一类易错的命题构造问题

问题 原命题p:“若√a＞√b,则a＞b”.写出命题p的逆命题,否命题及逆否命题. 这是一道测试题,测试的结果是,年级400名左右的学生几乎都得出如下答案. 逆命题:“若a＞b,则√a＞√b”. 否命题:“若√a≤√b,则a≤b”. 逆否命题:“若a≤b,则√a≤√b”.教师也大都认同以上答案.参考答案也是如此.然而仔细想一想就会发现问题.     

互为逆否不等价

在课本上“点的轨迹”一节里,有这样一个结论:两个互为逆否的命题是等价命题。然而这里有一个反例: 原命题,若a=0,b=0。则a b=0;逆否命。题:若a 6≠0,则a≠6,b≠0。我们分析a b≠0,则a有可能为0或b有可能为0,当然并不是a,b同时为0.所以上述逆否命题是假命题,而它的原命题却又是真命题。这样,上例即说明了互为逆否命题不一定等价。     

一个逆否命题的辨析课例

导言 :前面我们学习了四种命题之间的关系 ,我们知道 ,将一个命题“若 ｐ则 ｑ”的条件和结论交换 ,并同时否定所得到的新命题“若┒ ｑ则┒ ｐ”就是原命题的逆否命题 ,根据这一法则 ,请同学们写出命题 :“若ａ ,ｂ全为 0 ,则ａｂ =0”的逆否命题 .抽一名中等水平的学生甲在黑板上写出 ,其余学生在下面练习 .学生甲写出的逆否命题是 :“若ａｂ≠ 0 ,则ａ≠ 0且ｂ≠ 0” .教师 :请同学们根据自己的思考 ,试判断学生甲写出的逆否命题是对还是错 ?学生乙 :甲写出的逆否命题正确 !教师 :请你 (学生乙 )说明你的判断理由学生乙 :因为一个命题与…     

一个令人费解的逆否命题

作者在给“百千万骨干教师”讲授逻辑问题时 ,一位教师向我提出了一个令他困惑不解的问题 ,下面是解决此问题的全过程 .(为叙述方便 ,把“百千万骨干教师”视为学生 )问题 :原命题　若 x≥ 0 ,则 x2 ≥ 0 .逆否命题　若 x2 <0 ,则 x<0 .学生甲 :逆否命题这样写对吗 ?教师 :对呀 .学生甲 :原命题显然是真的 ,然而逆否命题怎样是假的呢 ?教师 :这个问题提的好 .(因为刚讲过逻辑研究的对象 ,这个问题正好与逻辑研究的对象有关 )请同学们讨论逆否命题到底是真还是假 ?学生乙 :在实数范围内 ,x<0不可能 ,所以逆否命题不存在 .学生丙 :不对 .x2 <0…     

关于“充要条件”的教学

一、数学命题的四种形式及其关系Ⅰ.若A则B。(原命题) Ⅱ.若B则A。(逆命题) Ⅲ.若。(否命题) Ⅳ。(逆否命题) 四种命题的关系如右图所示。可以证明,命题Ⅰ与Ⅳ是等价的。证明:先证“若A则B     

要"主体"、更要素质

笔者曾听过一节讨论课 ,课题是“四种命题 (二 )”,讨论的是原命题为真时 ,逆命题、否命题、逆否命题的真假 ,学生都做了充分的准备 ,侃侃而谈 ,虽观点基本上都是课本列出的 ,但考虑问题的角度有区别 ,所举例子也各不相同 ,气氛相当热烈 .从调动学生主动性、从学生投入来说 ,效果非常好 .然而 ,讨论在下列问题处受阻 :问题　原命题、逆命题、否命题、逆否命题中 ,正确的命题有几个 ?试举例说明 .绝大多数同学认同课本中“原命题与逆否命题同真同假”的观点 ,认为四命题中正确的命题或者没有、或者有二个、或者有四个 .独有一位同学坚持认为…     

互为逆否命题同真假的妙用

命题“若p则q”和命题“若→q则→p”互为逆否命题,互为逆否命题的真假性相同,我们称互为逆否的两命题是等价的．互为逆否命题的等价性在判断命题真假、证明命题、判断充分必要条件和求解参数取值范围等问题中有重要的应用,下面举例说明．     

名校基础知识自测

一、选择题1.a ,b ,c为实数 ,则ac2 >bc2 是a >b的(　　 )条件 .(A)充分不必要　 (B)必要不充分(C)充要 (D)既不充分也不必要2 .已知映射f :A→B ,集合A中元素n在对应法则 f下的像为 2 n+n .则 70的原像是(　　 ) .(A) 6　 (B) 7　 (C) 8　 (D) 93 .命题 :“若ab =0则a =0或b =0”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为(　　 ) .(A) 1　 (B) 2　 (C) 3　 (D) 44 .不等式 |2x +3 |≥ 7成立的一个必要不充分的条件是 (　　 ) .(A)x≥ 2　　　 (B)x≤ -5(C)x≥ 2或x≤ -5(D)x >1或x≤ -35 .已知函数y =f(x)定义域为 [-2 ,4] .…     

关于"若p则q"的否定

贵刊 2 0 0 1年第 7期《对“集合与简易逻辑”的教材分析与建议》一文在谈到否命题与命题的否定的区别时有下面这样一段话 :如果原命题是“若 p则 q”,那么这个原命题的否定是“若 p则非 q”,即只否定结论 ;而原命题的否命题是“若非 p则非 q”,即既否定条件又否定结论 .因此笔者认为 ,上面那一段话中将命题“若 p则 q”的否定说成是“若 p则非 q”是一种错误说法 .为清楚起见 ,列出真值表如下 :p q非 q若 p则 q若 p则非 q假假真真真假真假真真真假真假真真真假真假由上面的真值表可以看出 ,命题“若 p则非 q”与“若 p则 q”的真假性并不是…     

何时使用符号“(非汉字符号)”?

“ ”是数学推理中经常使用的符号 .命题“若ｐ则 ｑ”为真时 ,我们记作“ｐ ｑ” .可见 ,“ｐ ｑ”所表示的不是一个等待判断真假的命题 ,而是一个已经证明为真的命题 .但不少人甚至某些所谓权威资料 ,往往错误的使用这个符号 .如错例 1　ａ ,ｂ都是实数 ,写出命题“ａ =0 ａｂ=0”的逆命题、否命题和逆否命题 ,并分别判断它们的真假 .解　①逆命题 :ａｂ =0 ａ =0 .逆命题为假 .②否命题 :ａ≠ 0 ａｂ≠ 0 .否命题为假 .③逆否命题 :ａｂ≠ 0 ａ≠ 0 .逆否命题为真 .不妨看一看语句① .一方面 ,用“ ”表示该命题 ,另一方面又将它判…     

谈一道关于“都是”的习题

初中平面几何课本有一道习题;写出命题“a、b(整数)都是偶数时,a+b为偶数”的逆命题、否命题、逆否命题,并确定它们的真假。对这题有不同看法,现谈谈我的认识,请批评指正。     

例说反证法

<正>反证法是证明数学命题的一种间接证法,关于它的本质,有些同学总认为反证法其实质就是证明原命题的逆否命题.事实上,这种认识是错误的.为了说明问题,先给出一个经典习题的五种证明方法.原题求证:a,b,c为正实数的充要条件     

争鸣

问题　　问题 53　有人认为命题与其逆否命题不一定等价 ,并举了如下一个命题给予说明 .P :若A为直角且B为直角 ,则A =B .请写出命题P的逆否命题 ,并讨论P与其逆否命题是否等价 .(本刊编辑部根据来稿改编 )　　问题 54 　甲、乙、丙三射手射中某目标的概率均为 0 .8.问题A :甲、乙、丙同时各射击一次 ,目标被射中的概率是多少 ?问题B :甲、乙、丙依次射击 ;若甲射中 ,则乙、丙不用射击 ;若甲不中 ,则乙射击 ;若乙射中 ,则丙不用射击 ;若乙不中 ,则丙射击 .目标被射中的概率是多少 ?问题A中甲、乙、丙都射击一次 ,而问题B中有可能总共只…     

2005年高考数学湖北卷

一、选择题: C.(令劲D.(今刹 为A.C. B.D. 1.设尸、Q为两个非空实数集合,定义集合 P十Q二{a+b}a任P,b任Q},若P={0,2, 5},Q二毛1,2,台},则尸十Q中元素的个数是 () A.9 B.8 C.7 D.6 2.对任意实数a,b,c,给出下列命题:() ①“a~b,,是“ae=bc”充要条件;②“a+5是无 理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a>b’’ 是,’a2>夕”的充分条件;④“a<5”是“a<3” 的必要条件. 其中真命题的个数是() .若lim 了一卫‘_一兰‘、 \1一xl一x艺/ =l,则常数a,b的值 () a-一2,b=4 a-一2,b二一4 B.己一2,b=一4 D.口二2,b~4 .若。相似文献   

2005年北京市中学生数学竞赛高一年级试题

一、选择题(满分25分,每小题只有一个正确答案,答对得5分)1.如果S={1,2,3,4,5),M={1,3,4},N={2,4,5},那么(瘙(?)sM)∩(瘙(?)sN)等于().(A)(?)(B){1,3}(C){4}(D){2,5}2.已知a,b都是整数,命题甲:a+b不是偶数,则a,b都不是偶数;命题乙:a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.则().     

2005年全国各地高考数学试题分类汇编 考点2 简易逻辑与充要条件

1.(湖北卷,2)对任意实数a,b,c,给出下列命题:1“a=b”是“ac=bc”的充要条件;2“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;3“a>b”是“a2>b2”的充分条件;4“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数是().(A)1(B)2(C)3(D)42.(天津卷,3)给出下列三个命题:1若a≥b>-1,则1+a a≥1+b b;2若正整数m和n满足m≤n,则m(n-m)≤2n;3设P(x1,y1)为圆O1:x2+y2=9上任一点,圆O2以Q(a,b)为圆心且半径为1.当(a-x1)2+(b-y1)2=1时,圆O1与圆O2相切.其中假命题的个数是().(A)0(B)1(C)2(D)33.(江西卷,3)“a=b”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切”的(…     

互为逆否命题同真假的妙用

命题"若p则q"和命题"若q则p"互为逆否命题,互为逆否命题的真假性相同,我们称互为逆否的两命题是等价的.互为逆否命题的等价性在判断命题真假、证明命题、判断充分必要条件和求解参数取值范围等问题中有重要的应用,下面举例说明.一、利用     

逆否命题与原命题真假相同吗?——一个逻辑问题的争议

在学习"四种命题的真假关系"时,我们知道原命题与其逆否命题同真假.然而,最近笔者在教学中碰到一个有"争议"的逻辑问题,现提出来与各位同行探讨.问题:若k<0,则方程x~2 (2k 1)x k=0必有两相异实根.判断其逆否命题的真假.     

谈数学中"反证法"的应用

反证法是一种重要的证明方法,尤其在数学证明中.反证法经常被用来证明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命题.要证命题“若A则B”正确(简记为A B),途径之一是证与其等价的逆否命题(简记为B A)正确.即从否定B出发,作出一系列正确、严密、合乎逻辑的推理,最后推出与A矛     

"向量"问题辨析

在学习向量这一部分内容时,受实数和平 面几何知识的影响,容易产生思维定势,如果 进行简单的类比,则会发生知识上的负迁移. 下面剖析一些错误的命题,以期达到纠错防错 之目的. 错命题1 若|a|=|b|,则a=b,或a=-b. 辨析 这是类比实数性质引起的负迁移, 由|a|=|b|,只能确定出向量a,b的长度相等,