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20 0 1年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 4 1 锐角三角形ABC中有内接△DEF ,且FD⊥BC于D ,DE ⊥AC于E ,EF ⊥AB于F ,求证 :S△ABC ≥ 3S△DEF.(武汉华中理工大学西十四舍 5号 黄元兵 43 0 0 74)证 △ABC三边分别与△DEF三边垂直 ,又△ABC为锐角三角形 ,有∠A =∠DEF ,∠B =∠EFD ,∠C =∠FDE即有△ABC ∽△DEF .又公比q=BCDF =BDDF CDDF=cotB DEDFsinC=cotB sinBsinAsinC =cotB sin(A C)sinAsinC=… 相似文献
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1999年全国高中数学联赛加试第一题 :在四边形ABCD中 ,对角线AC平分∠BAD ,在CD上取一点E ,BE与AC交于F ,延长DF交BC于G .求证 :∠GAC =∠EAC .证明 如图 1,连接BD交AC于O点 ,在△BCD中运用塞瓦定理BGGC&;#183;CEED&;#183;DOOB =1,∴ OBDO =BGGC&;#183;CEED.又∵ AO是△ABD中∠A的平分线 ,∴ ABAD =BODO =BGGC&;#183;CEED.图 1 图 2设∠GAC =α ,∠EAC =β ,则∠BAG =A2 -α ,∠DAE =A2 -β ,由相似三角形比的性质有 BGGC =ABsin( A2 -α)ACsinα , CEED =AC&;#183;sinβADsin( A2 -β),代入上式得到sin( A2 -α) &;#183;sinβ=sinα&;#183;sin( A2 -β) .按三角函数的差角公式展开即得sin(α -β) =0 ,其中α、β∈ ( 0 ,π2 ) ,∴ α=β ,即是 ∠GAC =∠EAC .它的空间形式如图 2 :在四面体ABCD中 ,∠BAC =∠DAC ,AO是△ABD中∠A的平分线 ,E是CD边上任一点 ,连结BE交... 相似文献
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1 △ABC的三边长分别为a ,b ,c ,b <c,AD是∠A的平分线 ,点D在边BC上 ,1)求在线段AB ,AC内分别存在点E ,F(不是顶点 )满足BE =CF和∠BDE =∠CDF的充要条件(用角A ,B ,C表示 ) ;图 1 题 1图2 )在点E和F存在的情况下 ,用a ,b ,c表示BE的长 .解 1)设∠FDC =∠EDB =α ,则在△DFC中 ,由正弦定理得CFsinα =CDsin∠DFC =CDsin(α +C) .即 CF =CDsinαsin(C +α) (1)在△DEB中 ,同理有 BE =DBsinαsin(B +α) (2 )由 (1) ,(2 )及BE … 相似文献
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文 [1]给出结论 :在正四棱锥中 ,设侧面与底面所成的二面角为α ,相邻两侧面所成的二面角为 β ,则cosβ =-cos2 α .图 1 (1)式证明用图事实上 ,由cosβ =-cos2 α可化为 2cos2 β2 - 1=-cos2 α ,所以 2cos2 β2 =sin2 α ,进而化为cos β2 =cos π4 sinα (1)证明 如图 1,正棱锥的高为PO ,PF为斜高 ,则∠PFO =α .设∠AEC为侧面PAB与侧面PBC所成的二面角 ,即∠AEC =β .由正棱锥的特性 ,OE平分∠AEC ,那么cos β2 =OEAE=12 PB·PO12 PB·AE=S△POBS△… 相似文献
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《中学生数学》2003,(11)
高一年级1 .在AB上取一点D ,使DB =CB ,设E为D关于AC的对称点 .连EA ,EB ,ED ,CD .易证△DCE为正三角形 .BE为DC的中垂线 ,AC为DE的中垂线 ,有 :∠EBA =4 0° =∠EAB ,EB =EA =AD =b -a .在△ABE中 ,cos∠AEB =2 (b-a) 2 -b22 (b -a) 2 ;在△ABC中 ,cos∠ABC =a2 +b2 -b22ab ;由cos∠AEB =-cos∠ABC ,得2 (b-a) 2 -b22 (b-a) 2 =- a2b.整理 ,得 a3+b3=3ab2 .2 .y=1 -sinxcosx1 +sinxcosx=212 sin2x + 1- 1 .∵ π… 相似文献
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涉及直角三角形一命题的面积证法 总被引:1,自引:1,他引:0
文[1]中给出了:命题 在Rt△ABC中,∠ACB为直角,CD⊥AB于D,△ADC和△CDB的内心分别为O1、O2,O1O2与CD交于K,则1BC+1AC=1CK.图1文[2]给出了上述命题的纯平几证法.但其证法需添作复杂的辅助线后,再构造相似三角形解题.尽管初中学生能够接受,但给问题增加了神秘感,其构图思路让学生难以捉摸.为此,现给出命题的一种面积证法,供读者参考.证明 如图1,设O1O2的双向延长线分别与AC、BC相交于M、N,又设∠ACD=α,则∠BCD=90°-α, sinα+cosα… 相似文献
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关于几何恒等式有好多 ,不胜枚举 .今介绍如下一个几何恒等式 ,并给出它的应用 .定理 1 设△ABC的三边a、b、c上的高分别为ha、hb、hc,P为△ABC内部的任意一点 ,过P向三边作垂线段PD =ra,PE=rb,PF =rc,若设△ABC、△DEF的面积为△与△′ ,则有 4△△′ =rarbhahb rbrchbhc rcrahcha. ( 1)证明 如图 1,因为PD⊥BC ,PE ⊥CA ,PF ⊥AB ,故 ∠A ∠EPF =π ,∠B ∠FPD =π ,∠C ∠DPE =π .由三角形的面积公式可得 △′ =S△EPF S△FPD … 相似文献
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A组一.选择题(每小题3分,共30分)1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,下列关系式中错误的是( ).A.b=c·cosB B.b=a·tgBC.a=c·sinA D.a=b·ctgB2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则cosA=( ).A.34 B.35 C.43 D.453.当锐角A>60°时,sinA的值( ).A.小于12 B.大于12C.小于32D.大于324.如果∠A为锐角,且cosA=35,那么( ).A.0°<∠A≤30° B.30°<∠A≤45°C.45°<∠A≤60° D.60°<∠A≤90°5.已和α… 相似文献
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1 问题的提出大家知道,当一个三面角的三个面角都固定时,则它们任意两个面的平面角的大小也就确定;它们之间一定存在着某种必然的内在联系;事实上,我们有如下的定理;图1BαC2θ1θOA定理 设O-ABC为一个三面角,∠AOB=φ,∠AOC=θ1,∠BOC=θ2,二面角A-OC-B的平面角为α,则有cosφ=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosα;略证:如图1,AC⊥OC,BC⊥OC,则∠ACB=α;令OA=a,OB=b;在Rt△ACO中,AC=asinθ1,OC=acosθ1;同理,B… 相似文献
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A组一.填空题:(每小题3分,共24分)1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,那么△ABC是三角形.2.如果等腰三角形的腰长为10cm,那么底边长的取值范围是.3.Rt△ABC的两锐角的平分线交成的角是.4.“对顶角相等”的逆命题是.5.在一个钝角三角形中,已知一个锐角等于30°,则另一个锐角x的取值范围是.6.在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠A=∠D,欲使△ABC≌△DEF,则根据边角边公理还需;根据角边角公理还需;根据角角边公理还需.7.如果等腰三角形两边长分别是8cm和13cm,那么它的周长为.8.在△ABC中,∠B=70°,AD是… 相似文献
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在三角形中,我们把角的顶点与其对边上一点的连线称作这个角的分角线.下面给出分角线长的一种公式.定理 如图1,D是△ABC的边BC上一点,设AB、AC分别为c、b,∠BAD=α,∠CAD=β,图1则 AD=bcsin(α+β)csinα+bsinβ.(1)当AD是∠A的平分线时, AD=2bccosA2b+c;(2)当AD是中线时, AD=bsin(α+β)2sinα=csin(α+β)2sinβ;(3)当AD是高线时, AD=ccosα=bcosβ=bcsinAa.(4)证明 在… 相似文献
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题目 AD为△ABC的高线 ,BD =a ,DC =b(a <b) ,将△ABC沿AD折叠成二面角B AD C ,其平面角为θ ,若cosθ =ab,则四面体A BCD的侧面ABC是 ( ) .(A)锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形 (D)由a、b的值确定错解 首先考察θ为直角时 ,DA ,DB ,DC两两垂直 ,易证△ABC的三个角均为锐角(可用公式cosθ =cosθ1 ·cosθ2 ) ,即△ABC为锐角三角形 .因cosθ =ab >0 ,θ为锐角 (上述情形可看作θ的一个极端状态 ) ,即二面角B AD C由直二面角连续折叠成了锐二面角 .… 相似文献
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20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1 三角形如图 1,△ABC中 ,O为外心 ,三条高AD、BE、CF交于点H ,直线ED和AB交于点M ,FD和AC交于点N .求证 :1)OB⊥DF ,OC⊥DE ;2 )OH⊥MN .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1 (直接法 ) 1)由题意知 ,A ,C ,D ,F四点共圆 ,∴∠BDF =∠BAC .又∵O为外心 ,∴∠BOC =2∠BAC ,∠OBC =∠OCB ,∴∠OBC =12 (180° -∠BOC)=90° -∠BAC .∴∠OBC +∠BDF =90°,∴OB⊥DF .同… 相似文献
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题 1 8 △ABC是以B为直角顶点的直角三角形 ,AB =1 ,BC =2 ,D为BC中点 .直线l过点A且垂直于平面ABC ,P是l上异于A的点 .1 )证明 ,P在l上运动时 ,恒有∠BPD<∠BAD ;2 )证明 ,P在l上运动时 ,∠CPD <∠CAD并不恒成立 ;图 1 题图3 )求∠CPD的最大值 .解 1 )由PA⊥面ABC和CB⊥AB ,知CB⊥PB ,于是有tg∠BPD=DBPB <DBAB=tg∠BAD ,而这两个角都是锐角 ,∴∠BPD <∠BAD .2 )∠CPD ,∠CAD也都是锐角 ,故∠CPD <∠CAD等价于cos∠CPD >cos∠CA… 相似文献
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★高一年级一、选择题1 .已知△ABC中 ,若sinA >sinB ,则必有 ( ) .(A)A >B (B)cosA >cosB(C)cosA <cosB (D)tanA >tanB或tanA <tanB2 .在△ABC中 ,∠A =60° ,AC =1 ,S△ABC =3 ,则a +b +csinA +sinB +sinC=( ) .(A) 3 3 (B) 2 3 93 (C) 2 633 (D) 3 923 .已知△ABC中的三边为a ,b ,c,且a -b =C·cosB-C·cosA ,则△ABC为 ( ) .(A)直角三角形 (B)等腰三角形(C)等腰直角三角形 (D)等腰或直角三… 相似文献
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四边形的余弦定理与六点问题 总被引:1,自引:0,他引:1
如图 1,在四边形ABCD中 ,设DA =a ,AB =b ,BC =c,CD =d ,∠DAB =α ,∠ABC =β ,则有图 1 四边形d2 =a2 b2 c2 - 2abcosα- 2bccosβ 2accos(α β) .这就是四边形的余弦定理 .证明很简单 ,把四边形ABCD放入直角坐标系 ,则有A( 0 ,0 ) ,B(b ,0 ) ,C (b ccos(π - β) ,csin(π - β) ) ,D( -acos(π -α) ,asin(π -α) ) .由此 ,并利用三角公式 ,容易得到结论 .具体推导见文 [1] .我们利用四边形余弦定理证明 :若平面上六点组成一凸六边形 ,最大边与最小边之… 相似文献
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文 [1]从三角形中的正、余弦定理的角度出发 ,将余弦定理a2 =b2 +c2 - 2bccosA和正弦定理 asinA= bsinB=csinC=2R结合得 :定理 1 在△ABC中 ,sin2 A =sin2 B +sin2 C -2sinBsinCcosA .并将其推广到广义三角形中 ,即得 :定理 1′ 若∠A +∠B +∠C =π ,则sin2 B +sin2 C - 2sinBsinCcosA =sin2 A .定理 1称为三角函数形式余弦定理 ,它揭示了三角形内角的关系 .定理 1′称为广义三角函数形式余弦定理 ,它揭示了广义三角形内角的关系 .在教学中 ,笔者曾对课… 相似文献