争鸣

问　题问题 2 5　 在高中新教材《数学》第一册 (下 )中 ,第 95页有“平行向量也叫共线向量” .这样 ,对向量ｂ与非零向量ａ共线 (或平行 )的充要条件有两处 :见 1 0 4页用到“有且只有一个实数λ” ,而第 1 1 1页用到“存在一个实数λ” .我们的问题是 :为什用两种逻辑意义的语句叙述 ,可否统一为“有且只有一个实数λ” ?问题 2 6　 判断命题“若ａ∥ｂ ,则ａ与ｂ的方向相同或相反”的真假 .观点一 :　当ａ∥ｂ时 ,ａ与ｂ的方向相同或相反 ,否则 ,ａ与ｂ不平行 ,故此命题为真 .观点二 :　由于规定了 0与任一向量平行 ,故 0的方向是任意的 …     

向量问题中的待定系数法

中学数学中有一重要解题方法———待定系数法 ,在新教材平面向量问题中也有着广泛的应用 ,下面举例说明 .例 1　向量ａ→ =(1 ,1 ) ,且ａ→ 与ａ→ 2ｂ→ 的方向相同 ,求ａ→·ｂ→ 的取值范围 .解　由已知 ,向量ａ→ =(1 ,1 )为确定的向量 ,向量ｂ→ 为可变向量 ,但满足“ａ→ 与ａ→ 2ｂ→ 的方向相同”的条件 ,只须设ａ→ 2ｂ→ =λａ→ ,其中λ >0 .把ａ→·ｂ→ 表示成λ的式子 ,再由λ >0确定其范围 .解　∵ａ→ 与ａ→ 2ｂ→ 的方向相同 ,且ａ→ ≠ 0 → ,∴设ａ→ 2ｂ→ =λａ→ ,其中λ >0 ,则ｂ→ =λ - 12 ａ→ .∴ａ→·…     

学习向量,认识向量解题应用

数学兴趣小组关于“学习向量 ,认识向量解题应用”的交流讨论会 ,在有声有色地举行 .师　两周前 ,我们布置了一道开放型的作业 :从《中学生数学》杂志去寻找向量解题应用的足迹 ,并和原来的解证方法作一番比较 .交流讨论现在开始 ,请大家献策献计 ,选择精华 ,进行交流 .生1　我惊喜地发现构造向量 ,可以巧妙地解决一系列代数、三角、几何问题 ,尤其是 :证明等式、解方程、推导公式、证明不等式、求函数最值诸方面 .1 .构造向量 ,证明等式例 1　若ａ ,ｂ∈Ｒ ,且ａ 1 -ｂ2 +ｂ 1 -ａ2 =1 ,求证 :ａ2 +ｂ2 =1 .(《中学生数学》2 0 0 1 ( 9上 )…     

向量共线和不共线

预备知识 :方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 .规定 0 → 与任一向量平行 .任一组平行向量都可移到同一条直线上 ,因此平行向量也叫做共线向量 .由预备知识易证定理 1.定理 1　一组平行向量共线 ,0→ 与任一向量共线 .定理 2　向量ｂ→ 与非零向量ａ→ 共线的充要条件是有且只有一个实数λ ,使得ｂ→ =λａ→ .(参见新教材高一《数学》第一册下第 10 4页 )定理 3　ａ→ ,ｂ→ 具备下列情况中的任何一种情况 ,都可以说ａ→ ,ｂ→ 共线 .1)ａ→ ,ｂ→ 中至少有一个为 0 → ;2 )ａ→ ,ｂ→ 都不为 0 → ,存在一个实数λ ,使得ｂ→=λａ→ …     

不等式a^3＋b^3＋c^3≥3abc的新证法

对于三元基本不等式“若ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ+,则ａ3+ｂ3+ｃ3≥ 3ａｂｃ” ,老教材是利用因式分解的办法 ,将ａ3+ｂ3+ｃ3- 3ａｂｃ化为12 (ａ +ｂ +ｃ) [(ａ -ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ｃ -ａ) 2 ]后 ,再判断其值的正负而获证的 ,新教材是利用构造的办法 ,联想构造不等式“若ａ ,ｂ∈Ｒ+,则ａ3+ｂ3≥ａ2 ｂ +ａｂ2 ” ,后利用二元基本不等式“若ａ ,ｂ∈Ｒ+,则ａ +ｂ≥ 2ａｂ”而证得的 .显然老教材中的证明对因式分解要求较高 ,学生较难掌握 ,故老教材中的证明被新教材中的证明取而代之了 ,但新教材中的构造证法技巧性亦较强 ,且构造的是一个一般性…     

IMO42-2的推广的简证

第 42届 (2 0 0 1年 )国际数学奥林匹克试题第2题是 :对所有正实数ａ ,ｂ ,ｃ,证明 :ａａ2 +8ｂｃ+ｂｂ2 +8ｃａ+ｃｃ2 +8ａｂ ≥ 1 (1 )这个形式优美的不等式 ,看似简单 ,实则不易 ,文 [1 ]提供了一种反证法证明 .文 [2 ]、[3 ]则通过换元后 ,采用分析与综合相结合的证法 ,文[4]、[5 ]则给出了一种很简洁的叠加法证明 ,文[6 ]则采用文 [2 ]、[3 ]的方法 ,将 (1 )式推广为 :若ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+,λ≥ 8,则ａａ2 +λｂｃ+ｂｂ2 +λｃａ+ｃｃ2 +λａｂ≥ 31 +λ (2 )文 [4]、[5 ]为证 (1 )式 ,先证明ａａ2 +8ｂｃ ≥ ａ43ａ43 +ｂ43 +ｃ43(3 )(3…     

小心“不等于零”的规定

初中数学中的定义有许多“不等于零”的规定 ,应予以强调和重视 .一、一元一次方程中的一次项系数“不等于零”要使一元一次方程的定义和它有唯一解的条件成立 ,教材将一元一次方程的标准形式ａｘ +ｂ =0和最简形式ａｘ =ｂ中的ａ规定不等于 0 .例 1　若方程 ｘ -ｂａ =2 -ｘ -ａｂ 有唯一解 ,则字母ａ、ｂ之间的关系式是 .(代数第二册第 90页例 2的变形 )分析　方程可化为 (ａ +ｂ)ｘ =(ａ +ｂ) 2 ,要使一元一次方程有唯一解只需ａ +ｂ≠ 0 ,即ａ≠ -ｂ .二、同底数幂相除时 ,底数“不等于零”在同底数幂的除法中 ,为了确保零指数幂 ,负整…     

构造向量,巧证不等式

现行新教材 (试验修订本必修 )中新增加的平面向量 ,具有代数形式和几何直观的双重身份 .向量引入中学课本 ,大大拓宽了解题的思路与方法 ,本文举例说明如何构造向量 ,利用其性质证明不等式 .1　应用 | ｐ| - | ｑ| ≤ ｐ± ｑ ≤ ｐ + ｑ公式 | ｐ| - | ｑ| ≤ ｐ± ｑ ≤ ｐ + ｑ 中等号在向量 ｐ , ｑ共线时才可能成立 .例 1　设ａ ,ｂ为不相等的实数 ,ｆ (ｘ) =1+ｘ2 ,求证 :ｆ(ａ) - ｆ(ｂ) <ａ -ｂ ,ａ +ｂ >ｆ(ａ) + ｆ(ｂ) .分析 :构造向量 ｐ =(1,ａ) , ｑ =(1,ｂ) ,ａ ,ｂ为不相等的实数 ,因此向量 ｐ , ｑ不共线 …     

谈提高解题能力

常常听到许多同学埋怨 :别人做题总是那么快 ,而我却总是这么慢 .我认为这是学习方法不对头的缘故 .我建议同学们平时注意一题多解 ,按题目的内容、类型、解决方法三部分作专题总结 ,并熟悉一些“小结论” ,掌握一些解题技巧 .最好再看一些课外书 ,如《中学生数学》、《中学生数理化》等杂志 .下面仅从一题谈起“小结论”的应用 .已知ａ ,ｂ ,ｃ,ｄ∈Ｒ+ ,其中ａ最大 ,且满足ａ +ｄ =ｂ +ｃ ,求证 :ｂｃ >ａｄ .证明　设ａ +ｄ =ｂ +ｃ=ｅ ,则ｂｃ >ａｄ ｂ(ｅ -ｂ) >ａ(ｅ -ａ) ａ2 -ｂ2 >ｅ(ａ -ｂ) (ａ -ｂ) (ａ +ｂ -ｅ) >0①∵　…     

一道课本例题的开放式教学初探

教材中的例题大都是具有完备的条件和固定的结论的封闭题 ,基本上是为了使学生巩固所学知识 ,引起认知结构的同化而设计的 .为了使数学教学更多地体现探究精神 ,在教学过程中适当地进行开放式教学是有必要的 ,下面是一道封闭型例题变为开放型题目的教学设计 .题目　已知 ｜ａ｜ <1 ,｜ｂ｜<1 ,求证ａ ｂ1 ａｂ <1 (高级中学教科书第 2 7页例 3) (证明略 )隐去封闭题的条件 ,给出其结论 ,探求结论成立的条件 ,是开放性教学设计的一种常用方法变题 1　若 ｜ａ｜<1 ,是否存在整数ｂ ,使ａ ｂ1 ａｂ <1成立 .若存在 ,求出ｂ的值 (或范围 ) ;…     

平面向量学习中应注意几个问题

人教社出版的高中数学第一册 (下 )第五章《平面向量》对初学者来说 ,容易与学过的数的性质及平面几何知识产生混淆 .为了避免错误出现 ,笔者认为同学们在学习时应注意以下几个问题 .1　“实数ａ ,ｂ ,ｃ ,且ａｂ =ａｃ,ａ≠ 0推出ｂ =ｃ”这一性质在向量的乘法运算“·”中不成立例 1　举例说明“ａ→·ｂ→ =ａ→·ｃ→ 且ａ→ ≠ 0 → ,则ｂ→ =ｃ→”不真 .解　取 |ａ→| =1,|ｂ→| =22 ,ａ→ 与ｂ→ 的夹角为 4 5° ,|ｃ→| =12 ,ａ→ 与ｃ→ 的夹角为 0° .显然ａ→·ｂ→ =ａ→·ｃ→ =12 ,但ｂ→ ≠ｃ→ .2　实数乘法中 ,“如果ａｂ…     

一类分式不等式的统一证法

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（ａ、ｂ∈Ｒ）及其变形的应用已被人们广泛研究，笔者在教学中发现：如用ａｂ、ｂλ分别代替ａ、ｂ得一含参数的不等式ａ２ｂ≥２ａλ－ｂλ２　（ｂ＞０，λ＞０，ａ∈Ｒ）（）利用（）可得一类分式不等式的统一证法：首先对要证的不等式进行适当变形，然后通过待定系数法求出λ，即得要证的不等式．这种证明方法具有思路单一，操作方便，学生易接受的特点．现以竞赛题、征解题为例进行说明．例１　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋，试证：ａ２ａ＋ｂ＋ｂ２ｂ＋ｃ＋ｃ２ａ＋ｃ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（《数学通报》１９９５年第…     

例说平面向量数量积的应用

平面向量数量积是平面向量的重点内容 ,它以独特的运算方式将两个向量的长度和夹角有机地联系在一起 ,为许多数学问题的解决提供了强有力的工具 .1　用于等式的证明例 1　已知ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =1,求证 :ａ2 +ｂ2 =1.证明　设ｍ =(ａ ,1-ａ2 ) ,ｎ =(1-ｂ2 ,ｂ) ,向量ｍ与ｎ的夹角为 φ ,则ｍ·ｎ =ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =|ｍ| |ｎ|ｃｏｓφ=1.∵ |ｍ| =|ｎ| =1,∴ｃｏｓφ =1,φ =0° .∴ｍ =ｎ ,即 ａ =1-ｂ2 ,ｂ =1-ａ2 .两式平方相加 ,得ａ2 +ｂ2 =1.例 2　设α ,β∈Ｒ+,求证 :ｃｏｓ(α - β) =ｃｏｓαｃｏｓβ+ｓｉｎαｓｉｎβ .图…     

利用向量证明不等式

平面向量与不等式分别是高中新教材第五、六章内容 .如果我们认真分析不等式的结构特征 ,类比向量相关知识 ,可以建立向量结构 ,用向量方法简捷证明不等式 .例 1　求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .分析　若 (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 )≠ 0 ,原不等式可变形为 ａｃ +ｂｄａ2 +ｂ2 ·ｃ2 +ｄ2 ≤ 1 .这种结构提示我们构造向量 ,利用两非零向量ａ—→、ｂ—→的夹角公式ｃｏｓθ =ａ—→·ｂ—→|ａ—→|·|ｂ—→| 求证 .证明设向量ＯＡ———→ =(ａ ,ｂ) ,　ＯＢ———→ =(ｃ,ｄ) .图 1( 1 )当 (ａ2 +ｂ2 )·(ｃ2 +ｄ2 ) =0…     

悖论与分式方程

数学上有一个著名的“2 =1悖论” .通过证明得出 2 =1的结论 .具体过程如下 :证明　设ａ =ｂ ,则ａ2 =ａｂ .ａ2 -ｂ2 =ａｂ -ｂ2 .(ａ +ｂ) (ａ -ｂ) =ｂ(ａ -ｂ) ,ａ +ｂ =ｂ ,ｂ +ｂ =ｂ ,2ｂ =ｂ ,2 =1.这个看似天衣无缝的证明 ,其实并不严密 .第 4步 (ａ +ｂ) (ａ -ｂ) =ｂ(ａ -ｂ)到第 5步ａ +ｂ =ｂ ,是两边同时除以 (ａ -ｂ) ,但我们假设ａ =ｂ ,所以ａ -ｂ =0 ,因此我们是在两边同时除以 0 ,于是出现了悖论 .利用这个悖论可以很好地说明分式方程增根的问题 .为了明晰起见 ,将这几步重新书写于下 ,并添补上最关键的一步 .(ａ +ｂ) (…     

注重结构分析,合理选择思路——兼谈不等式的证明

在“不等式”一章里 ,“不等式的证明”是重点内容 .由于其证明的方法较多 ,变换又较灵活 ,因此 ,使得不等式的证明这一问题 ,无疑成为同学们学习的难点 .但如果我们能注意从待证不等式的结构入手 ,多角度对不等式结构进行观察剖析 ,将有益于我们合理地选择思路 ,减少解题的盲目性 .下面举几个例子进行分析、说明 .例 1　ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,求证 :1) ｂｃａ ａｃｂ ａｂｃ ≥ａ ｂ ｃ ;2 ) ｂ2ａ ｃ2ｂ ａ2ｃ≥ａ ｂ ｃ .分析 :1)的结构 :仅左边有分母 ,且左边的结构特征为任两项隐含倒数关系 ,如 ｂｃａ ａｃｂ =ｃ(ｂａ ａｂ) ,用…     

一题多解,其乐无穷

想必细心的同学都会有这样一个体会 :在解数学题时 ,有些看似“高不可攀”的题目 ,若能打破常规 ,不拘泥于题目表面所展现的知识点 ,如用解析法证代数题 ,用三角代换解不等式题 ,或用函数的观点分析几何题 ,甚至多种数学方法交叉使用 ,都有可能收到意想不到的效果 ,给人“柳暗花明又一村”之感 .从而使你领略到数学的无穷乐趣 ,并因此增长你学习数学的兴趣 .兹举一例 ,以说明这一点 .例　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,求证 :ａ2 ｂ2 ａｂ ｂ2 ｃ2 ｂｃ ａ2 ｃ2 ａｃ≥ 3(ａ ｂ ｃ) .分析 :本题所考察的是不等式的证明问题 ,确定了考察范…     

巧用共焦点的有心圆锥曲线系方程解题

与椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1共焦点的圆锥曲线系方程为　　　　　　　　 ｘ2ａ2 -λ+ ｙ2ｂ2 -λ=1( )其中ａ >ｂ >0 ,λ <ａ2 ,且λ≠ｂ2 .当λ <ｂ2 时 ,方程 ( )表示椭圆 ;当ｂ2 <λ <ａ2时 ,方程 ( )表示双曲线 .对于焦点在 ｙ轴上的椭圆 ,亦有相应的方程与结论 .巧用上述方程解题 ,可减少不必要的许多中间环节 ,下面举一例说明 .例　给定椭圆 ｘ2ｂ2 + ｙ2ａ2 =1(ａ >ｂ >0 ) ,求与这个椭圆共焦点的双曲线 ,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大 ,并求出这个最大值 .解　设所求双曲线方程为ｘ2ｂ2 -λ+ ｙ2ａ2 -λ=1(ｂ2 <λ <ａ2 ) …     

一个数学命题的三种几何解释

新编教材《高中数学》第二册 (上 )Ｐ11习题6.2题 3 :已知ａ ,ｂ都是正数 ,求证 :21ａ+1ｂ≤ａｂ≤ａ +ｂ2 ≤ ａ2 +ｂ22 当且仅当ａ =ｂ时等号成立 .通常称 ａ +ｂ2 为算术平方数 ,ａｂ为几何平均数 ,21ａ+1ｂ为调和平均数 ,ａ2 +ｂ22 为二次幂平均数 .教材中给出了ａｂ≤ ａ +ｂ2 的一种几何解释 (从略 ) ,现给出这一命题的另外几种几何解释 ,供同学们学习时参考 .1　以直角三角形为基础 ,构造模型图 1如图 1 ,以 ａ +ｂ2(ａ >ｂ)长的线段ＡＢ为直径作半圆 ,以Ａ点为圆心 ,ａ -ｂ2 长为半径作弧交半圆于Ｃ ,连结ＡＣ ,ＢＣ ;过点Ｃ作ＣＤ…     

一道课本不等式例题的推广

现行高级中学课本《数学》(试验修订本·必修 )第二册 (上 )第 12页例 3是 :已知ａ ,ｂ是正数 ,且ａ≠ｂ ,求证 :ａ3+ｂ3>ａ2 ｂ +ａｂ2 .将其推广 ,我们有以下命题　若ａ ,ｂ是正数 ,且λ >ｍａｘ{ -ａ2 ,-ｂ2 } ,则ａ λ +ａ2λ +ｂ2 +ｂ λ +ｂ2λ +ａ2 ≥ａ +ｂ ,当且仅当ａ =ｂ时等号成立 .证明　∵ａ(λ +ａ2 ) +ｂ(λ +ｂ2 ) - (ａ +ｂ)(λ +ａ2 ) (λ +ｂ2 ) =λ(ａ +ｂ) + (ａ3+ｂ3)- (ａ +ｂ) (λ +ａ2 ) (λ +ｂ2 )=(ａ +ｂ) [λ +ａ2 -ａｂ +ｂ2 - (λ +ａ2 ) (λ +ｂ2 ) ]=12 (ａ +ｂ) [(ａ -ｂ) 2 + (λ +ａ2 -λ +ｂ2 ) 2 ]…