用均值不等式等号成立条件解题

在高中《代数》下册(必修本)P.8介绍了不等式的定理1及其推论: 定理1 如果a,6∈R,那么a~2 b~2≥2ab,(当且仅当a=6时取“=”号)。 推论 如果a,6∈R~ ,那么a b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时取“=”     

均值不等式等号成立条件的巧用

应用均值不等式解题时,巧用其等号成立的条件,常常能使一些问题获得简单解决．     

妙用不等式等号成立条件解题举例

等与不等是一对矛盾,从辩证法的角度看,它们在一定的条件下可以相互转化,有些数学题．如能利用重要不等式（或特殊不等式）取等号的条件求解,简洁、迅速、有独到之处,现分类说明如下：     

巧用基本不等式等号成立条件解题

基本不等式：√ab≤a＋b/2（其中a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时等号成立．     

妙用不等式等号成立条件解题举例

等与不等是一对矛盾,从辩证法的角度看,它们在一定的条件下可以相互转化,有些数学题,如能利用重要不等式(或特殊不等式)取等号的条件求解,简洁、迅速、有独到之处,现分类说明如下:     

活用均值不等式等号成立条件证难题

怎样证明不等式,大家常将关注落脚点放在不等式使用的技巧上,而对不等式的等号成立条件有所忽略．其实,如果注意合理使用不等式的等号成立条件,常常能帮助我们迅速找到一扇证明不等式难题的思路之门．     

不等式等号成立条件的探求及应用

纵观有关不等式的证明问题,大致可以分为两大类：如果不等式的条件(若有条件)和结论皆为对称表达式,我们称这样的不等式为对称不等式．如果不等式的条件(若有条件)和结论至少有一个为非对称表达式,我们称这样的不等式为非对称不等式．     

谈条件不等式含不含等号问题

在数学解题中,经常会将题意转化为不等式来解,但转化成含等号的不等式还是不含等号的不等式,着实困惑了不少同学,而且往往就因为一念之差导致了错误结果,尤其是填空题将功亏一篑.现对高中数学教学中常见的几种情况进行树立分析.     

从等号成立的条件探讨不等式的证明

不等式的证明是中学数学中的难点,方法灵活多样,技巧性强,没有固定的证题模式。有些不等式,如果我们挖掘出其等号成立的条件,则常使我们觅得解决问题的途径,为了说明问题,先看下面的题目: 例1 a,b为正实数,且a b=1,求证: 因观察以上证明过程,虽然推理没有错误,但没有达到证明原不等式的目的,不难发现使用的不等式ab 2/ab≥2(ab·2/ab)~(1/2)中,等号不能成立,这说明这一不等式还需进一步加强,那么如果使用平均不等式,如何使等号成立呢?所证不等式中,易知a=b=1/2时等号成立,此     

引入参数利用等号成立的条件证明不等式

文［１］,［２］把欲证不等式引入参数后,使问题转化为求关于参数函数的最值问题．本文给出另一种方法,即对欲证不等式引入参数后,利用均值不等式及其取等号的条件来证明．这种方法的思路自然,操作简便,应用广泛．下面举例说明．例１设ｐ,ｑ∈Ｒ＋,且ｐ３＋ｑ３＝...     

一类不等式成立的条件与均值不等式的加强

熟知 ,不等式ax2 +bx +c≥ 0 (x≥ 0 )成立的充要条件是a≥ 0 ,c≥ 0 ,b+ 2ac≥ 0 .对此加以推广 ,我们得到了定理 1　设n∈R ,n >1 ,则不等式fn(x) =axn+bx +c≥ 0 .(x≥ 0 ) ( 1 )成立的充要条件是a≥ 0 ,c≥ 0 ,(n - 1 )b +n[(n - 1 )acn - 1 ]1 n≥ 0( 2 )证　先考虑a =1的情况 :易知b≥ 0时fn(x)在 [0 ,+∞ )上递增 ,b <0时 fn(x)在 [0 ,x0 ]与 [x0 ,+∞ ]上分别递减与递增 ,其中x0 =-bn1 n- 1 .故当x≥ 0时有fn(x) min=f( 0 ) =cf(x0 ) =c- (n - 1 )x0 n　 (b≥ 0 ) ,(b<0 ) .从而知 fn(x)≥ 0 (x≥ 0 )成立的充要条件是b≥ 0 ,c≥ 0…     

例谈不等式恒成立问题的解题策略

<正>在不等式恒成立的条件下求参数范围是历届高考的热点,此类问题重点考查导数的应用,借助导数研究函数的性质,将函数、方程与不等式有机地统一起来,突出转化与化归、分类讨论等思想方法的应用.而如何构造目标函数是这类问题的关键,下面结合一道典型试题,谈谈解决问题常用的几种方法.     

用均值不等式求最值取等号的错因剖析

用均值不等式求最值是高中代数教学的一个重点和难点，也是高考在综合题、应用题中出现频率很高的知识点．运用时必须注意三个限制条件，即“一正、二定、三取等”．笔者在教学实践中，发现很多同学在“取等”这一环节上由于观察不仔细，条件分析不充分，知识方法应用不恰当等原因，经常出现错而不知的现象．本文拟从多角度剖析运用均值不等式求最值时取错等号的原因，以期引起大家的注意．     

马尔可夫与切比雪夫不等式及其等号成立的条件

用现代概率论方法证明马尔可夫和切比雪夫不等式,并给出其等号成立的充要条件.     

一个单形不等式等号成立的举例

关于猜测:“自E~n中的单形B_1B_2…B_(n+1)内的任意一点M作各面的垂线,分别交各面于C_1,C_2,…C_(n+1),则 |V_((c_1c_2)…c_(n+1))|≤1/n~n|V((B_1B_2…B(n+1))|式中等号当仅且当M是单形B_1B_2…B_(n+1)的外接球球心时成立。”文作了颇精妙的证明并指出:“当n≥3时,一般地,猜测中取等号的条件是不成立的”,这预示单形该性质有异化的情况。为了使其发生变化的情况有所具体表现,我们通过对     

利用不等式取等号的条件解方程

文[1]结合几个例题详细介绍了利用不等式取等号的条件解方程的方法,笔者读后感觉受益匪浅．利用不等式取等号的条件解方程,关键是要证明把方程中的“=”换成“≥”或“≤”后在定义域范围内能够成立．而这往往需要一定的解题技巧．下面我们再举几个例子．     

利用不等式取等号的条件解方程

文[1]结合几个例题详细介绍了利用不等式取等号的条件解方程的方法,笔者读后感觉受益匪浅.利用不等式取等号的条件解方程,关键是     

利用不等式取等号的条件巧解方程

构造不等式,探求方程的解,是求解方程问题的一种有效策略．其要领是：先利用一些重要不等式,将方程的一端化为不等式,然后结合原方程把不等式化为等式,再利用不等式取等号的条件,把原方程化为与自身同解且比较简单的方程,从而使问题得以圆满解决．本文举例说明这一策略在解题中的应用．     

不等式中等号成立条件的解题功能——兼谈对称思想

大家都知道,基本不等式中的等号,当且仅当诸数都相等时成立.事实上,我们遇到的要证明的绝大多数不等式的条件与结论都是关于所含字母的轮换对称式,这就预示着这些字母在解题中的地位是相同的,因此,当它们取值相同时,等号可能成立.于是,可以先猜测并验证要证明的不等式中等号成立的条件,然后,结合已知条件,通过拆添项、配凑等手段构造一系列基本不等式,最后通过同向不等式的运算给出证明.下面举例说明.     

均值不等式在初中解题中的应用

1 均值不等式对任意的非负数a,b,总有(√a-√b)2≥0成立,左边展开便有:a+b-2√ab≥0,即a+b≥2√ab(当且仅当a=b时等号成立).