Criteri jacobiani di regolarità ed eccellenza per anelli di serie ristrette

Riassunto Nel presente lavoro studiamo il problema seguente: seA è un anellom-adico eccellente, è pure eccellente l’anello (A, m) {X ₁,…,X _n } delle serie ristrette? I risultati che presentiamo sono relativi ad anelli baseA di char. 0, ma con quozienti di char.p>0; essi sono basati su tecniche che sfruttano fortemente i criteri jacobiani di regolarità. Perciò ci riferiamo sempre ad anelli base ?di tipo analitico? (nel senso di [5], def. 1.1), cioè ad anelli muniti di un numero sufficiente di derivazioni, tale da garantire la validità di criteri jacobiani. Proviamo che, seA è locale regolare di tipo analitico eA/pA è finito come modulo su (A/pA) ^p , allora (A, m) {X ₁,…,X _n } è eccellente; evitando così, rispetto a [10] (teorema 10), ogni condizione restrittiva sui corpi residui. Estendiamo inoltre in modo naturale la definizione di anello di tipo analitico al caso non locale e troviamo condizioni necessarie e sufficienti per la permanenza dell’analiticità nel passaggio alle serie ristrette. Proviamo infine che gli anelli analitici sono eccellenti se lo sono modulop.

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Summary In the present paper we investigate the following problem: ifA is anm-adic excellent ring, is the restricted power series ring(A, m){X ₁,…,X _n } also excellent? Here we are able to produce some results when the basic ringsA are of char. 0, but with quotients of char.p>0. We need to use techniques which exploit strongly the jacobian criteria of regularity; hence we limit ourselves to the class of the basic rings ?of analytic type? (in the sense of [5], def. 1.1), i.e. rings with enough derivations to make jacobian criteria true. We prove that, ifA is a regular local ring of analytic type andA/pA is a finite module over (A/pA)^p, then (A, m){X ₁,…,X _n } is excellent. With regard to [10], theorem 10, we can avoid every restrictive condition over the residue fields. Moreover we extend in a natural way the definition of a ring of analytic type in the case of a regular domain of char. 0 not necessarily local and we find necessary and sufficient conditions for the permanence of the analytic property in the passage to the restricted power series. At last we prove that the analytic rings are excellent if they are so modulop.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei Gruppi di Ricerca Matematica del CNR (GNSAGA).     

Immagini inverse dei gruppi di omotopia

Riassunto SeM edN sono varietà poliedriche chiuse connesse ed orientate di dimensioni rispettivem edn, conm≥n>2, edf∶M→N è una trasformazione continua, allora per ognir, minore din e non inferiore a 2, si definisce un omomorfismo indotto ϕ_rπ:_r (N)→H _m-n+r (M) dal quale si ricavano certi invarianti topologici.

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Résumé Soientm≥n>r≥2 des entiers etM, N des variétés polyédrales closes connexes orientées satisfaisant dimM=m et dimN=n, de plusH _i(M) le groupe de Betti à i dimensions deM,M,π _i (N) le groupe de Hurewicz ài dimensions deN, etf∶M→N une application continue. Alorsf définit, pour,r=2, 3, …n−1, un homomorphisme réciproque ϕ_rπ:_r (N)→H _m-n+r (M) comme il suit. Etant donné un élément α du groupe π_r (N) et uner-sphère continue orientéeS de α, on peut supposer quef ⁻¹(S) soit un polyèdre finiA àm−n+r dimensions. Parf est induit dansA un (m−n+r)-cyclez à coefficients entiers, et la classe d'homologie dez est justement l'image ϕr(α) de α par ϕr. Pourr=1, on obtient un homomorphisme réciproque ϕ_rπ:_r (N)→H _m-n+r (M) du groupe fondamentalF(N) deN dans le groupe d'homologie àm−n+1 dimensions deM. A l'aide des homomorphismes ϕ,,ϕ2,ϕ,3...,ϕn-i, on parvient à certaines expressions caractéristiques dépendantes seulement de la classe d'homotopie def, en particulier on obtient des constantes pour les images des bases de Betti deM, pour Fimage du groupe de torsion deM, et pour l'image réciproque du groupe fondamental deN.

     

Costruzione di una soluzione fondamentale per operatori differenziali ( p n )-ipoellittici,p=1, …, n

Riassunto è costruita una soluzione fondamentale per un operatore differenziale ( _p ⁿ )-ipoellittico,p=1, …,n, con coefficienti costanti. Tale soluzione fondamentale soddisfa a condizioni di Gevrey nei due semi-spazi {x _n <0}, {x _n >0}.

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Summary A constructive procedure of a fundamental solution to a linear ( _p ⁿ )-hypoelliptic,p=1, …,n, differential operator inR ⁿ with constant coefficients is exhibited. Such a fundamental solution satisfies Gevrey conditions in the two half-spaces {x _n >0}, {x _n <0}.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività del Gruppo Nazionale per l’Analisi Funzionale e le sue Applicazioni.     

Successioni regolari relative e ideali sizigetici

Riassunto Si utilizzano le successioni regolari relative strette per studiare i moduli di sizigie e i gruppi di omologia del complesso di KoszulK(f₁,…,f_n;A) di un sistema di elementif ₁,…,f _n appartenenti ad un anello commutativo con unitàA, estendendo, tra l'altro, un noto teorema diJ. P. Serre valido per le successioni regolari. Numerose applicazioni geometriche illustrano i risultati conseguiti.

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Résumé On utilise les suites regulières relatives strictes pour étudier les modules des syzygies et les groupes d'homologie du complex de KoszulK(f ₁,…,f_n;A) d'un systéme d'élémentsf ₁,…,f _n d'un anneau commutatif avec unitéA, généralisant un théorème bienc connu deJ. P. Serre valide pour les suites régulières. Nombreuses applications géométriques clarifient les résultats obtenus.

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La presente Nota riproduce fedelmente la prima di 3 conferenze, tenuta dall'autore il 12 giugno 1979 alla XVIII Session du Séminaire de Mathématique Supérieures de l'Université de Montréal.

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Lavoro eseguito nell'ambito della GNASAGA-CNR.     

SulleG-strutture di unaV n definite da una 1-forma complessa a valori vettoriali

Sunto Si studia, in ipotesi del tutto generali, la struttura quasi prodotto definita su una varietà differenziabile V_n da due campi di proiettori complessi φ _S ^R φ′ _S ^R , legati dalla relazioneφ+φ′=Id, e si caratterizzano le connessioni vincolate alla struttura come quelle rispetto alle quali sono identicamente nulli i differenziali assoluti dei proiettori. In particolare si definisce, tra tutte le connessioni vincolate, una connessione canonicamente associata a una connessioni complessa preventivamente assegnata su V_n. Si mostra infine come il tensore caratterestico regolare della struttura H _S ^R ≡φ′ _S ^R −φ _S ^R individui, nello spazio tangente complessificato, una trasformazione involutoria che ha i caratteri di una simmetria rispetto a uno dei due sottospazi localmente legati alla struttura. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del Gruppo di ricerca matematica N^o 1 del C. N. R.     

Proprietà spettrali di una classe di operatori quasi ellittici

Riassunto In questo lavoro ci occupiamo di problemi al contorno per una classe di operatori lineari quasi ellittici del tipoA+σ, dove σ è una perturbazione assegnata; proviamo che l'operatore associato al problema è di Fredholm con indice zero e studiamo le proprietà spettrali dell'operatore associato al problema con condizioni al contorno omogenee.

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Summary In this paper we study boundary value problems for linear quasi elliptic (A+σ)-type operators, where σ is an assigned perturbation; we prove that the related operator is a Fredholm operator whose index is zero. Then we study spectral properties of the operator related to the problem with homogeneous boundary conditions.

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Lavoro eseguito nell'Istituto di Scienze dell'Informazione dell'Università di Salerno, nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni del C.N.R.     

Due questioni di relatività generale

Sunto Si considera un generico conduttore ideale elastico magnetizzabile & in Relatività generale. Si mostra che quando il moto di & è rigido secondo Born sussistono certe proprietà di invarianza per grandezze elettromagnetiche, le quali, nel caso di non magnetizzabilità, si riducono a certe proprietà già note sia in Fisica classica che in Relatività generale, cf.[11] e[14]. Inoltre si scrivono le equazioni (in termini finiti) che determinano la velocità di propagazione in & delle onde magneto-elastiche d’accelerazione e le discontinuità d’accelerazione. Con ciò si generalizzano alcuni risultati noti per fluidi.

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Summary An arbitrary magnetizable and elastic ideal conductor, &, is considered in general Relativity. Certain invariance properties of some eletromagnetic quantities are shown to hold for &, under the condition of the Born rigidity. This is a generalization of a result that for nonmagnetizable bodies is already known in both classical physics and general Relativity, cf.[11], [14]. Furthermore the author deduces the algebraic equations for the propagation speed in & of (acceleration) magneto-elastic waves and for the discontinuity vector of acceleration. Thus some known results concerning fluids have been generalized.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei gruppi di ricerca del C.N.R.

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Entrata in Redazione il 26 luglio 1971.     

About the properties ( V ) and ( R.D.P. ) in injective tensor products

In questo lavoro vogliamo provare che seX è uno spazio di Banach del tipoL _∞ con la proprietà (V) of Pelczynski (rispettivamente con la Reciproca Proprietà di Dunford Pettis) eY è uno spazio di Banach riflessivo alloraX⊗_ɛ Y ha la proprietà (V) (rispettivamente la Reciproca Proprietà di Dunford Pettis).

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Work partially supported by M.U.R.S.T. (40%).     

Una proprietà dei simboli non-omogenei,e degli operatori pseudo-differenziali associati

Riassunto In questo lavoro si considera la classe di simboli da noi introdotti nel lavoro [2] e si dimostra che tale classe è invariante rispetto a una certa trasformazione di variabili nello spazioR _ξ ⁿ ; in seguito, una certa maggiorazione per operatori pseudo-differenzialiA(x, D) associati a simboli ellittici, viene ottenuta.

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Résumé Dans ce travail on considère la classe de symboles introduite par nous dans le travail [2] et on démontre que cette classe est invariante par rapport à une certaine transformation de variables dans l'espaceR _ξ ⁿ ; ensuite une certaine majoration pour opérateurs pseudo-différentiels associés aux symboles elliptiques est obtenue.

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Questo lavoro è stato effettuato mentre l'autore godeva di una sovvenzione del Centro Nazionale delle Ricerche del Canadà. ≠ 6445, attraverso l'Università di Montréal.     

Polynomials over division rings

LetD be a division ring with a centerC, andD[X ₁, …,X _N] the ring of polynomials inN commutative indeterminates overD. The maximum numberN for which this ring of polynomials is primitive is equal to the maximal transcendence degree overC of the commutative subfields of the matrix ringsM _n(D),n=1, 2, …. The ring of fractions of the Weyl algebras are examples where this numberN is finite. A tool in the proof is a non-commutative version of one of the forms of the “Nullstellensatz”, namely, simpleD[X ₁, …,X _m]-modules are finite-dimensionalD-spaces. This paper was written while the authors were Fellows of the Institute for Advanced Studies, The Hebrew University of Jerusalem, Mount Scopus, Jerusalem, Israel.     

On the multiples of the adjoint divisor to an ample divisor on ad-fold

Summary LetX be a complex manifold of dimensiond≥3 andH an ample divisor onX. In this paper the global sections of the sheafA _X(n(K _X +(d-2)H)) are studied whenn∈Z, this generalizing a result by A. J. Sommese.

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Riassunto SiaX una varietà complessa di dimensioned≥3 eH un divisore ampio suX. In questo articolo vengono studiate le sezioni globali del fascioA _X(n(K _X +(d-2)H)), doven∈Z. Cià permette di generalizzare un risultato di A. J. Sommese.

     

Su alcune proprietà di geometria euclidea ed hermitiana in uno spazio vettoriale quaternionale

Riassunto Identificati, in modo opportuno, gli spazi vettoriali Qⁿ ed R⁴ⁿ, si esaminano varie proprietà che intercorrono tra la metrica hermitiana di Qⁿ e la metrica euclidea di R⁴ⁿ. Si definisce poi, per ogni sottospazio E_t di E _4n (t =1, 2, 3, 4) una nozione di deviazione caratteristica assoluta che estende l'analoga nozione nota nel caso di cⁿ. Si riescono così a caratterizzare i sottospazi E_t pseudocaratteristici (cioè contenuti in un E₄ che si identifica ad una retta di Qⁿ), ed i sottospazi E_t a prodotto hermitiano reale. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di Ricerca del Comitato per la Matematica del C. N. R. per l'anno accademico 1964–65.     

Su certi ideali massimali degli anelli di polinomi

Riassunto In questo lavoro vengono date alcune caratterizzazioni e condizioni di esistenza degli ideali massimali di altezza 1 degli anelli di polinomi. Uno dei risultati ottenuti è il seguente: seA è un anello noetheriano,f è un elemento massimale diA[X], allora l'ideale(f)∩A è una componente primaria isolata di (0).

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Summary Some characterizations and existence conditions are given for maximal ideals of height 1 in polynomial rings. We note the following result: ifA is a noetherian ring,f is a polynomial such that (f) is a maximal ideal inA[X], then(f)∩A is a minimal prime which occurs in the primary decomposition of (0).

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Durante quasi tutto il periodo di preparazione del presente lavoro, l'Autore ha usufruito di una botsa per laureandi del C.N.R.     

Sur le problème de la correspondance par parallélisme entre les variétés réglées dansS n

Sunto In una serie di lavori anteriori propri l' A. ha studiato le ipersuperficie rigate dello S₄ e S₅ ed ha stabilito tra l'altro delle corrispondenze per parallelismo tra vari tipi di varietà rigate di tali spazi [9] – [14]. Il presente lavoro si riferisce alle varietà rigate dello S_n ed è suddiviso in due parti. Nella prima, si da una classificazione affine delle ipersuperficie rigate nello S_n, necessaria per lo studio del problema della corrispondenza per parallelismo, mentre nella seconda si determinano alcune corrispondenze per parallelismo tra le varietà rigate di questo spazio.

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Hommage à Monsieur le ProfesseurEnrico Bompiani     

Sulla funzione di Hilbert di un sottoschema zero-dimensionale diP 3

Riassunto In questo lavoro diamo una caratterizzazione aritmetica della differenza prima ΔH(X,−) della funzione di Hilbert di un sottoschema chiuso 0-dimensionaleX diP ³. Il risultato principale viene applicato per dimostrare che seX è contenuto in una completa intersezione di tipo(a, b, c), a≦b≦c allora ΔH(X, n) è decrescente pern≧a+c−2.

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Summary In this paper we give an aritmetical characterization of the first difference ΔH(X,−) of the Hilbert function of a closed 0-dimensional subschemeX ofP ³. The main result is then applied to prove that ifX is contained in a complete intersection of type(a, b, c), a≦b≦c then ΔH(X, n) is decreasing forn≧a+c−2.

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Lavoro svolto con finanziamento MPI.     

A note on symbolic and ordinary powers of homogeneous ideals

In this note we are interested in the graded modulesM _k=I^(k)/I^k and , whereI is a saturated ideal in the homogeneous coordinate ringS=K[x₀,…,x_n] of ℙⁿ,I ^(k) is the symbolic power and is the saturation of the ordinary power. Very little is known about these modules, and we provide a bound on their diameters, we compute the Hilbert functions and we study some characteristic submodules in the special case ofn+1 general points in ℙⁿ.

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Sunto In questa nota siamo interessati ai moduli graduatiM _k=I(k)/I^k e , doveI è un ideale saturato nell'anello delle coordinate omogeneeS:=K[x₀,…,x_n] di ℙⁿ,I ^(k) è la potenza simbolica e è la saturazione della potenza ordinaria. Poco è noto su questi moduli e qui viene fornito un limite superiore ai loro diametri. Ne calcoliamo inoltre le funzioni di Hilbert e studiamo alcuni sottomoduli caratteristici nel caso speciale din+1 punti in posizione generale, in ℙⁿ.

     

Su alcuni problemi fortemente ben posti di controllo ottimo

Summary Let P_n be a sequence of optimal control problems with fixed end times (described by ordinary differential equations, with pointwise and norm (of controls) constraints, and with general functional). Let P₀ be an ? unperturbed ? problem (of the same type). In this paper theorems are obtained about the strong convergence (in some L^p) of optimal controls of P_n to some optimal control of P₀, about the uniform convergence x_n → x₀ of states, and the property thatmin P_n min P₀. As corollaries, convergence theorems for some calculus of variations problems can be derived. Weak convergence theorems of optimal controls of P_n to an optimal one of P₀ were considered in[7]. A general abstract theorem about strong convergence of minimum points, generalizing a result in[5], is proved.

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Indirizzo dell'autore: Istituto di Matematica, via L. B. Alberti 4 - 16132 Genova. Lavoro eseguito nell'ambito del Centro di Matematica e di Fisica Teorica del C.N.R. presso l'Università di Genova.

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Entrata in Redazione il 4 maggio 1972.     

Fundamental groups of branched covering spaces ofS 3

Summary Given a knotK⊂S ³, it is known a standard method for constructing a 4-coloured graph representing the closed orientable 3-manifoldM=M(K, d, ω) which is thed-fold covering space ofS ³ branched overK and associated to the transitived-representation ω of the knot group. In this paper we obtain a presentation of the fundamental group ofM, directly from the Wirtinger presentation of the knot group and from the transitived-representation ω.

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Riassunto Dato un nodoK⊂S ³, è noto un metodo standard per costruire un grafo 4-colorato rappresentante la 3-varietà chiusa ed orientabileM=M(K, d, ω) che è lo spazio di rivestimento diS ³ ramificato suK ed associato allad-rappresentazione transitiva ω del gruppo del nodo. In questo articolo si ottiene una presentazione del gruppo fondamentale diM, direttamente dalla presentazione di Wirtinger del gruppo del nodo e dallad-rappresentazione transitiva ω.

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Work performed under the auspicies of the G.N.S.A.G.A. of the C.N.R. (National Research Council of Italy) and financially supported by M.P.I. (project ?Geometria delle Varietà differenziabili?).     

Indecomposable finitely generated modules over valuation domains

Summary LetR be a valuation domain,S a maximal immediate extension ofR. We introduce the definition of unitary independence. We use units ofS, which are unitarily independent over an ideal ofR, to construct indecomposable finitely generatedR-modules with Goldie dimension greater than one. We prove that, ifR is archimedean, the endomorphism ring of an indecomposable finitely generatedR-module is local. On the other hand, we prove that, ifR is a suitable non archimedean valuation domain, there exist indecomposable finitely generatedR-modulesM such that End (M) is not local.

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Riassunto SiaR un dominio di valutazione,S un'estensione massimale immediate diR. Si introduce la definizione di indipendenza unitaria. Si usano unità diS unitariamente indipendenti su un ideale diR per costruireR-moduli finitamente generati indecomponibili con dimensione di Goldie maggiore di uno. Si dimostra che, seR è archimedeo, l'anello degli endomorfismi di unR-modulo finitamente generato indecomponibile è locale. Si prova altresì che, seR è un opportuno dominio di valutazione non archimedeo, esistonoR-moduliM finitamente generati indecomponibili, tali che End (M) non è locale.

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNSAGA.     

The density of rational points on non-singular hypersurfaces

LetF(x) =F[x₁,…,x_n]∈ℤ[x₁,…,x_n] be a non-singular form of degree d≥2, and letN(F, X)=#{xεℤ ⁿ ;F(x)=0, |x|⩽X}, where . It was shown by Fujiwara [4] [Upper bounds for the number of lattice points on hypersurfaces,Number theory and combinatorics, Japan, 1984, (World Scientific Publishing Co., Singapore, 1985)] thatN(F, X)≪X ^n−2+2/n for any fixed formF. It is shown here that the exponent may be reduced ton - 2 + 2/(n + 1), forn ≥ 4, and ton - 3 + 15/(n + 5) forn ≥ 8 andd ≥ 3. It is conjectured that the exponentn - 2 + ε is admissable as soon asn ≥ 3. Thus the conjecture is established forn ≥ 10. The proof uses Deligne’s bounds for exponential sums and for the number of points on hypersurfaces over finite fields. However a composite modulus is used so that one can apply the ‘q-analogue’ of van der Corput’s AB process. Dedicated to the memory of Professor K G Ramanathan