隐藏在题设中.通过题意的分析发现圆(或圆的方程),从而可以利用圆的相关知识求解问题,我们称这类问题为"隐圆"问题.这类题目构思巧妙,综合性强,充分考查了数形结合、转化和化归等数学思想,处理这类题目关键在于能否把"隐圆"找出来.下面我们结合以下例题探讨几类常见类型的"隐圆".     

巧用辅助圆解决几何综合问题

<正>解决几何综合问题是初等数学中重要的考察内容,也是中考数学的热点.在几何综合问题中,我们常常需要挖掘图形中的隐含信息来解决问题.通过对最近几年中考几何综合题的归类总结发现,有一类几何综合题如果运用圆的知识解决会比较方便,即把圆做为一个问题解决的"工具".但题目中并没有明示圆这一条件,也就要我们通过分析条件,挖掘出隐含的圆,然后借助于圆的性质解决问题.     

例谈利用几何画板解决圆的问题

我们知道当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时,它的另一个端点的轨迹叫做圆.我们在解决圆的相关题目时常常会遇到一些动圆或者是隐形圆.这类问题往往处理起来比较棘手,原因主要在于它们太抽象,但如果我们能借助于几何画板将其画出甚至动起来就变得很形象了,当然问题也就容易解决多了.下面笔者举两个例题加以分析.     

“隐圆”巧发现 壁垒妙破除

数学解题的关键是善于挖掘已知条件的内涵,并由此突破解题壁垒.在一些解析几何问题中,虽然从表面来看似乎与圆无关,但从定义、方程与性质的角度深挖下去,圆便会“浮出水面”.发现“隐圆”往往能帮助我们打开解题思路,成功到达彼岸.     

圆与方程探索题的类型及其解法

圆与方程问题中的探索题,是指命题中缺少一定的条件或未给出明确的结论,需要经过推断、补充并加以证明的问题.由于这类问题的知识覆盖面大,综合性强,方法灵活,再加上题意新颖,要求学生具有扎实的基础知识和较高的数学能力,从而使圆与方程探索题成为各种考试的常见题型.     

一类几何题看似无圆却有圆

<正>初中数学学习中,我们往往会遇到求最大值或最小值问题,所使用的知识点通常有:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;两点之间线段最短;垂线段最短.初三学习了圆这一章,经常用"圆外一点到圆上各点距离最大和最小的线段必经过圆心"这个结论来求最值.在我们所见到的问题中,其中有一类几何题看起来与圆无关,但若能根据问题的条件,图形的特点挖掘隐藏的圆,则可利用圆的知识巧妙解决.     

不识庐山真面目 只“圆”身在此山中

<正>圆是高中数学中一种简单但又很重要的曲线,也是近几年来高考必考的内容.有些数学问题当中,将圆隐藏在已知条件里,隐晦地考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系.解题时,需要通过对已知条件的分析与探索,发现这些隐藏的圆,再利用圆的相关知识进行求解.解决此类问题的关键就是充分挖掘题目中的条件,找到隐藏的圆,从而达到化繁为简,化难为易的目的.下面谈一谈隐藏圆的一些解题策略.     

曲线与方程 圆

1　考点简析“曲线和方程” ,“圆”分别是“圆锥曲线”的第一大节和第二大节 .考试内容 :曲线和方程 .由已知条件列出曲线的方程 .充要条件 .曲线的交点 .圆的标准方程和一般方程 .考试要求 :掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念 .能够根据所给条件 ,选择适当的直角坐标系求曲线的方程 ,并画出方程所表示的曲线 .理解充分条件、必要条件、充要条件的意义 ,能够初步判断给定的两个命题的充要关系 .掌握圆的标准方程和一般方程 ,能熟练利用圆的几何性质解决与圆有关的综合题 .根据已知条件求曲线的方程既是解析几何的主要内容 ,…     

蒙日圆的标准方程及正逆应用

<正>画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日研究发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆,我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.我们先来导出一般情形下"蒙日圆"的标准方程.蒙日圆的标准方程     

高中数学中有关恒成立问题的解题策略探析

在高中数学问题中,常见的一个问题就是恒成立的问题.面对这个问题,很多学生找不到合适的解题思路,从而感觉这类问题较难.实际上在面对这类问题的过程中可以合理采用方程和函数的思想通过一些数学方式实现对这个问题的解决.本文结合例题来对高中数学中恒成立问题的解题策略与技巧进行说明,希望对高中学生解决恒成立问题提供一定的帮助.     

直线和圆的方程

1.本单元重、难点分析直线与圆是最基本、最简单的曲线,"直线与圆的方程"单元是进一步学习选修2-1"圆锥曲线"的基础,本单元的知识重点有三个:(1)直线的方程和两直线的位置关系;(2)圆的方程;(3)点、     

辅助圆应用五例

在解析几何中,一些从表象上看与圆无关的问题,若充分利用有圆特性的有关条件,巧妙引入辅助圆,利用圆丰富优美的几何性质解决它,真可谓锦上添花.1.求解点的坐标     

借力隐形圆 破解关键点

<正>圆既是一个简单的几何图形,又是一条基本的二次曲线.在平面几何中,圆有许多几何性质,我们常用逻辑推理的方法研究与圆有关的问题.在解析几何中,有些问题虽在题面上与圆无关,但在背景图形中含有隐形圆.解题中,如果充分利用隐形圆的平面几何性质,将相关问题进行逻辑转化,突破解题的关键点,往往能简化解题过程,收到事半功倍的效果.     

圆的性质在有心二次曲线中的推广及应用

圆是一种特殊的二次曲线,它与一般的二次曲线相比也有很多特殊的性质。这些性质是研究圆或解决有关圆的问题的重要依据。本文把圆的某些性质推广到有心二次曲线,这对研究二次曲线或解决有关二次曲线问题将有着重要的意义。不失一般性,可设有心二次曲线的方程为:     

圆中等积式的证明

<正>圆中等积式的证明虽是一个常见题型,但仍有不少同学望而却步,究其原因,多半是由于对该类问题没有一个明确的分析思路造成的.其实这类问题只要抓住相似三角形,灵活应用某些代换是不难解决的.现以近年的中考题为例来说明,望对同学们有所启迪.一、直接证相似结论中的等积式,可直接通过证明三角形相似得到.     

直线与圆

直线与圆是解析几何中最简单而变化丰富、应用广泛的内容之一 ,同时也是应用解析法解决平面几何问题的基础 .本讲主要突出如下三个问题 :1)直线和圆的方程 .2 )直线与直线、直线与圆的位置关系 .3)直线系与圆系的方程 .例 1　 (第 10届希望杯邀请赛试题 )过点Ｐ(6 ,8)作两条互相垂直的直线ＰＡ、ＰＢ ,分别交ｘ轴正半轴于Ａ ,ｙ轴正半轴于Ｂ .1)求线段ＡＢ中点的轨迹 ;2 )若Ｓ△ＡＯＢ=Ｓ△ＡＰＢ,求ＰＡ与ＰＢ所在直线的方程 .讲解　对于第 1)小题 ,常见的思路有两种 :一是利用ｋＰＡ·ｋＰＢ=- 1建立线段ＡＢ中点的轨迹方程 ;二是引入斜率…     

也读利用圆的定义引设辅助圆

<正>《中学生数学》2013年9月(下)刊登了张万录老师的《利用圆的定义引设辅助圆》一文,读后感觉方法新颖,开阔视野.本人发现还有一种类型题也可通过引设辅助圆求得解决.当题目条件中有且只有一个定端点的定长线段时,可考虑以定端点为圆心,定长为半径作辅助圆,利用圆的有关性质解题,下面举例说明.     

点线距公式求圆的切线的一种统一和谐解法

众所周知,过圆外一点可以作圆的两条切线,数学竞赛中有一些问题涉及到过圆外一点可以作圆的两条切线的问题,常常使人措手不及,本文通过实例,利用点到直线的距离公式结合韦达定理解决这类问题,可以化繁为简,化难为易,现将它献给读者.     

圆的直径式方程及其应用

<正>圆的标准方程,一般方程及参数方程是同学们比较熟悉的圆的方程三种形式,是高考必考点之一,也是同学们必需掌握的内容,但圆的直径式方程,虽然考纲没有明确要求,但一些与圆的直径有关的问题,若巧妙利用圆的直径式方程求解,常能化繁为简,化难为易,收到事半功倍的效果!本文列举数例阐述圆的直径式方程的妙用,以期达到抛砖引玉之效.     

例谈轨迹圆的条件与应用

<正>满足什么样的条件的点的轨迹是圆?平面内与定点距离等于定长的点的轨迹是圆;平面内与两个定点距离之比为不等于1的正数的点的轨迹也是一个圆.在解题中也常会遇到一些轨迹是圆的问题,本文拟通过一些实例来谈谈轨迹圆的条件与应用.一、阿波罗尼斯圆:平面内与两个定点距