两个优美的几何恒等式

1预备知识 引理1△ABC的面积为S，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，则sinA sinB sinC=S/Rr。     

三角形的一个性质定理及其应用

定理以△ABC的三内角A、B、C的正弦sinA、sinB、sinC为边长能组成一个三角形,且这个三角形的三内角仍为A、B、C。证设△ABC的三边长分别为a、b、c。其外接圆半径为R,依正弦定理,得 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R, ∴ a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC ∵ a b>c。∴ 2RsinA 2RsinB>2RsinC。∴ sinA sinB>sinC     

一个三角不等式的几何证法

题目设△ABC为锐角三角形,则sinA sinB sinC>2．证明设△ABC的三边为a、b、c,外接圆半径为R,则由正弦定理求证可转化为a b c>4R,用几何方法．作出△ABC及其外接圆,不妨设a=BC 为最大边,平移△ABC及其外接圆为     

Cordon不等式的逆向不等式

设a,b,c分别为△ABC的三条边长,ha,hb,hc分别为三边a,b,c上的高,ta,tb,tc分别为△ABC三个内角的平分线长,R,r分别为△ABC的外接圆半径、内切圆半径,p为△ABC的半周长,表示对a、b、c循环求和.文[1]介绍了1967年,V.O.Cordon建立的不等式:a2hb2 hc2≥2.本文建立Cordon不等式的逆向不等式:a2hb2 hc2≤Rr.当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.证明　在△ABC中,ha=c.sinB,hb=a.sinC,hc=a.sinB.∴hb2 hc2=a2sin2C a2sin2B=a24R2(b2 c2)∴hb2 hc2a2=14R2(b2 c2),a2hb2 hc2=4R2b2 c2.∴a2hb2 hc2=4R21b2 c2≤4R212bc=4R2abca2=4R2pabc…     

关于双圆四边形的双圆半径的一个性质

文 [1 ]介绍了三角形双圆半径的如下一个命题 :设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 ,b0 ,c0 ,则　　　　 4Rr2 =a0 b0 c0 (1 )文 [2 ]介绍了 (1 )式的一个引申命题 :设 I是△ ABC的内心或旁心 ,r是内切圆半径或对应的旁切圆半径 ,R是外接圆半径 ,则　　 4Rr2 =IA . IB . IC (2 )笔者经研究发现 ,双圆四边形 (既有外接圆 ,又有内切圆的四边形 )也有如下有趣性质 .定理　设双圆四边形 ABCD的外接圆半径、内切圆半径分别为 R、r,内心为 I,则有IA.IB.IC.ID=2 r3 (4 R2 r2 - r) . (3 )图…     

争鸣

问题　　 问题 81 　笔者在教学中 ,遇到了这样一个问题 ,同学们给出了两种不同的解法 ,都认为自己的解法有道理 .然后我们几个老师在一起讨论 ,也有所分岐 .题目　已知外接圆半径为 6的△ABC的边长为a ,b ,c,角B ,C和面积S满足条件 :S =a2 - (b-c) 2 和sinB +sinC =43.1)求sinA ;2 )求△ABC面积的最大值 .解法 1　 1)S =a2 - (b -c) 2 =a2 -b2 -c2 +2bc =- 2bccosA +2bc .又S =12 bcsinA ,所以 - 2bccosA +2bc =12 bcsinA ,　　 4 -sinA =4cosA ,　　sinA =817或sinA =0 (舍去 ) .2 )因为sinB +sinC =43,且外接圆的半径为6 ,所以…     

问题220 是题目的问题,还是解法的问题?

题目:已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,它的外接圆半径为6,∠B,∠C和△ABC的面积S满足条件:S=a2-(b-c)2且sinB+sinC=43,(1)求sinA;(2)求△ABC的面积S的最大值.解(1)因为S=1/2bcsinA,a2=b2+c2-2bccosA,所以由题得:12bcsinA=-2bccosA+2bc,     

一道课外练习题的另一证法

<正>《中学生数学》2013年7月下初三课外练习题第3题为:设△ABC的三条边长为a,b,c,面积为S,求证:a2+b2+c2≥4槡3S.另证由12bcsinA=12casinB=12absinC=S,得bc=2S sinA,ca=2S sinB,ab=2S sinC.因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca=(1sinC+1sinA+1sinB)2S.显然,可知当a=b=c时,取等号,于是∠A=∠B=∠C=60°.故a2+b2+c2≥(1sin60°+1sin60°+     

关于三角形的双圆半径的两个命题

本文先给出关于双圆半径的一个命题 :图 1设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则　 4 Rr2 =a0 b0 c0 .证明　∵　 r=a0 sinA2 =b0 sin B2=c0 sin C2 ,∴　 r3 =a0 b0 c0 sin A2 sin B2 sin C2 . 1∵　△ =12 r( a b c)=Rr( sin A sin B sin C)=2 R2 sin Asin Bsin C,∴　 r2 R=sin A .sin B .sin Csin A sin B sin C,易证　 sin A sin B sin C=4 cos A2 cos B2 cos C2 ,∴　 r2 R=2 sin A2 sin B2 sin C2 ,∴　 r4 R=sin A2 sin B2 sin C2 ,2把 2代入…     

公式a/sinA=2R的妙用

初中几何第二册162页第6题给出了正弦定理的完整形式。在△ABC中BC=a,CA=b,AB=c,外接圆半径为R,则a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,此公式揭示了三角形的边和角与外接圆直径之间的关系,它有时能在解题或证题中起到绝妙的作用。     

三角形的双圆半径的一个"孪生"命题

文 [1 ]给出如下关于三角形双圆半径的一个命题 :设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则　 4 Rr2 =a0 b0 c0 .今给出此命题所引伸出的一个“姊妹”命题 :命题　设△ ABC的外接圆半径为 R,旁切圆半径为 r′,顶点 A、B、C到对应的旁心的距离分别为 a′0 、b′0 、c′0 ,则　 4 Rr′2 =a′0 b′0 c′0 .证明　如图 1 ,∵　 r′=a′0 sin A2 =b′0 cos B2=c′0 cos C2 ,∴　 r′3=a′0 b′0 c′0 sin A2 cos B2 cos C2 1又　△ =12 r′( b c - a) =Rr′( sin B sin C - sin A…     

一个结论的简证

文[1]给出了结论1在△ABC中,(sinA sinB sinC)/(cosA cosB cosC)<2 (1)但文中只对锐角三角形的情形给出了证明,文[2]利用导数给出了结论1的统一证明.本文给出简证.引理在△ABC中,用s,R,r分别表示半周长,外接圆半径,内切圆半径,则有     

一道数学问题的简单证明

文[1]给出如下一个不等式证明问题.△ABC的外接圆和内切圆半径分别为R,r.证明:sin2A+sin2B+sin2C≥3Rr·本文将给出此问题的一个简单证明.证明记△ABC的面积和半周长为Δ,s,三边长为a,b,c,则Rr=RΔs=bc2sRinsA=R(abc+sibnA+c)=si2nAsin+AssiinnBBs+insiCnC=4co2ssiA2nAcsoisnBB2sicnoCs2C=4sin2AsinB2sin2C,从而可知sin2AsinB2sinC2=4rR,又欧拉(Euler)不等式R≥2r可得12≥Rr,所以sin2Asin2BsinC2=4rR=212Rr≥Rr3,显然sin2A,sin2B,sin2C>0,故由均值不等式可知sin2A+sinB2+sinC2≥33sin2Asin2Bsin2C≥3Rr,证毕.一道数学问题的简单证明!350007$福建省福州市第十六中学@侯雪花邹守义.数学问题1779.数学通报.2009,2     

欧拉不等式一个三角形式的类比北大核心

1引言设△ABC的三边为a,b,c,外接圆和内切圆半径分别为R,r,则有著名的欧拉不等式R≥2r,文[1]建立了欧拉不等式的一个三角形式:定理1设R,r分别为△ABC外接圆和内切圆半径,则有(∑表示循环和)     

垂足三角形的性质初探

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.如图,锐角△ABC,AD⊥BC,BE⊥CA,CF⊥AB,垂足分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为△、R、r和s,△DEF外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R1、r1和s1.设△AEF,△BDF,△CDE的面积分别为△A,△B,△C,外接圆半径、内切圆半径分别为RA,RB,RC、rA,rB,rC.     

三角形内点到各边距离之积的一个不等式链

设△ABC的三条边长分别为a、b、c,内切圆半径、外接圆半径、半周长分别为r、R、s,本文在研究三角形内点到各边距离之积时,得到了一个新不等式.首先给出几个引理.引理1设△ABC外心O到三边的距离之积为DO,则DO=R3∏cosA=R4[s2-(2R r)2](∏表示循环积,下同).证明由文[1]知,外心O到三边的距离分别是R cosA、R cosB、R cosC,所以外心O到三边的距离之积DO=R3∏cosA=R4[s2-(2R r)2].引理2设△ABC重心G到三边的距离之积为DG,则DG=827R3∏sin2A=2p2r227R(2)证明由文[1]知,重心G到三边的距离分别是23R sinA sinB、23R sinB sinC、…     

数学问题解答

<正>2022年12月号问题解答(解答由问题提供人给出)2696设△ABC的三边长、半周长、内切圆半径、面积分别为a,b,c,p,r,Δ,则■河南质量工程职业学院李永利467001)证明设△ABC的外接圆半径为R,则将由熟知的恒等式ab+bc+ca=p²+4Rr+r²,Δ=pr和四元均值不等式及欧拉不等式R≥2r可得22     

四面体的正余弦公式及体积公式

在△ABC中,用a,b,c表示∠A,∠B,∠C的对边,则有以下边角关系成立: 1.正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC.     

不等式研究成果集锦(7)

73.ma、mb、mc分别为△ ABC三边 a、b、c的中线 ,则　　　 ∑ maa ≤ ∑bc .∑a22 abc ,当且仅当△ ABC为正三角形时取等号 .(褚小光 .1999,1)74 .△ ABC三边为 a、b、c,ma、mb、mc,R,r,s分别为△ ABC的中线 ,外接圆半径 ,内切圆半径和半周长 .若△ ABC为锐角三角形 ,则∑ambmc≥ s4 ( 4 s2 - 2 1Rr 6r2 ) ,并由此推出以下各式 :( 1) ∑ambmc≥ 23s3;( 2 ) ∑a( mb mc) 2≥ ∑a .∑a2 ;( 3) ∑bcma ≥ 4 39s3. (褚小光 .1999,1)75.设△ ABC各角均小于 12 0°,F为△ ABC的Fermat点 .ta、tb、tc分别为△ ABC的角平分线 ,则34 ( …     

三角形外角平分线三角形面积的性质

如图1,△ABC是一任意三角形,△DEF图1是它的外角平分线三角形,记△ABC的三边长为a、b、c,半周长为p,面积为S0,外接圆半径为R,内切圆半径为r,旁切圆半径为ra、rb、rc,△DEF的面积为S.经过探讨,笔者现已得到:定理S=2pR.证明因(p-a)(p-b)(p-c)=r2p,ab bc ca=p2 4Rr r2,得p-1a p-1b