直线系在直线问题中的应用

一、过定点的直线系 　　1.直线y-yo=k(x-xo)(k为参数)表示过定点(xo,yo)的直线,特别地,当斜率k不存在时,直线x=xo过定点(xo,yo).……     

怎样证明曲线(直线)恒过定点

1　直线或曲线恒过定点的理论依据1.1　由“y- y0 =k(x- x0 )”求定点众所周知 ,直线方程 y - y0 =k(x - x0 )中 ,如果 M0 (x0 ,y0 )为定点 ,k为参数 ,则可视其为过定点 M0 (x0 ,y0 )的直线系方程 .根据这一道理 ,如果能把含有参数的直线方程改写成 y - y0 =k(x - x0 )的形式 ,     

关于直线过定点问题的思考

<正>直线过定点问题是解析几何里面比较重要的问题,也是学习的难点.其实直线过定点问题通过转化,最终都会回到下面的两种模型,只要使用下面两个模型,直线过定点问题就能迎刃而解.模型1若直线方程能转化成点斜式,即转化为y-y_0=k(x-x_0),则直线过定点(x_0,y_0)     

过定点且与线段相交的直线斜率问题

求过定点且与定段相交的直线斜率问题 ,是高中数学教学的一个难点 ,本文将就这类问题归纳总结 ,以达到化难为易的目的 .实例 :已知直线l过定点P(x0 ,y0 ) ,且与定线段AB相交 ,其中A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,求直线l的斜率k的取值范围 ?先考虑直线PA、PB斜率均存在的情况 .设PA、PB的斜率分别为k1 ,k2 不妨设k1 相似文献   

直线方程x=my+a的重要功能

解析几何中关于直线过x轴上定点(a,0)的问题,一般同学都用常规的点斜式法设直线方程为y=k(x-a).这种设法会使运算较为繁琐,有时还会陷入僵局.例1　已知过定点P(2,0)的直线l交抛物线y2=4x于A、B两点,求△AOB(O为坐标原点)面积的最小值.图1解　设直线y=k(x-2)与抛物线方程y2=4x联立,　　y=k(x-2)y2=4x(1)(2)消去y得k2x2-4(k2 1)x 4k2=0.(3)因为　S△AOB=12|OC|.|AB|,而　|AB|=|x1-x2|k2 1=42k2 1k2k2 1,　　|OC|=|2k|k2 1,(这里运算量很大,中间过程已省略)所以　S△AOB=12.42k2 1k2k2 1.|2k|k2 1=42k2 1|k|=42 1k2→42.我们发现达不…     

直线参数方程的应用

如图1所示,经过点尸。(二。,夕。)、倾角是0的直线l的参数方程可写为:为0,如用直角坐标法证相当复杂(略)现用参数法证之. 证:设割线尸。B的参数方程为:(工乌丫)方于矛二xo+t .eosG二yo十tsf”0劣夕产.嘴‘ 、刀产 4 了叮、 rx=戈。十t一eo￡0 几夕==夕。+t·‘ine(t是参数)· 、此方程中参数t的系数的平方和为1.具有这种特征的直线参数方图1(才是参数)将(4)代入(l)并整理得:·t“+2(二。·eoso+r·s￡no)图2程,称为直线参数方程的标准式. 直线参数方程标准式中的参数t的几何意义是表示直线上的定点尸。(二。,y。)到动点尸(二,夕)的有向距离…     

一道测试题的解法探究及推广

1.题目已知椭圆x~2/4+y~2/2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点.(1)当直线AM的斜率k=1时,求点M的坐标,并求直线MN与x轴的交点坐标;(2)当直线AM的斜率k变化时,直线MN是否过定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.第(1)问答案为:M(-2/3,-4/3),下面对第(2)问进行探究.2.解法分析要研究直线MN是否过定点,一种方法是先确定M,N的坐标(用k表示),进而写出直线     

直线中最值问题的类型

类型一面积最值型例1过点P(1,4)引一条直线l,若它与两坐标轴在第一象限中围成的面积最小,求此直线方程.分析设此直线方程为y-4=k(x-1)(k<0),则它与两坐标轴分别交于点(k-k4,0)和点(0,4-k).设直线与两坐标轴围成三角形的面积为S,则S=21(4-k)(k-k4)=-21k(4-k)2=4-8k-2k≥4 2(-8k)·(-2k)=8.当且仅当-2k=-8k即k=-4,Smin=8.将k=-4代入原直线方程,就可以得到直线方程y=-4x 8.类型二距离最值型例2当θ∈[0,2π]时,方程xcosθ ysinθ-3=0表示一簇直线,点P(1,-1)离这簇直线中哪一条最近,哪一条最远?分析由直线xcosθ ysinθ-3=0知,点P(1,-1)到直…     

直线系的应用

一、直线系 具有某一个共同性质的直线的集合叫做直线系,它的方程叫做直线系方程,如直线系方程y=kx+3(其中k是参变数)表示一簇过点(0,3)的直线;y=2x+b(其中b是参变数)表示斜率为2的一簇平行直线.     

7 直线和圆圆锥曲线

7 1　直线方程和简单的线性规划内容概述1 在平面直角坐标系中 ,常用的直线普通方程形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式Ax+By+C =0五种 ,求直线方程常用待定系数法 .2 过两点 (x1,y1)、(x2 ,y2 ) ,倾斜角为α(α ≠π2 )的直线的斜率可以用斜率公式k =tanα =y2 - y1x2 -x1求得 ,当α=π2 时 ,直线的斜率不存在 .3 若两条直线有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2 :y=k2 x+b2 时 ,则l1∥l2 　 　 k1=k2 ,b1≠b2 ;　l1⊥l2 　 　k1k2 =- 1;若两条直线至少有一条没有斜率时 ,它们的平行、垂直关系都容易根据它们的具体情况进行判断 .4 …     

SOME SINGULAR SINGULARLY-PERTURBED PROBLEMS (1)

1AssumptionsThefollowingfourassumptionsarerequired.Assumption1Thereducedproblemhasasolution(xo(t),yo(t))6C'[0,1].AssumDtion2Theleftboundarylayerproblemhasasolutionyo=yo(T)eC'10, co).Therightboundarylayerproblemhasasolutiongo=go(a)EC'[0, co).Assumption3LetwhereT=LandJ=In.Itisassumedthatuniformlyfor05t5l,05T5 co,05u5 cowhereAcisapositiveconstant,andalsothatAssumption4LetItisassumedthatandItiseasyforustoconcludeLemma1LetAssumptions1-3bold,theninAssumption1,thesolutionxo(t),yo(t)EC"[0,1…     

怎样证明曲线系过定点

证明曲线系过定点,有两种常用的方法。 (一)解交点法。先就曲线系中两条特殊的曲线解出交点,再验证此交点为曲线系所经过的定点。例1 k∈R,求证直线系y-kx-x+k+1=0过定点。     

斜率是研究直线问题的重要工具

在平面直角坐标系中研究直线问题 ,斜率是一个表示直线位置的重要特征量 .一方面斜率等于倾斜角的正切值k =tanθ ,另一方面斜率又有坐标化公式k =y2 - y1x2 -x1,双重身份使斜率的运用更加方便灵活 .因此 ,它是研究直线问题时的重要工具 .1　研究直线的倾斜角例 1　 (1996年上海高考题 )过点 (4 ,0 )和点 (0 ,3)的直线的倾斜角为 (　　 )(A)arctan 34.(B)π -arctan 34.(C)arctan - 34.(D)π -arctan - 34.解　根据斜率公式得k =y2 - y1x2 -x1=3- 00 - 4=- 34,又由斜率定义得tanθ =- 34且θ∈ [0 ,π) ,从而θ =π -arctan 34,故选 (B) .…     

求直线方程的八类典型错误

求直线方程是《直线和圆的方程》这章中的基本题型之一 .在求解问题时 ,如果考虑不周全或者忽视特殊情况 ,往往会造成漏解现象 ,下面加以剖析 .1　忽略斜率不存在若将直线方程设为点斜式或斜截式 ,则应针对斜率是否存在进行分类讨论 ,否则极易漏解 .例 1　求过 (2 ,1 )且与直线 y =3x - 1夹角为 30°的直线方程 .错解 :设所求斜率为k ,因为直线 y =3x - 1的斜率为k1=3,由 3-k1 +3k =tan30°=33,得k =33.故所求直线方程为 y - 1 =33(x - 2 ) ,即x - 3y +3- 2 =0 .剖析　这里忽略了斜率不存在的情况 .事实上 ,还有一条直线x =2也满足 .例 2　…     

关于直线系过定点的证明

证明直线系过定点,可采用以下四种方法证明之: 一、参数取二特殊值,求出二定直线的交点,再证明交点坐标满足直线系方程. 例1证明不论a、b为何实数,直线系(2a+b)x+(3a一b)y+a-2b=0必过一定点.     

用直线系中的定点解题

经过两直线 l1:A1x B1y C1=0和 l2 :A2 x B2 y C2 =0的交点 P的直线系 (动直线 )方程 l:A1x B1y C1 λ(A2 x B2 y C2 ) =0(λ∈ R,不含 l2 ,简记为 l1 λl2 =0 )的应用范围很广 .本文拟从定点 P的利用这一角度 ,略述管见 ,供参考 .解析几何中涉及到动直线 l:l1 λl2 =0与直线或圆锥曲线相交的一些问题 ,解答的关键往往是确定直线 l所经过的定点 .如能找到这个定点 (通常是隐含的 ) ,并能巧妙应用 ,问题就会迎刃而解 .1　求参数的取值范围例 1　已知两点 A(- 4 ,- 5)、B(2 ,1 ) ,直线 l:(a - 2 ) x - (a 3 ) y 5(a 1 ) =0 …     

直线与圆

选择题1　直线ｘｃｏｓα ｙ 1=0的倾斜角θ的取值范围是 (　　 )(Ａ) [- π4 ,π4 ].　　　 (Ｂ) [π4 ,3π4 ].(Ｃ) [0 ,π4 ]∪ [3π4 ,π) .(Ｄ) [0 ,π4 ]∪ [3π4 ,π].2　下列命题中正确的是 (　　 )(Ａ)经过点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的直线都可以用方程 ｙ -ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 )表示 .(Ｂ)经过定点Ｐ(0 ,ｂ)的直线都可以用方程 ｙ =ｋｘ ｂ表示 .(Ｃ)不经过原点的直线都可以用方程 ｘａ ｙｂ =1表示 .(Ｄ)过任意两个不同的点Ｐ1(ｘ1,ｙ1)和Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 )的直线都可以用方程 (ｙ - ｙ1) (ｘ2 -ｘ1) =(ｘ -ｘ1) (ｙ2 - ｙ1)表示 .3　过点Ａ…     

关于微分方程解的唯一性的注记

本文将由Perron的上、下函数逼近法出发,而不用与另一方程比较的方法证明两个唯一性定理。其一推广了Iyanaga 的判别法则,另一则是 Lipschitz和Rosenblatt条件的统一和推广。设已给微分方程据Peano,若函数f(X,y)在xoy平面上某域D 内连续,则过D内任一点(xo,yo),至少有方程(1)的一解;同时,他进而指出,在方程(1)的一切经过初始点(xo,yo)的解中,存在     

有关直线方程的漏解例析

直线方程是解析几何的最基本的内容,解题时由于各种原因而导致漏解,下面就容易出现漏解的几种情形分析如下.1.忽视直线的倾斜角的范围例1求过点(1,2)且倾斜角的正弦为45的直线方程.错解由题意,设所求直线的倾斜角是α,则sinα=45,可得cosα=35,由此所求直线的斜率k=tanα=43,故     

关于直线的参数方程

我们知道 ,随着参数的选择不同 ,同一直线的参数方程也不同 .过定点Ｍ0 (ｘ0 ,ｙ0 )、倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为ｘ =ｘ0 +ｔｃｏｓα ,ｙ =ｙ0 +ｔｓｉｎα .(ｔ为参数 )我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式 ,其中ｔ表示直线ｌ上以定点Ｍ0 为起点 ,任意点Ｍ (ｘ ,ｙ)为终点的有向线段 Ｍ0 Ｍ的数量 .当点Ｍ在点Ｍ0 的上方时 ,ｔ >0 ;当点Ｍ在点Ｍ0 的下方时 ,ｔ<0 ;当点Ｍ与Ｍ0 重合时 ,ｔ=0 .很明显 ,我们也可以把参数ｔ理解为以Ｍ0 为原点 ,直线ｌ向上的方向为正方向的数轴上点Ｍ的坐标 ,其长度单位与原直角坐标系中的长度单…