椭圆双曲线焦点三角形的若干性质

文[1]介绍了椭圆x^2/a^2 y^2/b^2=1焦点三角形的7个个性质，笔者读后深受启发，经过研究，笔者也得到了椭圆焦点三角形的若干性质，作为对文[1]的补充．     

椭圆中焦点三角形的边角关系探究

在椭圆中,以椭圆两个焦点F1、F2和椭圆上某一点(除长轴的两个顶点)P(x,y)构成的三角形称为焦点三角形,笔者对这个三角形的一些边角关系做一些归纳与探讨,总结出一些通用并且常用的性质作为命题,同时对这些命题进行了证明,这样再遇到比较复杂问题的时候,想起这些命题往往可以迎刃而解,达到快速解题的目的.     

椭圆“4α三角形”的优美性质

<正>定义设椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F2的直线与椭圆交于A、B两点(不与椭圆长轴端点重合),由于△ABF1的周长为定值4a,我们定义△ABF1叫椭圆的"4a三角形".笔者经过探索,得出椭圆"4a三角形"的几个优美性质,现写出来与大家交流、分享.     

椭圆“特征焦点三角形”的一个性质

椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形 .下面给出关于椭圆特征焦点三角形顶角的一个比较有用的性质及其应用 ,以引起同学们的注意 .性质　椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆两焦点所成张角中最大的角 .证明　不妨设椭圆方程为 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,两焦点Ｆ1 (-ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 ) ,α为椭圆特征焦点三角形的顶角 ,Ｐ是椭圆上的任意一点 ,则 0 <α <π ,|ＰＦ1 | + |ＰＦ2 | =2ａ ,|Ｆ1 Ｆ2 | =2ｃ.当Ｐ与椭圆长轴的端点重合时 ,∠Ｆ1 ＰＦ2=0 ,显然α >∠Ｆ1 ＰＦ2 .…     

椭圆特征焦点三角形的一个性质及应用

椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形 .下面给出关于椭圆特征焦点三角形顶角的一个比较有用的性质及其应用 ,以引起同学们的注意 .性质　椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆两焦点所成张角中最大的角 .证　不妨设椭圆方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ>0 ) ,两焦点Ｆ1( -ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ ,0 ) ,α为椭圆特征焦点三角形的顶角 ,Ｐ是椭圆上的任意一点 ,则 0 <α <π ,|ＰＦ1| + |ＰＦ2 | =2ａ ,|Ｆ1Ｆ2 | =2ｃ.当Ｐ与椭圆长轴的端点重合时 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =0 ,显然α >∠Ｆ1ＰＦ2 .当Ｐ…     

例析与椭圆的焦点三角形相关的问题

在椭圆中,所谓“焦点三角形”就是指椭圆的两个焦点与椭圆上的任意一点组成的三角形．椭圆的焦点三角形中蕴涵着很多让人耳目一新的几何性质,它融正、余弦定理、平面几何和向量等知识于一体,让焦半径充分展示其魅力,给人新颖灵活之感,值得我们去探究与总结．在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中,以“焦点三角形”为载体的问题更是层出不穷,精彩纷呈．本文结合具体问题,对椭圆的焦点三角形的性质加以归纳与剖析．     

椭圆周角的单调性与范围

设P是椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，我们称∠F，PF2为椭圆周角，     

椭圆焦三角形的若干性质

椭圆焦三角形的若干性质石国强（江苏省海门中学２２６１００）为叙述方便，定义椭圆上某一点与两焦点所构成的三角形为焦三角形，焦三角形的顶点中，位于椭圆上的那个顶点称为非焦顶点．性质１椭圆焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与椭圆长轴为直径的圆相切．证明如图（...     

有心圆锥曲线与焦点准线相关的一个定值性质

性质1已知椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）,点O是椭圆的中心,点F是椭圆的一个焦点,M是相应于焦点F的准线l上的任一点,过F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,则｜ON｜=a．     

椭圆“4α三角形”的优美性质

定义 设椭圆x^2/b^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左、右焦点分别是F1、F2,过F2的直线与椭圆交于A、B两点（不与椭圆长轴端点重合）,由于△ABF1的周长为定值4a,我们定义△ABF1叫椭圆的“4a三角形”．笔者经过探索,得出椭圆“4a三角形”的几个优美性质,现写出来与大家交流、分享．     

一道求椭圆标准方程题的流行错题

题目：已知椭圆M的两个焦点分别是F1（～1，0），F2（1，0），P是椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，｜PF1｜-｜PF2｜-8，求椭圆的标准方程．     

简议焦点三角形

所谓焦点三角形,系指有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）上任一点与其两焦点连接构成的三角形．因为焦点三角形是具有特殊意义的三角形,所以它既具有一般三角形的性质,又有其特殊性质．因而解决焦点三角形问题,要紧紧抓住其本质特征（顶点为两焦点和圆锥曲线上的点）,挖掘其内涵、张扬其外延;     

对一道数学题的猜想与论证

<正>笔者曾经遇到了这样一道题:引题已知椭圆x2/4+y2/3=1的左、右焦点分别为F1、F2,过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于点P、Q,则(1)△F1PQ的周长是;(2)△F1PQ内切圆面积的最大值是.解因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍,且△F1PQ的周长是定值8,所以只需求出△F1PQ面积的最大值.     

对一道数学题的猜想与论证

笔者曾经遇到了这样一道题：引题已知椭圆x^2/4＋y^2/3=1的左、右焦点分别为F1、F2,过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于点P、Q,则（1）△F1PQ的周长是______;（2）△F1PQ内切圆面积的最大值是.解因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍,且△F1PQ的周长是定值8,所以只需求出△F1PQ面积的最大值.     

椭圆及双曲线平行弦的又一组性质

文[1]给出了双曲线平行弦的两个性质,文[2]将其推广到圆与椭圆,笔者进一步研究,得出了椭圆与双曲线的又一组性质.性质1如图1,若P是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上任意一点(非长轴端点),连结OP,过椭圆的焦点F作直线MN,使MN∥OP,且交椭圆于M,N两     

椭圆、双曲线焦点弦三角形的若干性质

椭圆、双曲线有许多优美有趣的性质，本文拟给出焦点弦三角形——焦点弦的两个端点A，B与椭圆（双曲线）的中心O所构成的△OAB为直角三角形的几条性质，同时给出其几点应用．     

新课程标准指导下的数学教学案例一则

1 教学案例 1．1 提出问题 创设情景 题：（屏幕显示）如图1，在椭圆x^2/45＋y^2/20=1上求一点P，使它与两焦点F1，F2的连线互相垂直。     

例谈椭圆的离心率问题的解法

<正>1.求椭圆离心率的方法(1)利用椭圆的定义求解椭圆的定义中已经包含了基本量a、c,a的几何意义是半长轴或者是特征三角形(即顺次连接坐标原点、焦点、短轴顶点的三角形)的斜边,c的几何意义是半焦距.利用椭圆的定义往往可以很容易求椭圆的离心率.例1如图1所示,设F1、F2分别是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P     

圆锥曲线一组有趣的定值性质

性质1如图1,椭圆E：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左（右）焦点为F,在x轴上F的右（左）侧有一点A,以FA为直径作圆C与椭圆E在x轴上方部分交于M、N两点,则｜FM｜＋｜FN｜/｜FA｜=1/e（其中e为椭圆的离心率）．     

一道椭圆离心率问题的探讨与研究

问题 设F１、F２是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2＝120°,则椭圆离心率e的范围是___．