数学变式教学中的闪光点

变式教学在课堂上展示知识发生、发展、形成的完整认知过程,有利于培养学生研究、探索问题的能力,体现着现代教育理念的气息,成为“问题、变式、反思、体验”教学模式的精彩片断.1.由特殊到一般的变式,理解与掌握问题的数学本质案例1在某次数学考试中,学号为i(i=1,2,3,4)的同学的考试成绩f(i)∈{85,87,88,90,93},且满足f(1)≤f(2)相似文献   

基于拟法锥条件的非凸非线性规划问题的同伦内点法

1 引言 考虑如下的非线性规划问题: min f(x) (1) 8.t.gi(x)≤0,i=1,…,m,其中xR~n,我们总假定f,gi是二次连续可微的。 称Ω={xR~n|gi(x)≤0,i=1,…,m}为(1)的行域;Ω~0={xR~n|gi(x)<0,i=1,…,m}为(1)的严格可行域;Ω=Ω\Ω~0为Ω的边界。 此外,记     

一个约束为非线性不等式的可行方向法

一、引言我们讨论下述非线性规划问题minf(x), s.t.h.(x)≤0, i=1,…,m; x∈k~n,where f, g_i∈c~2 i=1,…,m这里假定f, h_i∈c~2 i=1,…,m,且为凸函数     

关于凸函数的Hadamard不等式的拓广(英文)

设,是区间[a,b]上连续的凸函数。我们证明了Hadamard的不等式 f(a+b/2)≤1/b-a integral from a to b (f(x)dx)≤f(a)+f(b)/2可以拓广成对[a,b]中任意n+1个点x_0,…,x_n和正数组p_0,…,p_n都成立的下列不等式 f(sum from i=0 to n (p_ix_i)/sum from i=0 to n (p_i))≤|Ω|~(-1) integral from Ω (f(x(t))dt)≤sum from i=0 to n (p_if(x_i)/sum from i=0 to n (p_i),式中Ω是一个包含于n维单位立方体的n维长方体,其重心的第i个坐标为sum from i=i to n (p_i)/sum from i=i-1 (p_i),|Ω|为Ω的体积,对Ω中的任意点t=(t_1,…,t_n) ω(t)=x_0(1-t_1)+sum from i=1 to n-1 (x_i(1-t_(i+1))) multiply from i=1 to i (t_i+x_n) multiply from i=1 to n (t_i)。不等式中两个等号分别成立的情形亦已被分离出来。 此不等式是著名的Jensen不等式的精密化。     

几类非光滑精确罚函数中控制参数的界的估计

精确罚函数方法是数学规划中求解带约束优化问题的一种重要方法,其本质在于利用精确罚函数的性质把原带约束优化问题转化成一个无约束优化问题或带简单约束优化问题求解.考虑一般的非线性规划问题:(?) f(x),(P)s.t.g_i(x)≤0,i=1,2,…,m,h_j(x)=0,j=1,2,…,l.其中 X 是 R~n 中的非空子集.     

除伪存真推陈出新 优化思维

学生在处理下面一类常见问题时 ,一般有两种解法 .题目　设 f ( x) =ax2 c,且 -4≤ f ( 1)≤-1,-1≤f( 2 )≤ 5 ,求 f( 3 )的取值范围 .　错解　 -4≤ f ( 1)≤ -1-1≤ f ( 2 )≤ 5 -4≤ a c≤ -1-1≤ 4a c≤ 51 0≤ a≤ 3-7≤ c≤ -1　 2 -7≤ 9a c≤ 2 6 -7≤f( 3 )≤ 2 6.解法 1　 f ( 1) =a cf ( 2 ) =4a c a=-13 f( 1) 13 f ( 2 )c=43 f ( 1) -13 f ( 2 ) ,∴　 f ( 3 ) =9a c=9·〔-13 f( 1) 13 f( 2 )〕 43 f( 1) -13 f( 2 )=-53 f( 1) 83 f( 2 ) .∵　 -4≤ f ( 1)≤ -1,-1≤ f ( 2 )≤ 5 ,∴　 -1≤f( 3 )≤ 2 0 .分析 1　函…     

一类新的乘子法

一 增广Lagrange式和算法 本文考虑一般的非线性规划问题(P):min{f(x)|gi(x)≤0,i=1,2,…r;gi(x)=0,i=r+1,…,m}。假定其中函数f,gi:R~n→R~i,i=1,2,…,m,且是连续可微的。建立相应的增广Lagrange式:     

解有约束总极值问题的弃舍方法和简约方法

1.提出问题 设f(x);g_1(x),…,g_m(x);l_1(x),…,l_r(＊)是n维欧氏空间R~n上的连续函数,试求总极小值 c=inf f(x),x∈G_u, (1)其中 G={x|g_i(x)≤0,i=1,…,m}, (2) L={x|l_j(x)=0,j=1,…,r}. (3)如果问题有解,则求总极值点集H.我们假设、存在实数a,使得水平集 H={x|f(x)≤a,x∈G_0}     

关于亏函数的亏量和F.Nevanlinna猜想

在亚纯函数值分布论的发展中,有一个有名的 F.Nevanlinna猜想.即:若f(z)是有限级λ的亚纯函数,且∑δ(a,f)=2(a是f的亏值),则 (i)λ是1/2的整数倍; (ii)v(f)≤2λ,其中v(f)是f的亏值个数; (iii)亏量δ(a,f)是1/λ的整数倍.     

关于多元凸函数的Bernstein多项式逼近的阶

1.引言 用△_k是表示R~k中的单纯形:△_k={X=(x_1,x_2,…,x_k)∈R~k|x_i≥0,i=1,2,…,k;sum from i=1 to k(x_i)≤1};C(△_k)表示定义在△_k上的连续函数的全体.记||f||=||f||_(△_k):=sup|f(X)|,ω(f,t):=sup |f(X)-f(Y)|。连续函数ω(t),t∈[0,+∞)称为     

用平面“可行域”解一种条件不等式

题目已知二次函数f(x)=ax2+bx,a≠0,且满足1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. 在一次课堂上,教师让学生解这道题目, 出现了以下几种解决方案. 为简单,先作些必要的转化.因为f(-1) =a-b,f(1)=a+b,f(-2)=4a-2b,所以     

借用向量分解定理巧求f(x0)的范围

已知函数 f ( xi) ( i =1,2 ,3 ,… )的范围 ,求 f( x0 )的范围 .笔者在同行们研究的基础上 ,借用向量分解定理 ,使这类问题的解决更加简单、明了 ,可操作性强 ,便于实施 .例 1　已知一次函数 f( x) ,1≤ f ( 1)≤2 ,3≤ f ( 2 )≤ 4,试确定 f( 5 )的范围 .解　设一次函数为 f( x) =ax + b,则　 f( 1) =a+ b,f( 2 ) =2 a+ b,f( 5 ) =5 a+ b.记　 p1→ =a+ b,p2→ =2 a+ b,p=5 a+ b显然 p1→ ,p2→ 不共线 ,根据向量分解定理p=λ1 p1→ +λ2 p2→ 　 (λ1 ,λ2 为实数 ) ,即　 5 a+ b=λ1 ( a+ b) +λ2 ( 2 a+ b…     

高等数学背景下一类压轴题的简解

近年来高考数学压轴题中常出现函数型不等式的恒成立问题,可归结为对x≥0时,f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立,其中g(x)含有参数a,试确定其参数a的取值范围.由于这里问题能有效地甄别考生的思维品质,综合性强、难度大、能力要求高,很多同学对此望     

自然数乘法分拆数的上界

设 f(n)表示自然数 n 的乘法分拆数.1983年 Hughes 与 shallit 证明了f(n)≤2n~(?),1987年陈小夏证明了 f(n)≤n.本文则得到下面的定理:f(n)≤1/4n+1.     

自然数乘法分拆数的上界

设 f(n)表示自然数 n 的乘法分拆数.1983年 Hughes 与 shallit 证明了f(n)≤2n~(?),1987年陈小夏证明了 f(n)≤n.本文则得到下面的定理:f(n)≤1/4n 1.     

用线性方程组解一类函数题——从一道数学竞赛题谈起

一九八三年省、市自治区联合数学竞赛第一试有题;已知函数f(x)=ax~2-c满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,那么,f(3)应满足;(A)7≤f(3)≤26;(B)-4≤f(3)≤15;(C)-1≤f(3)≤20;(D)28/3≤f(3)≤35/3答案是(C) (Ⅰ)联想到这样一道题:设f(x)=x~2+ax+b,证明|f(1)|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于1/2。 (Ⅱ) 我们发现(Ⅰ)、(Ⅱ)是同一类型题,解这类题的关键是如何从f(1)、f(2)、f(3)中消去参系数, 题(Ⅰ)中,由条件可得-4≤c-c≤-1 ①-1≤4a-c<5 ②问题是要求出9a-c。即由     

对于非线性等式约束的增广-罚函数的拟牛顿法

H.Yamashita在[1]中对非线性不等式约束问题: minf(x),s.t.g_i(x)≤0,i=1,…,m;x∈R~n (1.1)给出了增广?-罚函数的拟牛顿法,以克服Han的不可微罚函数拟牛顿法的不可做缺陷,并证明了如下结论: 若f,g连续可微,并满足如下条件:     

剖析命题修正结论完善简解

文[1]给出了如下命题:命题如果x＞0时,f(x),g(x)连续可导,且limx→0f(x)=limx→0g(x),则当x≥0(或x＞0)时,若f(x)≥g(x)恒成立,那么f′(x)≥g′(x)恒成立.并利用该命题简解了一类高考压轴题:“对(A)x≥0,f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立,其中f(x)或g(x)含参数a,试确定参数a的取值范围.”简解的思路是:对(A)x≥0,只要对f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)两边取导数,再从f′(x)≥g′(x)或f′(x)≤g'(x)中分离出参数a,转化为最值问题.     

SOME GENERALIZATION OF GRONWALL-BIHARI INTEGRAL INEQUALITIES AND THEIR APPLICATIONS

The interest of this paper lies in the estimates of solutions of the three kinds of Gronwail-Bihari integral inequalities:(Ⅰ) y(x)≤f(x) sum from i=1 to n(g_i(x)integral from n=0 to x(h_i(d)y(s)ds)),(Ⅱ) y(x)≤f(x) g(x)φ(integral from n=0 to x(h(s)w(y(s))ds))(Ⅲ) y(x)≤f(x) sum from i=1 to n(g_i(x)integral from n=0 to a(h_i(s)y(s)ds g_(n 1)φ(integral from n=0 to x(h_(n 1)(s)w(y(t))ds)).The results include some modifications and generalizations of the results of D. Willett, U. D. Dhongade and Zhang Binggen. Furthermore, applying the conclusion on the above inequalities to a Volterra integral equation and a differential equation, the authors obtain some new better results.     

用线性方程组解一类函数题——从一道数学竞赛题谈起

一九八三年省、市、自治区联合数学竞赛第一试有题: 已知函数f(x)=ax~2-c满足:-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5。那么,f(3)应满足:(A)7≤f(3)≤26;(B) -4≤f(3)≤15;(C) -1≤f(3)≤20;(D) -28/3≤f(3)≤25/3。答案是(C)。 (Ⅰ) 联想到这样一道题:设f(x)=x~2+ax+b,证明|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1/2。 (Ⅱ) 我们发现,(Ⅰ)、(Ⅱ)是同一类型题。解这类题的关键是如何从f(1)、f(2)、f(3)中消去参系数。题(I)中,由条件可得-4≤a-c≤-1 ①-1≤4a-c≤5②问题是要求出9a-c,即由a-c及4a-c重新组合得出9a-c的范围,为此,我们将a-c和4a-c分别乘以m、n,相加