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经过两条母线的截面是圆柱、圆锥、圆台中的一类重要截面 ,其面积的最值问题是这类截面的一个研究重点 .从目前的一些资料和刊物发表的文章来看 ,仅有圆柱、圆锥方面的结论 (见下文中的结论 1、结论 2 ) ,而缺少最重要的圆台方面的结论 .作为补充和完善 ,本文将给出圆台中过两条母线的截面面积最值的一般性结论 ,并进一步阐释圆柱、圆锥、圆台三者之间的和谐统一关系 ,供读者教学或研究时参与 .结论 1 设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则过两条母线的截面面积的最大值为 2rl.证明略 .结论 2 设圆锥的母线长为l,轴截面顶角为 ,则过两… 相似文献
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定理 1 凸n边形面积为sn,直线l不与其相交 ,n边形重心Gn,到l的距离记为dn,那么该凸n边形绕直线l旋转一周 ,所得几何体的体积为 :Vn=2πdnsn.图 1 定理 1图证 n =3时 ,如图过△A1A2 A3 的顶点A1作直线l的垂线为x轴 ,直线l为y轴 ,建立直角坐标系 .并设A1(x1,0 ) ,A2 (x2 ,y2 ) ,A3 (x3 ,y3 ) .又过A2 ,A3 分别作y轴的垂线 ,这样△A1A2 A3绕l旋转 ,所成的几何体的体积是两个圆台体之和 ,再减去一个圆台的体积 .根据圆台体积计算公式 :V3 =π3·(y3 -y2 ) (x23 x22 x3 x2 ) π3·y2 (… 相似文献
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1 考点简析本单元课本内容以公理 5及祖日恒原理为基础 ,推导了柱、锥、台及球和球缺的体积公式 ,系统性很强 ,易教易学 ;高考中除球缺的体积公式不要求记忆外 ,其他给出的几何体的体积公式必须牢固记忆并能灵活应用 ;高考试卷在考核第一章及“多面体和旋转体的面积”的基础上 ,再考察这一部分 ,主要包含转化与化归的数学思维方法 ,例如柱、锥、台的体积公式都可以用台体的体积公式统一表示 ,三棱锥的顶点与底面的转化等等 ;关于体积的计算可分为两大类 :1)利用公式直接计算 ;2 )等积变换计算 .而第二类中又可细分为 :①换底法 ;②割补法 ;… 相似文献
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文[1]、文[2]、文[3]分别给出以下3个定理:
定理1 在存在内切球的前提下,多面体的体积均等于其表面积与相应内切球半径乘积的三分之一. 相似文献
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以圆锥曲线为母线的旋转体的体积 总被引:1,自引:0,他引:1
1.某种旋转体的母线是抛物线的一部分,其方程为x2=2py(p>0,0≤y≤H),y轴为旋转轴,求该旋转体的体积;如图1,将旋转体置于平面α内,用与α平行且相距h的平面去截,截得的截面圆面积为π(2ph)2=2πph,视2πph为一个边长为2πp和h的矩形面积,则可构造一个底面是腰长为H的等腰直角三角形,高为2πp的直三棱柱ABC-A′B′C′,如图1所示放置,显然符合祖日恒原理的条件,故旋转体体积=直三棱柱体积=12·H·H·2πp=πpH2.2.某种旋转体的母线是椭圆的一部分,其方程为x2b… 相似文献
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计算旋转体体积的一般积分公式 总被引:1,自引:0,他引:1
0引言本文首先讨论了平面曲线在直线上的投影长函数 ,平面曲线 (图形 )绕一共面直线旋转所得旋转体的体积函数 ,给出了它们的积分表示式 ,进而得出计算旋转体体积的一般积分公式。关于旋转体体积的计算问题 ,一般标准分析教材 [1,2 ] 中只讨论了平面图形绕坐标轴旋转所得旋转体的体积的积分公式 ,为了应用上的便利本文将其推广 ,给出平面图形绕任一共面直线旋转所得旋转体体积计算的一般积分公式。一般认为平面曲线是 (开 )直线段到平面内的一一的 ,双方连续的 ,在上映射的象[3] .在直线段a≤ t≤ b上引入坐标 t,在平面上引入笛卡尔直角坐标… 相似文献
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文 [1 ]介绍了旋转体与内切球的几个最值问题 .在平时教学中 ,本人也总结出了几个类似结论 .结论 1 在定圆锥 (底面半径为r ,高为h)的内接圆柱中 ,体积最大的圆柱与定圆锥的体积之比等于该圆柱与定圆锥的底面积之比 ,即V最大圆柱V锥 =S最大圆柱底S锥底 =49.当且仅当圆柱的底面半径等于 23r ,高为 13h时取等号 .证 设圆锥的底面半径为r ,高为h ,圆柱底面半径为x ,体积为V ,由相似三角形可知 ,圆柱的高为r -xr h ,故V =πx2 ·r -xr h=πhrx2 (r-x)=πh2rx2 ( 2r - 2x)≤πh2rx +x + ( 2r - 2x)33=42… 相似文献
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对旋转体体积的再认知 总被引:2,自引:0,他引:2
旋转体的体积公式在初等数学通常是用实验的办法或祖咂原理得到,而后在高等数学的微积分中严格证明.但这一过程在学习者认知方面存在两个明显的弊端. 相似文献
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文[1]讨论了“圆柱容球”、“圆台容球”和“圆锥容球”等常见旋转体的一个有趣共性,归纳如下共同性质:球与其外切圆柱、外切圆台、外切圆锥表面积之比等于体积之比. 相似文献
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运用定积分中的元素法,给出了空间曲线绕空间直线旋转一周所成的旋转曲面与垂直于旋转轴的两个平面所围成的旋转体体积的计算公式:V=π(m2+n2+p2)23∫tt12{[p(y(t)-b)-n(z(t)-c)]2+[m(z(t)-c)-p(x(t)-a)]2+[n(x(t)-a)-m(y(t)-b)]2}m.x′(t)+n.y′(t)+p.z′(t)dt从而将平面图形的旋转体体积推广到了空间情形. 相似文献
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几何学近几年来对其它数学学科的影响越来越大,而旋转体体积的计算是几何学中的一大难点,本文给出了几种简单的曲线所围的平面图形绕坐标轴旋转所得的旋转体体积的计算公式,且给出了求解旋转体体积的实例并用多种方法进行了求解. 相似文献
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用元素法的思想,讨论了在极坐标系下平面图形绕极轴旋转一周所得旋转体体积元素的直接构造法,进行了这种构造正确性的理论证明,给出算例. 相似文献