ON UNIQUENESS OF SOLUTION TO POINTWISE LANDAU PROBLEM ON THE FINITE INTERVAL

1. Introduction Let W_∞~((r)) (β) = {f| f∈W_∞~((r)) [-1,1], ||f||_(C[-1,1]) β, ||f~((r))||_∞ 1}.In this paper, we will consider the following Landau problem:λf~((k))(ξ) + μf~((k-1)) (ξ) →inf, f∈W_∞~((r)) (β), (1.1)where ξ∈[-1,1], 1(?)k(?)r-1, and λ, μ real and not all zero, (if k=1,suppose λ≠0 in addition ). A. Pinkus studied it first. To begin with, we introduce some fundamental definitions anddenotions. The perfect spline f, which satisfies || f~((r))||_∞ = 1 andhas n knots and n+r+1 points of equioscillation in [-1,1], isdenoted by x_(nr), which is refered as Tchebyshev perfect spline. And     

关于圓内具有两个例外值B的全純函数

<正> 引言 1.对于在单位圓內的亚純函数f(z)熊庆来教授借助于密指标N(r,a)导入例外值B的定义,而于f不取0且容許1为例外值B的全純函数,他証明了一个界囿定理有类于著名的灼特基(Schottky)定理. 本文于值1的假設易f为f~((k))时,我們証明一个定理类似于密朗达一伐利隆(Miranda-     

环内亚纯函数的特征函数

应用亚纯函数的Nevanlinna理论,研究了定义在圆环内的亚纯函数的特征函数.证明了定义在圆环内的具有最大亏量和的有限级允许亚纯函数f(名)与其各阶导函数f~((k))(z)的特征函数之间满足如下关系:当δ_0(∞,f)=1时,T_0(r,f~((k)))~T_0(r,f)(r→+∞);当δ_0(∞,f)=0时,T_0(r,f~((k)))~(k+1)T_0(r,f)(r→+∞),其中k为任意正整数.所得结果推广了定义在全平面上亚纯函数的一些相关结果.     

f与f^（k）具有一个CM公共值的亚函数

得到如下结果：设f(z)为非常数亚纯函数，f与f^(k)以1为CM公共值，如果N^-(r，f) N^-(r，1/f^(k))＜λT(r，f)，k=1，0＜λ＜1/6;或3N^-(r，f) N^-(r，1/f^k)＜λT(r，f)，k≥2，0＜λ＜1/3;或N^-(r，1/f) 3N^-(r，1/f^(k))＜λT(r，f)，k≥3，0＜λ＜1/6，则f^(k)-1/(f-1)≡C，其中C为某一非零常数。     

涉及分担函数的正规定则

设k为正整数,M为正数;F为区域D内的亚纯函数族,且其零点重级至少为k;h为D内的亚纯函数(h(z)≠0,∞),且h(z)的极点重级至多为k.若对任意给定的函数f∈F,f与f~((k))分担0,且f~((k))(z)-h(z)=0?|f(z)|≥M,则F在D内正规.     

A FUNDAMENTAL INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Let f(z) be meromorphie in |z|k+4+[2/k].In this note,a fundamental inequality is established such that thecharacreristic function T(r,f)can be limibd by N(r,1/f)and _(τ-1)(r,1/(f~(k)-1).As anapplication,the following criterion for normality is also proved:Let be a family ofmeromorphic functions in a region D.If for every f(z)∈ ,f(z)≠0 and all the zeros off~(k)(z)-1 are of multiplicity >k+4+[2/k]in D,then is normal there.     

分担值与具有重零点的亚纯函数正规族

主要证明了:设k≥2是一个正整数,M是一个正数,c是一个非零有穷复数.F是区域D内的一族亚纯函数,其中每个函数的零点的重数至少是k.若对于F中的任意函数f,f(z)=0f^((k))(x)=0,f((k))(x)=0,f^((k))(z)=c■|f((k))(z)=c■|f^((k+1))(z)|≥M,则F在D内正规,其中c≠0是必需的.     

一类整函数系数微分方程解的复振荡

本文研究了微分方程f~(k) A_((k-1))f~((k-1)) … A_0f=F(k≥2)解的增长级和零点收敛指数,其中A_j=B_je~(P_j),j=0,1,…,k-1,B_j(z)为整函数,P_j(z)为多项式,σ(B_j)＜degP_j．     

A NEW ROPER-SUFFRIDGE EXTENSION OPERATOR ON BOUNDED COMPLETE REINHARDT DOMAINS

In this paper, we construct a new Roper-Suffridge extension operator Φr n,β1,,βn(f)(z) = F(z) = ((rf(z1/r)/z1)β1z1,(rf(z1/r)/z1)β2z2,...,(rf(z1/r)/z1)βnzn)',where f is a normalized locally biholomorphic function on the unit disc D, r = sup{|z1| : z =(z1, ···, zn) ∈Ω}, β1∈ [0, 1], 0 ≤βk≤β1, k = 2, ···, n, then we prove it can preserve the property of spirallikeness of type β, almost starlikeness of order α and starlikeness of orderα on bounded complete Reinhardt domain Ω, respectively.     

与高阶导数有公共不动点的整函数

本文证明了如果f是非常数整函数满足超级σ_2(f)<1/2,k是一正整数,如果f和f(k)有公共不动点z CM,那么f~((k))(z)-z=c(f(z)-z),其中c是非零常数.     

一类高阶周期线性微分方程解的性质及复振荡

本文对一类超越型高阶周期线性微分方程解的性质及复振荡证明了：设B（ξ）=g1(1/ξ） g2(ξ），其中g1(t)和g2(t)是整函数，以及g1(t)(或g2(t))是超越的且级小于1／2。令A(z)=B(e^z)。（i)如果方程ω^(k) A(z)ω=0(k≥3)有解f(z)≡0满足log^ N(r,1/F)=0(γ），则f(z)和f(z 2πi)线性相关；（ii)如果B（ξ）在ξ＝∞（或相应地在ξ≠0）有一p阶极点，p不被整除，则前方程的任一解f(z)≠0的零收敛指数都是无究，且更强的结论log^ N(r,1/f)≠0（γ）成立。     

Further Extension on a Theorem of the Value Distribution of f′f~n

By using small function method,the following result is obtained.If f(z) is transcendental meromorphic and thatΨ(z) is non-zero meromorphic and that T(r,Ψ)= S(r,f),then (n 1)T(r,f)≤■(r,(1/f′f~n-Ψ)) 2■(r,(1/f)) ■(r,f) S(r,f).     

关于亚纯函数族■的唯一性

§1.引言设f(z)是开平面内非常数的亚纯函数,α为复数,λ为正整数,我们用E(α,f)表示f(z)-α的0点集合,用E_(?)(α,f)表示f(z)-α的重级不高于λ的0点集合,在上述集合中,每个0点仅计一次。有时我们也把E(α,f),E_(λ))(α,f)及E(b,f~~(k)),E_λ(b,f~(k))分别简记为E(α),E_(λ))(α)及E~((k))(b),E_(λ))~((k))(b),其中b为复数,k为正整数。在本文中,我们设F表示满足条件δ(0)=δ(∞)=1的开平面内非常数亚纯函数族。显然F中的函数均为超越亚纯函数(?     

单级零点较少的亚纯函数的一个界囿不等式

本文证明了:若.f(z)为复平面上的非线性亚纯函数,满足N1(r,1/f)=S(r,f),则对任何非零复数c,成立T(r,f)<11N(r,f)+11N(r,1/f'-c)+S(r,f).这里N1(r,1/f)表示f(z)的单级零点的计数函数.     

关于亚纯函数的亏函数和例外函数

设f(z)于开平面超越亚纯,(?)_1(z),(?)_2(z)…”,(?)_l(z)为l个线性无关的亚纯函数满足T(r,(?)_i)=o(T(r,f))。我们用E_l(f)表示具有形状sum from k=1 to l(C_k(?)_k(z))的亚纯函数和∞所成的集合,则E_l(f)中f(z)的亏函数至多是可数的,并且相应于这些亏函数的亏量总和不超过(l 1)~2,f(z)的l级Borel例外函数的数目不超过(l 1)~2。另外本文还证明了几个不等式。     

單葉函數的係數與開始多項式

<正> 以fk(z)表單位圓內的K次對稱單葉全純函數,亦即fk(z)=z+a_I~((k))z~(k+1)+a_2~((k))z~(2k+1)+…,|z|<1.以S_k表此種函數之全體.特別,書S以代S_1.     

关于亚纯函数的奇异方向

本文讨论了无穷级亚纯函数结合导数涉及重值的奇异方向,得出如下结果:定理 设f(z)为|z|<∞中的亚纯函数,其级ρ(r)为熊庆来无穷级,则必存在从原点发出的半直线 B:arg z=θ_0(0≤θ_0<2π)具有如下性质:对于任意的正整数 l,p,k;任意的正数 ε 及一切有穷复数 α,β(β≠0),若((2+1/k)(k+2)-2)/l+((2+2/k)(k+1))/p<1,则有(?)(log{(?)_(l-1)(r,θ_0,ε,f=α)+(?)_(p-1)(r,θ_0,ε,f~((k))=β))/(ρ(r)logr)=1     

亚纯函数涉及分担函数的正规定则

本文研究亚纯函数涉及分担函数的正规性.设■为定义在区域D上的全纯函数族,n,k,m(≥0)是三个整数,其中n≥k+m+2,p(z)是区域D上零点重数为m的全纯函数.如果函数族■中任意两个函数(f,g)均满足(f~n)~((k))和(g~n)~((k))分担p(z),则■在D上正规.     

一类高阶线性微分方程解的增长性

本文讨论一类一般的齐次和非齐次高阶线性微分方程解的增长性,证明了当整函数F,A_j,D_j和s≥1次多项式P_j(z)(j=0,1,…,k-1)满足某些条件时,方程(其中k≥2),f~(k) (A_(k-1)(z)e~(P_(k-1)(z)) D_(k-1)(z))f~((k-1)) … (A_0(z)e~(P_0(z)) D_0(z))f=F当F≡0时,所有非零解具无穷级；当F≠0时,至多除去一个有限级解f_0外,其余所有解均满足■(f)=λ(f)=σ(f)=∞且σ_2(f)≤max{s,σ(F)},从而推广了M．Frei,M．Ozawa,G．Gundersen,J．K．Langley,陈宗煊,李纯红等人的结果。     

The Uniqueness of Meromorphic Functions Concerning Small Functions

Inthe1920s,Nevanlinna[1]establishedthefamoussecondfUndamentaltheorem,whosepreciseformisasfollows:Letf(z)beanonconstantmeromorphicfunctiononthecomplexplaneCanddistinctcomplexvaluesintheextendedcomplexplaneC,thenhere,T(r,f),N(r,.),(r,.)andS(r,f)arethestandardnotationsoftheNevanlinnatheor}(See[2]forexample).Oneoftheimportantapplicationsof(l)(butnot(2))isthefollowingwelLknownNevanlinna5-piont--theorem.ontheuniquenessofmeromorphicfunctions:TheoremA[1]Letf(z)andg(z)benonconstantmeromorphicfunct…