方程dy/dx=(q_(00)+q_(10)x+q_(01)y+q_(20)x~2+q_(11)xy+q_(02)y~2)/(p_(00)+p_(10)x+p_(01)y+p_(20)x~2+p_(11)xy+p_(02)y~2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅰ)

<正> §1.引言自从1955年苏联学者和証明实系数方程dy/dx=q_(00)+q_(10)x+q_(01)y+q_(20)x2+q_(11)xy+q_(02)y~2/p_(00)+P_(10)x+P_(01)y+p_(20)x~2+P_(11)xy+p_(02)y~2(1)最多只有三个极限圈以后,关于方程(1)的极限圈的分布問題引起我国数学工作者的极大的注意.首先,秦元勳在[2]中得到了方程(1)以二次曲綫为极限圈的充要条件,并同时研究了滿足这种条件的方程(1)的积分曲綫的全局結构.其后,本文作者之一在[3]中     

方程dy/dx=(q_(00)+q_(10)x+q_(01)y+q_(20)x~2+q_(11)xy+q_(02)y~2)/p_(00)+p_(10)x+p_(01)y+p_(20)x~2+p_(11)xy+p_(02)y~2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅱ):极限圈的唯一性

<正> 作为[1]的定理1的特例,我們知道方程dy/dt=x,dx/dt=-y+mxy+ny~2(mn≠0)(1)沒有周期解.此方程有一个指标为+1的初等奇点(0,0)和一个鞍点(0,1/n).(0,0)的稳定性由mn的符号决定,当mn>0时为不稳定,mn<0时为稳定.今后不妨設m<0(否則将x,t改号),n<0(否則将y,t改号),于是由旋轉向量場的理論[2],知道当d<0而絕对值足够小时方程     

具有二次代数极限环线的方程——(dy)/(dx)=(a_(10)x+a_(01)y+a_(30)x~3+a_(31)x~2y+a_(12)xy~2+a_(03)y~3)/(b_(10)x+a_(01)y+b_(30)x~3+b_(31)x~2y+b_(12)xy~2+b_(03)y~3)

自从秦元勋始出了二次代数方程,具有二次代数极限环线一文后,作者考虑了(E)_3这个三次方程,具有二次代数极限环线的情形。本文中首先给出了此方程在全平面上奇点的分布,进而解决了只有一个奇点时,二次代数极限环线存在的充分及必要条件,周期解的唯一性(在较特殊的情形下)及其稳定性。 (作者对秦元勋老师热情的鼓励和帮助,表示衷心感谢。)     

微分方程(dy)/(dx)=(ax~3 bx~2y cxy~2 dy~3)/(a_1x~3 b_1x~2y c_1xy~2 d_1y~3)的积分曲线的拓扑结构

§1.引言在论文“一階齐次方程的积分曲线”中指出关于建立一阶齐次方程的积分曲线的一般方法.利用这个方法作出了方程     

Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件

本文利用变量变换法与常数变易法给出Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件∫P(x)e~(∫Q(x)dx)dx=-1/2∫R(x)dx,同时给出该条件下方程的通解,并由此推得若干类Riccati方程的通解.     

方程(dx)/(dt)=φ(y)-F(x),(dy)/(dt)=h(x,y)-g(x)的极限环存在定理

在不同的区域上构造适当的比较函数,将Filippov定理推广到更一般的非线性系统（y）-F（x）,h（x,y）-g（x）.     

方程(dx)/(dt)=φ(y)-F(x),(dy)/(dt)=h(x,y)-g(x)的极限环存在定理

在不同的区域上构造适当的比较函数,将Filippov定理推广到更一般的非线性系统（y）-F（x）,h（x,y）-g（x）.     

方程(dx)/(dt)=(y)-F(x),(dy)/(dt)=-g(x)极限环的存在性

本文运用变换,首先将具有伸向无穷远负半轨的条件推广到本文所研究的方程上,然后证明了几个极限环的存在性定理,推广了 li(?)nard 方程的相应结果。首先设方程组     

Diophantine方程y~2=px(x~2+2)

设p是大于3的奇素数.本文证明了:当p≡5或7(mod 8)时,方程y~2=px(x~2+2)无正整数解(x,y);当p≡1(mod 8)时,该方程至多有1组解;当p≡3(mod 8)时,该方程至多有2组解.     

方程(dy)/(dx)=(sumq_(ij)x~iy~j from 0≤i+j≤2)/(sum p_(ij)x~iy~j from 0≤i+j≤2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅵ):Ⅰ类方程的极限环

继【2],考察最一般的I类方程注劣.,二,二,_,、d,_,—~一y十心x十lx’十xy十n犷~尸Lx,夕),一~x~夕气x,y)‘dt----一dt一在其中不”‘+·>0,方程(‘,有两个有限远奇点:“(0,。,为焦点,“(”,劲(l)为鞍点,由旋转向量场的理论[a.4]得知,当d由。变为负值时,0由不稳定焦点变为稳定,在它附近产生一个不稳定极限环,且随d减小而单调地扩大.〔l]首先证明了:当l~o时,此极限环最后遇鞍点N而消失.在这一过程,没有其它极限环产生.【2」则证明了。~0或l一41,一。时极限环的唯一性.本文将证明,当,)21>0,l,)丝时,(l)的极 l6限环最多也只有一个.与此同时,还…     

关于函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)

定义在实数域上适合方程f(x+y)=f(x)+f(y)(1)的函数,如果再加上连续的条件,就可以证明它是唯一的,即f(x)=ax。本文的目的是从理论上求出定义在任意数域上满足方程(1)的解,而不加任何条件。后面将看到,这里除了个别例子之外,并不能指出所求出的更普遍的函数。原因在于,证明中应用的有策墨罗定理。 1.基本引理引理1.对任意一个数域R必有数集存在,使得R中的任一非0     

关于方程dy╱dx=-y+dx+lx~2+mxy+ny~2╱x+ax~2所定义的积分曲线的定性研究(Ⅰ)

关于方程立~d劣户00+户一。二+户。:y+户ZoxZ+户lix夕+户妇y;’(l)极限环问题川已作了部分研究,在排除几种不可能存在极限环的情况下,对于方程(l)极限环问题的研究可归结为研究方程卫么~众一夕+dx+lxJ+m二y+刀夕2二+axZ+bxy(2)郎【11中所谓(m)类方程.若假定b~0,则(2)化为方程卫艺~犷下.十dx+lx;+,砂.大.”,dx公+a刃2(3)亦郎(n)类方程.关于方程(3)的极限环问题,【l]先假定方程(3)中l~0,对这种情况下方程(3)的极限环的存在性与积分曲线的全局结构作了详细的研究,然后在方程(3)右端分子上加上一项l式1+。幻,希望利用旋转向量场的理论来研究方…     

具有二次代数积分曲线的微分方程(dy)/(dx)=(■a_(ij)x~iy~j)/(■b_(ij)x~iy~j)=(Y_n(x,y))/(X_n(x,y))

有许多类型的微分方程,如果知道了它的某些特殊积分,就可以使它的形式简化;如果知道了足够多的积分,甚至可以把它的形式完全确定下来.这类工作对微分方程的求解或定性研究,都起着一定作用.这工作本身也有一定的理论意义.本文就型为     

函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的非连续解

讨论了函数方程f(x y)=f(x) f(y)解的性质,给出了方程的一个非连续解及其图像特点     

关于不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=10y(y+1)(y+2)(y+3)

通过利用pell方程、递归序列、平方剩余、Legendre符号、同余关系等初等证明方法,并利用Mathematica软件对Legendre符号等进行计算,证明了方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=10y(y+1)(y+2)(y+3)共有16组整数解,并且无正整数解.     

用x~(1/2)±y~(1/2)=(x y±(2xy~(1/2)))~(1/2)解题

公式若注意其特点,巧解妙证一些题,真是别有情趣。例1 求函数f(x)=1-cos2x 1 cos2x~(1/2)的最小正周期。解由(＊)得解由a在二象限知sina>0, cosa<0 由(＊)得原式=2 2cosa~(1/2) 1-sina~(1/2)-1 sina~(1/2)     

关于丟番图方程x(x+1)(x+2)(x+3)=27y(y+1)(y+2)(y+3)

先后运用了pell方程、勒让德符号,同余关系,递归序列、二次平方剩余,分类讨论的有关方法,并通过使用数学软件Mathematica进行计算,证明了以下结论:不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=27y(y+1)(y+2)(y+3)没有正整数解,并找出了该方程的全部16组整数解.     

关于∫_0~1(ln(1+x)/(1+x~2))dx计算的历史注记

我们在数学分析或高等数学课本中常常遇到定积分∫10ln( 1 +x)1 +x2 dx ,所用方法是将其转化为含参变量积分∫10ln( 1 +αx)1 +x2 dx .美国数学家和数学史家 M·克莱因说得好 ,学生在课堂上遇到的困难 ,历史上的数学家也同样会遇到 [1] .而今天 ,这个定积分的历史已经鲜为人知 .本文对此作一考察 ,以供教学参考 .1　 1 8世纪的积分技术1 8世纪 ,数学家们所用基本积分技术是将被积函数展开成无穷幂级数 ,然后逐项积分 ,但并不考虑幂级数的收敛与一致收敛性 .瑞士大数学家欧拉 ( L.Euler,1 70 7-1 783 )就是利用这样的技术获得自然数平方倒…     

Sur l'intégration de l'équationdz=f(x,y, z)dx+g(x,y, z)dy

Résumé On étudie le système (2), f et g satisfaisant certaines conditions analogues à celles de Carathéodory pour les équations différentielles ordinaires et on énonce des conditions suffisantes pour que ce système admette une intégrale et, de même, des conditions suffisantes pour que l'équation (13) admette une intégrale. à M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique.     

对方程x~2/a~2+y~2/b~2=1中“x,y互换”的误解

先看一个例题 :两轴和坐标轴重合 ,一个顶点和一个焦点分别是直线ｘ + 3ｙ - 6 =0与坐标轴的交点 ,求此椭圆的方程 .错解 :直线ｘ + 3ｙ - 6 =0与两坐标轴的交点分别为Ａ(6 ,0 ) ,Ｂ(0 ,2 ) .若焦点在ｘ轴上 ,则椭圆半焦距ｃ =6 ,短半轴长ｂ =2 ,于是ａ2 =ｂ2 +ｃ2 =4 0 .故其方程为ｘ24 0 + ｙ24 =1. (1)若焦点在 ｙ轴上 ,则将 (1)中ｘ ,ｙ互换 ,得椭圆方程ｙ24 0 + ｘ24 =1(2 )错解分析　当焦点在ｘ轴上时 ,推出的方程(1)是正确的 .但焦点在 ｙ轴上时 ,得出的方程 (2 )就非所求了 .为什么呢 ?在方程 (2 )中 ,ａ =2 10 ,ｂ =2 ,则ｃ =6 .这…