抛物线内接等腰三角形的一个性质

抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ如果与ｘ轴有两个交点 ,以这两点及与ｙ轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是ｂ =0或者ｂ2 =ａｃ(ａｃ+3 ) 2ａｃ+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当ｂ=0时 ,△ＡＢＣ为等腰三角形 (ＡＣ =ＢＣ) .当ＡＣ =ＢＣ时 ,ｂ=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设Ａ(ｘ1 ,0 ) ,Ｂ(ｘ2 ,0 ) .Ｃ点坐标为 (0 ,ｃ) .因此　ｘ1 =-ｂ- ｂ2 - 4ａｃ2ａ ,ｘ2 =-ｂ +ｂ2 - 4ａｃ2ａ .又∠ＢＯＣ =90°由勾股定理知ＢＣ2 =ＯＢ2 +ＯＣ2= -ｂ+ｂ2 - 4ａｃ2ａ2 +ｃ2 而ＡＢ=ｂ2 - 4ａｃａ(这里以ａ>0为例 ) .当ＡＢ =ＢＣ时 ,则ｂ2 -…     

2003年中考数学模拟试题(8)

一、填空题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .-3的绝对值是 .2 .ｓｉｎ60° =.3 .函数 ｙ =ｘ -1的自变量ｘ的取值范围是.4.分母有理化 :12 +3 =.5 .若实数ａ ,ｂ分别满足ａ2 -5ａ +2 =0 ,ｂ2 -5ｂ+2 =0 ,则 ｂａ +ａｂ =.6.分解因式 :ｘ3-4ｘ =.7.若直线 ｙ =2ｘ +ｂ过点 ( 2 ,1 ) ,则ｂ =.8.如图 ,如果ｍ∥ｎ ,∠ 1 =40°,那么∠ 2 =.9.如图 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ;△ＤＥＦ中 ,ＤＥ =ＤＦ .要使得△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ ,还需增加一个条件是(填上你认为正确的一个即可 ,不必考虑所有可能情况 ) .1 0 .如图 ,Ａ ,Ｂ是⊙Ｏ上两点 ,且∠…     

三角形五“心”向量形式的充要条件

利用向量的加法、减法和向量的数量积运算 ,解决几何问题显得简捷、明快 ,思路清晰 .本文就利用向量来研究三角形五“心”(外心、重心、垂心、内心、旁心 )向量形式的充要条件 .1　外心图 1　外心结论 1　若Ｏ是△ＡＢＣ所在平面上一点 ,则Ｏ是△ＡＢＣ的外心的充要条件是ＯＡ2 =ＯＢ2 =ＯＣ2 .证　由向量数量积的运算性质可得 ａ2 =| ａ| 2 ,∴　ＯＡ2 =ＯＢ2 =ＯＣ2 |ＯＡ| 2 =|ＯＢ| 2 =|ＯＣ| 2 |ＯＡ| =|ＯＢ| =|ＯＣ| Ｏ是△ＡＢＣ的外心 .2　重心图 2　重心结论 2　若Ｏ是△ＡＢＣ内一点 ,则Ｏ是△ＡＢＣ重心的充要条件是ＯＡ +ＯＢ…     

以三角形的三边构图的数学名题

题 1　 (拿破仑定理 )以△ＡＢＣ各边为边分别向外作等边三角形 ,则它们的中心构成一个等边三角形 .(此定理是法国皇帝拿破仑发现的 ,又叫拿破仑三角形 )图 1证明　如图 1,等边△Ａ′ＢＣ、△ＡＢ′Ｃ、△ＡＢＣ′的中心分别为Ｏ1 、Ｏ2 、Ｏ3,连结ＢＢ′ ,ＣＣ′ .∵　∠ＢＡＢ′ =∠ＣＡＣ′ =∠ＢＡＣ +60° ,∴　△ＢＡＢ′≌△Ｃ′ＡＣ .故　ＢＢ′ =ＣＣ′.同理可得　ＡＡ′ =ＢＢ′ =ＣＣ′.记△ＡＢＣ三边分别为ａ、ｂ、ｃ,连结ＢＯ1 、ＢＯ3,则ＢＯ1 =33 ａ ,　ＢＯ3=33 ｃ .∴　 ＢＯ1 ＢＯ3=ＢＣＢＣ′=ａｃ.又　∠Ｏ1 ＢＯ3=∠…     

定比分点坐标公式引出的几个结论

有向线段Ｐ1Ｐ2 的定比分点坐标公式ｘ =ｘ1 λｘ21 λ ,ｙ =ｙ1 λｙ21 λ (λ≠ - 1) ,这是一个结构整齐、对称、富于数学美的公式 .该公式是点分线段得到的 ,若用线段分面 ,用面分体会有什么结论呢 ?笔者就λ >0的情况进行了一些探索得到如下几个结论 .结论 1　梯形上、下底边长分别为ａ ,ｂ ,平行于底边的线段长为ｘ ,此线段把梯形的高自上而下分成ｍ∶ｎ两段 ,记λ =ｍ∶ｎ ,则ｘ =ａ λｂ1 λ .图 1　梯形证　如图 1,设梯形ＡＥＦＤ的高为ｈ ,梯形ＥＢＣＦ的高为ｈ2 ,作ＤＱ∥ＡＢ交ＥＦ ,ＢＣ于点Ｐ ,Ｑ ,作ＦＧ∥ＡＢ交ＢＣ于点Ｇ …     

平面向量

一、选择题1.已知点Ｃ在线段ＡＢ的延长线上 ,2 |ＢＣ| =|ＡＢ| ,ＢＣ =λＣＡ ,则λ =(　　 )(Ａ) 3.　 (Ｂ) 13.　 (Ｃ) - 3.　 (Ｄ) - 13.2 .已知 |ａ→| =2 ,|ｂ→| =3,|ａ→ -ｂ→| =7,则ａ→ 与ｂ→的夹角为 (　　 )(Ａ) π6 .　 (Ｂ) π3.　 (Ｃ) π4 .　 (Ｄ) π2 .3.非零向量ａ→ 与ｂ→不共线 ,则ａ→ +ｂ→ ⊥ａ→ -ｂ→ 是 |ａ→|=|ｂ→|的 (　　 )(Ａ)充分不必要条件 .　 (Ｂ)必要不充分条件 .(Ｃ)充要条件 .　　 (Ｄ)不充分也不必要条件 .4 .设ｉ,ｊ是平面直角坐标系内ｘ轴、ｙ轴正方向的两个单位向量 ,且ＡＢ =4ｉ - 2 ｊ,Ａ…     

圆锥曲线通径长公式的应用

定义　过圆锥曲线焦点作垂直于过焦点的对称轴的垂线被圆锥曲线所截得的线段叫做圆锥曲线的通径 .定理　椭圆、双曲线、抛物线通径长为2ｅｐ( ｐ为圆锥曲线焦点到相应准线的距离 ) .证明　抛物线 (略 )、椭圆、双曲线的通径长均为2ｂ2ａ ,而 | ａ2ｃ-ｃ| =ｂ2ｃ=ｐ ,∴　2ｂ2ａ =2× ｃａ×ｂ2ｃ=2ｅｐ .例 1　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ( ｐ >0 )的焦点且垂直于ｘ轴的弦为ＡＢ ,Ｏ为抛物线顶点 ,则∠ＡＯＢ(　　 ) .　 (Ａ)小于 90°　 (Ｂ)等于 90°　 (Ｃ)大于 90°　 (Ｄ)不能确定与 90°的大小图 1解　∵　通径长为2 ｐ ,如图 1 ,∴　 |ＡＦ| …     

2002年第四期初中数学问题解答

一、已知ａ <0 ,-1 <ｂ <0 ,则ａ ,ａｂ ,ａｂ2 之间的大小关系如何 ?解 :∵ -1 <ｂ <0 ,∴ｂ<ｂ2 <1 .又ａ<0 ,　∴ａｂ >ａｂ2 >ａ .二、如果二次不等式ａｘ2 +8ａｘ+2 1 <0的解是 -7<ｘ <-1 ,求ａ的值 .解 :考虑二次函数ｙ =ａｘ2 +8ａｘ +2 1的图象 ,由已知条件可知它与Ｏｘ轴的两个交点为 (-1 ,0 ) ,(-7,0 ) ,故由韦达定理知 (-7)× (-1 ) =2 1ａ .∴ａ=3 .答 :略 .三、在△ＡＢＣ中 ,∠ＣＢＡ =72° ,Ｅ是边ＡＣ的中点 ,Ｄ在ＢＣ边上且 2ＢＤ =ＤＣ ,ＡＤ与ＢＥ交于Ｆ ,求△ＢＤＦ和四边形ＦＤＣＥ的面积之比 .解 :过Ｅ作ＥＧ∥ＡＤ交…     

高二同步测试题

选择题 :1　若1ｘ<ｘ ,则ｘ的取值范围是 (　　 )(Ａ) (-∞ ,- 1 )∪ (1 , ∞ ) .(Ｂ) (- 1 ,0 )∪ (1 , ∞ ) .(Ｃ) (- 1 ,1 ) .(Ｄ) (- 1 ,0 )∪ (0 ,1 ) .2　不等式ｌｏｇｘ 45 <1的解集是 (　　 )(Ａ) {ｘ| 0 <ｘ <45 }.(Ｂ) {ｘ|ｘ >45 }.(Ｃ) {ｘ| 45 <ｘ <1 }.(Ｄ) {ｘ| 0 <ｘ <45 }∪ {ｘ|ｘ >1 }.3　若 |ａ| <1 ,|ｂ| <1 ,则 |ａ ｂ| |ａ -ｂ|与 2的大小关系是 (　　 )(Ａ) |ａ ｂ| |ａ -ｂ| >2 .(Ｂ) |ａ ｂ| |ａ -ｂ| <2 .(Ｃ) |ａ ｂ| |ａ -ｂ| =2 .(Ｄ)不确定 .4　设ｘ∈Ｒ ,则 (1 - |ｘ| ) (1 ｘ) >0成立的充分…     

三角形的一个边角变换的推广

王开广老师在贵刊 2 0 0 1年第 5期给出了一个三角形边到角的三角函数的变换 :定理　 ｆ (ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ ｆ (ｃｏｓ Ａ2 ,ｃｏｓ Ｂ2 ,ｃｏｓ Ｃ2 ,18(ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ) ) ,其中ａ ,ｂ ,ｃ ,△分别是△ＡＢＣ的三边和面积 .下同 .本文予以推广推广　ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ｆ(ａ′ ,ｂ′ ,ｃ′ ,△′) ,其中　　ａ′ =ｙ2 ｚ2 2 ｙｚｃｏｓＡ,ｂ′=ｚ2 ｘ2 2ｚｘｃｏｓＢ ,ｃ′ =ｘ2 ｙ2 2ｘｙｃｏｓＣ,△′ =12 | ｙｚｓｉｎＡ ｚｘｓｉｎＢ ｘｙｓｉｎＣ| .ｘ ,ｙ ,ｚ是任意实数 ,且ｘｙｚ≠ 0 .为证明该推广…     

初二几何第二学期期末自测题

Ａ组一、填空题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.已知平行四边形ＡＢＣＤ的面积是 16ｃｍ2 ,Ｐ是ＡＢ边上的任意一点 ,△ＣＰＤ的面积是 .2 .已知ａ =1,ｂ =2 ,ｃ=3,它们的第四比例项ｄ =;ａ ,ｃ的比例中项ｘ =.3.菱形的两条对角线长之比为 3∶ 2 ,面积为12ｃｍ2 ,则菱形的周长为 .4 .已知ＡＤ是△ＡＢＣ中∠Ａ的平分线 ,△ＡＢＤ和△ＡＣＤ的面积的比是 2∶3,则ＡＢ∶ＡＣ =.5.已知 :如图 1,在△ＡＢＣ中 ,Ｅ ,Ｆ分别是ＡＢ ,ＡＣ的中点 ,延长ＢＣ到Ｄ ,使ＣＤ =13ＢＣ ,ＤＥ交ＡＣ于Ｏ ,则ＣＤ∶ＥＦ =,ＯＣ∶ＯＡ =.6 .如图 2 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ…     

椭圆中最值问题错解析因

问题　Ｆ1 、Ｆ2 是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ>0 )的左、右焦点 ,过焦点Ｆ1 作弦ＡＢ与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,求△ＡＢＦ2 面积的最大值 .错解　由椭圆的定义知|Ｆ1 Ｂ| + |Ｆ2 Ｂ| =2ａ ,|Ｆ1 Ａ| + |Ｆ2 Ａ| =2ａ ,∴　△ＡＢＦ2 的周长 2 ｐ =4ａ ｐ =2ａ .据海伦———秦九韶公式知Ｓ△ＡＢＦ2 =ｐ·( ｐ -ａ) ( ｐ -ｂ) ( ｐ -ｃ)≤ｐ·( ｐ3 ) 3=3·ｐ29=439ａ2 ,∴　△ＡＢＦ2 的面积的最大值为439ａ2 .剖析　忽视了等号成立的条件 ,ｐ -ａ =ｐ-ｂ =ｐ -ｃ即△ＡＢＦ2 为正三角形时 ,等号取得 .设Ｂ1 是椭圆短轴的一个端点 …     

点圆及点圆系的性质与应用

点是几何中最基本的元素,也可以视其为半径为零的圆,即点圆.坐标平面上的点圆Ｐ(ｘ0,ｙ0)的方程可记为(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2=0.由点圆Ｐ,直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=1,圆Ｍ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2=ｒ2(ｒ>0),可构成下列圆系:点Ｐ(ｘ0,ｙ0)在圆Ｍ上,λ为非零实数,有圆系Ｄλ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2-ｒ2 λ[(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2]=0(1)点Ｐ(ｘ0,ｙ0)在直线ｌ上,λ为非零实数,构造圆系Ｅλ:(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2 λ(Ａｘ Ｂｙ Ｃ)=0(2)直线ｌ与圆Ｍ相切于点Ｐ,λ为非零实数,构成圆系Ｆλ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2-ｒ2 λ(Ａｘ Ｂｙ Ｃ)=0(3)下面给出Ｄλ,Ｅλ,Ｆλ的性…     

数学问题解答

20 0 2年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 366　如图 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 是△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ外的两个旁切圆 ,Ｅ、Ｊ、Ｇ和Ｆ、Ｋ、Ｈ是切点 ,直线ＥＧ、ＦＨ交于Ｐ点 ,直线ＥＪ、ＦＫ交于Ｉ点 ,ＡＤ ⊥ＢＣ于Ｄ ,求证 :Ｐ、Ａ、Ｉ、Ｄ四点共线 .(江苏省苏州市第十中学　沈建平　 2 1 5 0 0 6)证明　设ＢＣ=ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ =ｃ ,Ｒ是△ＡＢＣ外接圆半径 ,直线ＥＧ、ＡＤ交于Ｐ′ ,直线ＦＨ、ＡＤ交于Ｐ″,下面设法证明Ｐ、Ｐ′、Ｐ″是同一点 .因为ｃ+ＡＨ=ａ+ＣＦ ,所以ｃ + (ｂ-ＣＦ) =ａ +ＣＦ ,ＣＦ =ｂ+ｃ-ａ2 .在Ｒｔ△…     

上期课外练习解答

高一年级1 .在ＡＢ上取一点Ｄ ,使ＤＢ =ＣＢ ,设Ｅ为Ｄ关于ＡＣ的对称点 .连ＥＡ ,ＥＢ ,ＥＤ ,ＣＤ .易证△ＤＣＥ为正三角形 .ＢＥ为ＤＣ的中垂线 ,ＡＣ为ＤＥ的中垂线 ,有 :∠ＥＢＡ =4 0° =∠ＥＡＢ ,ＥＢ =ＥＡ =ＡＤ =ｂ -ａ .在△ＡＢＥ中 ,ｃｏｓ∠ＡＥＢ =2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ -ａ) 2 ;在△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓ∠ＡＢＣ =ａ2 +ｂ2 -ｂ22ａｂ ;由ｃｏｓ∠ＡＥＢ =-ｃｏｓ∠ＡＢＣ ,得2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ-ａ) 2 =- ａ2ｂ.整理 ,得　ａ3+ｂ3=3ａｂ2 .2 .ｙ=1 -ｓｉｎｘｃｏｓｘ1 +ｓｉｎｘｃｏｓｘ=212 ｓｉｎ2ｘ + 1- 1 .∵　 π…     

新教材中一道例题的价值

在新教材高一 (下 )Ｐ10 7中有这样一道例题 :图　 1如图 1,ＯＡ ,ＯＢ不共线 ,ＡＰ =ｔＡＢ (ｔ∈Ｒ ) ,用ＯＡ ,ＯＢ表示ＯＰ .如果设ＯＡ =ａ→ ,ＯＢ =ｂ→ ,ＯＰ =ｐ→ ,那么本例题的结果为 :ｐ→ =(1-ｔ)ａ→ ｔｂ→ .笔者发现公式 ｐ→ =(1-ｔ)ａ→ ｔｂ→ .不但简捷、整齐 ,而且稍加变形就与解析几何中的分点坐标公式相似 .1　例题的潜在价值　按解析几何中的习惯 ,设λ =ＡＰＰＢ (Ｐ为有向线段ＡＢ的分点 ,λ为有向线段ＡＰ ,ＰＢ的数量比 ) ,如图 1,Ｐ为外分点 ,λ <0 ,所以λ =ＡＰＰＢ=- |ＡＰ||ＰＢ| =- |ＡＰ||ＡＰ| - 1ｔ|…     

错用圆锥曲线定义解题例析

圆锥曲线定义是圆锥曲线的核心和灵魂 .用定义解题不仅能深化对圆锥曲线的理解 ,更能起到简捷、快速之功效 .本文就学生中易出现的差错加以归纳 ,以期找出问题的症结所在 ,避免类似错误发生 .　　一、概念模糊致误图 1例 1　在△ＡＢＣ中设ＢＣ =ｍ ,顶点Ａ满足ｓｉｎＢ -ｓｉｎＣ =45 ｓｉｎＡ ,求顶点Ａ的轨迹方程 .错解　如图 1 ,以ＢＣ所在直线为ｘ轴 ,ＢＣ中点为原点建立直角坐标系 ,由ｓｉｎＢ -ｓｉｎＣ =45 ｓｉｎＡ及正弦定理有|ＡＣ| -|ＡＢ| =45 ｍ .可知点Ａ的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点的双曲线 .由 2ａ =45 ｍ ,2ｃ =ｍ ,得ａ =25 …     

余切公式及其应用

在△ＡＢＣ中 ,记内角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边为ａ ,ｂ ,ｃ,Ｓ为△ＡＢＣ的面积 ,由余弦定理可得 :ｃｔｇＡ =ｂ2 ｃ2 -ａ24Ｓ ,ｃｔｇＢ =ｃ2 ａ2 -ｂ24Ｓ ,ｃｔｇＣ =ａ2 ｂ2 -ｃ24Ｓ .我们称这组公式为“余切公式” .“余切公式”在形式上有与余弦定理相媲美的对称美 ,且在解决三角形中与内角的正 (余 )切有关的命题时 ,能起到化繁为简 ,化难为易之功效 ,请看如下例题 .例 1　 ( 1 999全国高中数学联赛试题 )在△ＡＢＣ中 ,记ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ ,若9ａ2 9ｂ2 - 1 9ｃ2 =0　则ｃｔｇＣｃｔｇＡ ｃｔｇＢ=.解　由余切公式得 :ｃ…     

求一类轨迹方程的代换规律

观察下面的例子 .例 1　如图 ,已知定圆Ｏ :ｘ2 ｙ2 =ｒ2 和不在圆Ｏ上的一个定点Ｑ(ｘｏ,ｙｏ) ,过Ｑ作直线交圆Ｏ于Ａ、Ｂ两点 ,Ｐ为动直线ＡＢ上不同于Ｑ的另一点 ,且｜ＡＰ｜｜ＰＢ｜=｜ＡＱ｜｜ＱＢ｜.求Ｐ点的轨迹 .解　设Ａ、Ｂ、Ｐ的坐标分别为 (ｘ1 ,ｙ1 )、(ｘ2 ,ｙ2 )、(ｘ ,ｙ) ,则有ｘ21 ｙ21 =ｒ2 ,ｘ22 ｙ22 =ｒ2 .设 ＡＰＰＢ =λ ,则 ＡＱＱＢ =-λ .由ｘ=ｘ1 λｘ21 λｙ=ｙ1 λｙ21 λ和ｘｏ =ｘ1 -λｘ21 -λｙｏ =ｙ1 -λｙ21 -λ得ｘｏｘ ｙｏｙ =ｘ21 -λ2 ｘ221 -λ2 ｙ21 -λ2 ｙ221 -λ2=ｘ21 ｙ21 -λ…     

初二几何第一学期期末自测题

Ａ组一 .填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .△ＡＢＣ的三边长分别是 2ｘ ,3ｘ ,1 0 ,则ｘ的取值范围是 .2 .在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ａ =6,ｃ =1 0 ,则ｂ =.3 .一个等腰三角形底边上的中线为 4ｃｍ ,那么它底边上的高为ｃｍ .4.等腰三角形两边分别是 3ｃｍ和 4ｃｍ ,则它的周长是 .5 .若等腰三角形一个角为 1 0 0°,则另外两个角是.6.在△ＡＢＣ中 ,若 12 (∠Ａ +∠Ｂ) =45° ,则△ＡＢＣ为三角形 .7.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ =2∶3∶4,则∠Ａ =,∠Ｂ =,∠Ｃ =.8.若等边△ＡＢＣ的边长为ａ ,则△ＡＢＣ的面积Ｓ△ＡＢＣ= .9.…