1999年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

一、选择题１．给定公比为ｑ（ｑ≠１）的等比数列｛ａｎ｝,设ｂ１＝ａ１＋ａ２＋ａ３,ｂ２＝ａ４＋ａ５＋ａ６,…,ｂｎ＝ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ,…,则数列｛ｂｎ｝（　　）．　（Ａ）是等差数列　　（Ｂ）是公比为ｑ的等比数列　（Ｃ）是公比为ｑ３的等比数列　（Ｄ）既非等差数列又非等比数列解　由题设,ａｎ＝ａ１ｑｎ－１,则　ｂｎ＋１ｂｎ＝ａ３ｎ＋１＋ａ３ｎ＋２＋ａ３ｎ＋３ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ＝ａ１ｑ３ｎ＋ａ１ｑ３ｎ＋１＋ａ１ｑ３ｎ＋２ａ１ｑ３ｎ－３＋ａ１ｑ３ｎ－２＋ａ１ｑ３ｎ－１＝ａ１ｑ３…     

2002年上海市高中数学竞赛试题

[说明]解答本试卷不得使用计算器一、填空题(本题10小题,每小题7分,共70分) 1.一个正三角形ABC内接于椭圆x2/9+y2/4=1,顶点A的坐标为(0,2),过顶点A的高在Y轴上,则此正三角形的边长为_____.     

1999年陕西省大学生高等数学竞赛试题

一、（本题10分）计算并说明理由．[答：至少需要用前三项]二（本题10分）用幂级数展开计算积分使其绝对误差不超过10-4,问至少需要用到级数的前几项？三（本题10分）计算=0处的连续性．五、（本题10分）求以（其中C1、C2为任意常数）为通解的微分方程．六（本题10分）两直线七、（不超10分）有二阶连续偏导数,且满足方程八、（本题10分）求任一点法线向量的方向余统,九、（本题10分）设函数f(x)在闭区间上具有二阶导数,且则在区间（a,b）内至少存在一点＋、（本题10分）给定面密度为1的平面薄板,求该薄板关于过D的重心和点（1,1）…     

2003年湖南省高中数学竞赛试题及参考答案

选择题 (共 6小题 ,每小题 6分 ,满分 36分 )1　设函数f(x) =logax (a >0 ,a≠ 1) ,若 f(x1x2…x2 0 0 3 ) =8,则 f(x21) + f(x22 ) +…f(x22 0 0 3 )的值等于 (　　 )(A) 4 .　 (B) 8.　 (C) 16 .　 (D) 2loga8.解　f(x21) + f(x22 ) +… + f(x22 0 0 3 ) =logax21+logax22 +… +logax2 0 0 32 =2 (logax1+logax2 +… +logax2 0 0 3 ) =2logax1x2 …x2 0 0 3 =2 f(x1x2 …x2 0 0 3 ) =16 .故选 (C) .2　如图 1,S ABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥 .O为底面ABC内一点 ,若∠OSA =α ,∠OSB =β ,∠OSC =γ ,则tanαtanβtanγ的取值…     

湖南省2002年高中数学竞赛试题及解答

一、选择题 (本大题共 6个小题 ,每小题 6分 ,满分 36分 )1.定义在实数集Ｒ上的函数 ｙ =ｆ(-ｘ)的反函数是 ｙ =ｆ- 1(-ｘ) ,则 (　　 )(Ａ) ｙ =ｆ(ｘ)是奇函数(Ｂ) ｙ =ｆ(ｘ)是偶函数 .(Ｃ) ｙ =ｆ(ｘ)既是奇函数 ,也是偶函数 .(Ｄ)ｙ =ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数 .解　由 ｙ =ｆ- 1(-ｘ)得 ｆ(ｙ) =-ｘ ,故 ｙ =- ｆ(ｘ) 是 ｙ =ｆ- 1(-ｘ)的反函数 ,即 - ｆ(ｘ) =ｆ(-ｘ) ,ｙ =ｆ(ｘ)是奇函数 ,选 (Ａ) .注　也可以先求得 ｙ =ｆ(-ｘ) 的反函数为 ｙ =-ｆ- 1(ｘ) .进而知ｙ =ｆ- 1(ｘ)是奇函数 ,故ｙ =ｆ(ｘ) 是奇函数 .图 1　…     

1990年苏州市高中数学竞赛试题与解答

.犷一护2 一、选择题: 1.如果12卜i,0是z的幅角,那么当:变化时,Z二:2 2沈050在复平面上对应点的轨迹是: (A)圆,(B)双曲线;(C)抛物线;(D)两条相交直线. 答(A)和c(x一g)关于s(x),c(x)、s(y)、e勿)的表达式分别为s(x一夕)=s(x)c(y)一c(x)s(y)e(x一y)=c(x)e(夕)一s(x)s(夕)X:a2动直线ux ,y 工=O截已知椭圆、=1于点尸、Q,已知点口为椭圆的 2.如图ABCD为空间四边形,G、E在BC上,F、H在AD上,图中异面直线共有:(A)7对;(丑)8对;B(C)9对,(D)10对.中心,艺P口Q二则:,十,“=丰90“,则 1宁几孟-.. b‘-EG 答(C) 3。不定方程Zx 3夕=。(n任N)的…     

2002年全国高中数学联合竞赛试题参考答案

一、选择题 (本题满分 36分 ,每小题 6分 )1.函数 f (x) =log12 (x2 - 2 x - 3)的单调递增区间是 (　　 ) .(A) (-∞ ,- 1)　　　 (B) (-∞ ,1)(C) (1, ∞ ) (D) (3, ∞ )解　由 x2 - 2 x - 3>0有 x <- 1或 x >3,故函数 log12 (x2 - 2 x - 3)的定义域为 x <- 1或 x >3.二次函数 u =x2 - 2 x - 3在 (-∞ ,- 1)内单调递减 ,在 (3, ∞ )内单调递增 .而 log12 u在(0 , ∞ )上单调递减 ,所以 log12 (x2 - 2 x - 3)在(-∞ ,- 1)单调递增 ,故选 (A) .2 .若实数 x,y满足 (x 5 ) 2 (y - 12 ) 2 =142 ,则 x2 y2 的最小值为 (　　 ) .(A) 2　 …     

1999年全国初中数学竞赛试题及解答

选择题１．一个凸ｎ边形的内角和小于１９９９°,那么ｎ的最大值是（）．（Ａ）１１（Ｂ）１２（Ｃ）１３（Ｄ）１４解因为凸ｎ边形的内角和为（ｎ－２）１８０°,所以（ｎ－２）１８０°＜１９９９°,ｎ－２＜１２,ｎ＜１４．又凸１３边形的内角和为（１３－２）×１...     

1992年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

第一试 全:‘从而‘一三啥-簇东(l) 一、通择理(本题满分30分,每小题5分) 1.对于每个自然数二,抛物线,=(砂+二)x2一(2:+1):+1与二轴文于A.、B.两点,以}儿B.l表示该两点的距离,则}月、B,}+}滩2刀:!+…+}月1.92刀,。。:}的值是 特别地,当四面体为正四面体时.(1)中的等号成立,从而否定(B). 考察侧面与底面所成的二面角的平面角均等于刁5o的任一个正三棱锥,以S。表示该正三棱锥的底面愁八j一Q山99一99 、,产 D 了吸、‘A,器(B)器(e)器答(B)(甘肃供题)解,.’r=(。一z)[(二+1)x一l].当,=。时,求得::一上,:2一了共. 兀殆~尸1.’.队氏l~止一招…     

1996年全国高中数学联合竞赛试题及解答

１９９６年全国高中数学联合竞赛试题及解答第一试一、选择题（本题满分３６分，每题６分）本题共有６个小题，每小题给出了（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）、（Ｄ）四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母填入题后的圆括孤内．每小题选对得６分；不选、选错或选...     

2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

若P1，P，P2三点共线，则P叫有向线段→P2P2的定比分点，且把满足→P1P=λ叫P分有向线段→P1P2所成的比。     

2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

选择题(本题满分36分,每小题6分)1.设全集是实数集,若A={x|x-2≤0},B={x|10x2-2=10x},则A∩B是(　　).　(A){2}　(B){-1}　(C){x|x≤2}　(D)解　由x-2≤0得x=2,故A={2};由10x2-2=10x得x2-x-2=0,故B={-1,2}.所以A∩B=.故选(D).2.设sinα&;gt;0,cosα&;lt;0,且sinα3&;gt;cosα3,则α3的取值范围是(　　).　(A)(2kπ+π6,2kπ+π3),k∈Z　(B)(2kπ3+π6,2kπ3+π3),k∈Z　(C)(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z　(D)(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z解　由2kπ+π2&;lt;α&;lt;2kπ+π得2kπ3+π6&;lt;α3&;lt;2kπ3+π3,k∈Z.又　sinα3&;gt;cosα3,所以又有2kπ+π4&;lt;α3&;lt;2kπ+5π4,k∈Z.此两式的公共部分为(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z.故选(D).3.已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是(　　).(A...     

一九八六年上海市高中数学竞赛初、决赛试题

初赛试题2986年5月21日上午8:30一10:50 一,选择题(本题满分60分,共15个小题。每小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的圆括号内.选对得4分,选谱、多选得O分,不选得1分。) 1.三角形的三条边长均为正整数,其中有一条边长为4,但它不是最短的边,这样不同的三角形共有r).(A)6个,(B)7个;(C)8个;(D)9个. 2.若a、刀〔(o,二/2),则必有(). (A)eos(a+刀)>。o:a+。o:刀; (B)eo:(a+刀):1 oa+:‘n刀。 3.在轴截面顶角为立角的圆锥内作…     

一九八七年全国高中数学联合竞赛试题及解答

(第一试) 一、选择题(挤净个小题,选又寸下浮5分;不选得l分;选错或选老1;的代号超过个石,·律得()分.本题满分2()分) ,.对f卜息给定自勺自然数,,,若,,‘’十名‘:为d几整数的认方,It,},‘才为注寸产去交,则() (A),左样f一勺‘,了J气方多个. (B)这样的汀r了,_,}日只有有限个. ((’、J主个丫的1·了川‘{. (I))以卜{A)、(l今;、(’、的结i七占”小正确. 门几海供题) 答:戈,\).:货,,6+:;‘矛~(,,一’+,‘,,,;‘,。,〔N,则a一3,,‘,z’+!,,,,,,一’一+f少,,,‘,),示以了A),I确. 2.‘边长为5的菱形,‘已的条对角线的长不大f6,另一条咋、小J…     

2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.已知a,b是方程log3x3 log27(3x)=-34的两个根,则a b=()A.2170B.841C.8110D.82182.设D为△ABC的边AB上一点,P为△ABC内一点,且满足AD=43AB,AP=AD 25BC,则SS△△AAPBDC=()A.130B.52C.175D.1853.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,2π)时,f(x)=sinx,则f(83π)的值为()A.23B.-23C.21D.-214.已知ABCD-A1B1C1D1是一个棱长为1的正方体,O1是底面A1B1C1D1的中心,M是棱BB1上的点,且S△DBM∶S△O1B1M=2∶3,则四面体O1ADM的体积为()A.274B…     

1998年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．若a＞1，b＞l，且ig（a＋b）一lga＋lgb，则ig（a—1）十ig（b—l）的值（）．（A）等于lgZ（B）等于1（C）等于0（D）不是与a，b无关的常数解’．“ig（a＋b）一lga＋lgb，a＋b—ah即（a—1）（b—1）＝1．因此ig（a—1）十ig（b—1）一0．答：（C）．2．若非空集合A一｛Xlb十互＜X＜u一引，B一《X口＜X＜22），则能使A二AnB成立的所有a的集合是（）．（A）（aDI＜a＜9｝（B）（】6＜a＜9）（C川ala＜9｝（D）o解由题意得AMB，答：（B）．3．各项均为实数的等比数列K）前n项之和记为S…     

1994年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

第一试 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.设a、b、c是实数,那么对任何实数x,不等式 asinx bcosx c>0 都成立的充分必要条件是     

2004年全国高中数学联合竞赛加试试题及参考答案

试题一、(本题满分50分)在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与