斐波那契数列及其性质

本文以斐波那契数列的通项公式为基础,给出这个数列的几个性质并予以证明.     

斐波那契数列的通项

大家都知道斐波那契（Fibonacci Number）关于兔子繁殖的故事．兔子每月的数量依次为一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377…,设这个数列记为{Fn}：F1,F2,F3,F4,…,Fn,…,易知,F1=F2=1,从第3项起每一项都等于它的前两项的和,     

“魔八方”与斐波那契数列的联系

杨老师在选修课《数学与生活》上耍了一个名叫“魔八方”的魔术 :把 8× 8的小方格纸板按图 1那样剪成四块 ,再把这四块纸板按图 2那样拼成一个5× 13的小方格长方形 .真奇怪 !怎么面积由原来的 64变成了 65呢 ?　图 1　 8× 8方格　　　　　图 2　拼全后的长方形剪成四块这个魔术非常有趣 ,杨老师让我们认真研究 .下面我们来揭示这个魔术 .按图 2那样建立坐标系 ,则Ｏ ( 0 ,0 ) ,Ａ( 5 ,2 ) ,Ｂ( 8,3 ) ,显ｋＯＡ =25 >ｋＯＢ=38.可见边线ＯＡ ,ＯＢ不会重合 ,存在空隙 .通过这个魔术 ,我们想 :边长ｎ取哪些整数时 ,可以构造“魔八方”魔术…     

斐波那契数列与黄金分割数

对任何固定步长k(≥1),斐波那契数列中相距k项的元形成的子列的前后项之比形成的数列收敛,其极限仅与步长k有关。     

斐波那契数列与正方形分割

对斐波那契数列的一个性质"中间项的平方与前后项之积的差的绝对值为1"进行了证明,并结合一道初中题目的面积问题,从几何角度进行了解释.     

卢卡斯数列和斐波那契数列关系性质新解

本文探讨通项公式非常相似的斐波那契数列{F_n}和卢卡斯数列{L_n}之间新的关系、性质和变化趋势.发现任何一个卢卡斯数L_n均可表达成两个斐波那契数F_(n+1),F_(n-1)之和,而两个卢卡斯数L_(n+1),L_(n-1)之和却等于5F_n;在讨论{F_n}和{L_n}前后比值数列{a_n/a_(n+1)}趋近于黄金数时,发现{a_n/a_(n+1)}的奇偶子列具有严格单调性和有界性;最后给出下一步关于{F_n}和{L_n}的研究思路.     

也谈斐波那契数列

看了数学通报2004年第3期叶运佳先生“斐数列{Fn}浅探”一文,颇受启发.但与此同时,又有意犹未尽的感觉.本文介绍斐波那契数列和其他知识的联系.首先,除了传统的利用特征方程求其通解的方法以外,我们还可以使用矩阵的办法.具体如下:由Fn 1=Fn Fn-1,Fn=Fn,得下面矩阵表示Fn 1Fn=1     

斐波那契数列在解题中的应用

在《数学通讯》2008年组编的增刊《高中数学竞赛专辑》P124第8题中,其解答构造数列求解,学生不易想到,由于其递推关系可用特征根方程求通项。但通项较复杂,不易得结论．笔者在推导过程中发现递推关系中的系数满足斐波那契数列性质．对此题进行了研究,下面便是推导过程．     

浅谈黄金分割和斐波那契数列

黄金分割和斐波那契数列有着悠久的历史和广泛的应用,很久以来就是初等数学研究,的对象,本文就对这两个著名问题的产生、发展以及若干性质,特别是对两者之间的关系作简单论述。     

洛书与斐波那契数列的关系

中国的洛书与意大利的斐波那契(Fibonacci)数列是数学上的两件珍宝.     

广义斐波那契数列

讨论广义斐波那契波数列的定义及其通项表达式,由此可以简单地求出斐波那契数列的通项;同时,讨论广义斐波那契数列的一些应用.     

斐波那契数列研究性学习一例

新教材数学第五册P32阅读材料介绍了斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…．     

斐波那契数列通项公式的求法

分别运用常用求数列通项的方法．子空间理论,矩阵理论,函数方程理论．均可求出斐波那契数列的通项公式．     

“魔八方”与斐波那契数列的联系

杨老师在选修课《数学与生活》上耍了一个名叫“魔八方”的魔术 :把 8× 8的小方格纸板按图 ( 1 )那样剪成四块 ,再把这四块纸板按图 ( 2 )那样拼成一个5× 1 3的小方格长方形 .真奇怪 !怎么面积由原来的 64变成了 65呢 ?这个魔术非常有趣 ,杨老师让我们认真研究 .下面我们来揭示这个魔术 .按图 ( 2 )那样建立坐标系 ,则 O( 0 ,0 ) ,A( 5,2 ) ,B( 8,3) ,显然 KOA=25>KOB=38.可见边线OA,OB不会重合 ,存在空隙 .通过这个魔术 ,我们想 :边长 n取哪些整数时 ,可以构造“魔八方”魔术呢 ?即可以把 n× n的小方格正方形变为一个面积为 n2 …     

对数螺线、黄金分割与斐波那契数列的完美统一的

本文对对数螺线、黄金分割与斐波那契数列之间的关系进行研究,把线段上黄金分割点的定义推广到射线上的黄金分割点列,发现过极轴上任意一点有且仅有一条特殊的对数螺线与极轴的交点所成的点列为黄金分割点列,并把这个点列所对应的坐标定义为黄金分割数列,我们发现首项为1/√15黄金分割数列无限逼近于斐波那契数列。     

数学问题1882引发的斐波那契数列的一对优美性质

《数学通报》2010年11月号问题1882:在数列{an}中,a1=1,a2=4,当n≥3时,总有an=7an-1-an-2-2.求证:当n∈N*时,an均为平方数.     

费波那契数列在珠算教学中的应用

费渡那契,(Fibonacci)数列是13世纪意大利的名数学家费波那契所发明的一种无穷数列．与黄金分割率有莫大的关系,在此我仅就费渡那契数列的基本演算及其在珠算教学中的应用加以论述。     

关于一类高次方程实根的一个猜想与证明

《数学通报》１９９７年７月号问题第１０８３题“试求方程ｘ８＝２１ｘ＋１３的二个实根”,供题作者的解答是先令ｔ是二次方程ｘ２－ｘ－１＝０的任一实根,然后证明ｔ就是方程ｘ８＝２１ｘ＋１３的实根,故ｔ＝（１±５）／２就是方程的两个实根,再说明方程ｘ８＝２１ｘ＋１３只有两个实根,解答正确巧妙;笔者感兴趣的问题是：这一类形如“ｘｎ＝Ａｘ＋Ｂ（ｎ∈Ｎ,ｎ≥２）”的高次方程均有实根ｘ＝（１±５）／２,其一次项系数与常数项有何规律？请看下面的探索、归纳、猜想与证明;１　探索将方程ｘ８＝２１ｘ＋１３　变形为ｘ８－…