集合与简易逻辑

1.本单元重、难点分析集合是高中数学的起始内容,也是现代数学的基本概念,集合的概念及其理论称为集合论,它是学习近、现代数学的基础,其基本理论和思想在后续内容的学习过程中有着广泛的应用,以集合的观点认识数学问题有利于突出问题的本质.学习的重点:集合的概念、性质和表示     

弗晰(模糊)子集的基本概念

现在,大家都很注意现代集合论的思想向中学数学的渗透问题,在这种情况下,介绍一点模糊集合论的简单知识,或许是有益于读者的。 1965年,美国控制论专家加里福尼亚大学教授查德(L.A.zadeh),第一次提出了“模糊集合”的概念,14年来,模糊数学如异军突起,俨然要发展成为一个新的数学分支。 模糊的原文是“Fuzzy”,根据数学老前辈的建     

有关无限观的三个问题

2008年出版的《数学与无穷观的逻辑基础》第三篇（无穷观问题探索）中，有三个引人注目的内容．一是论述现代分析数学中存在着“新贝克莱悖论”；二是证明了令人惊奇的定理：“任何可数无穷集合都是自相矛盾的非集”；三是质疑了Cantor关于实数不可数的对角线证明方法的合理性．本篇评述立足于经典分析数学与Cantor-Zermelo—Halmos素朴集合论的理论基础上，经由分析指出了上述三项内容中的数学论证与推理是不能成立的。并解释了书中出错的主要原因．     

集合论:现代数学的共同基础

<正>现代数学有数不清的分支,但是,它们都有一个共同的基础--集合论。因为它,数学这个庞大的家族有个共同的语言。集合论中有一些最基本的概念:集合(set),关系(relation),函数(function),等价(equivalence),是在其它数学分支的语言中几乎必然存在的。对于这些简单概念的理解,是进一步学些别的数学的基础。我相信,理工科大学生对于这些都不会陌生。     

也谈把"0"作为一个自然数

《数学通报》2 0 0 1年第 1期王尚志老师“为什么要把‘0’作为一个自然数”一文用浅显明白的语言阐述了把“0”作为自然数的“解释” ,但我们感觉 :若不用公理集合论的语言说明 ,似乎意犹未尽 ,下面谈谈我们对此问题的看法 .在公理集合论中 ,我们有如下公理 :Ⅰ外延公理 : ｘ ｙ( ｚ(ｚ∈ｘ ｚ∈ｙ) →ｘ=ｙ)即集合是由它的元素所唯一决定的 .Ⅱ空集存在公理 : ｙ ｘ(┐ (ｘ∈ｙ) )即存在一个集合 ,它没有元素 .据外延公理 ,这个集合是唯一的 ,我们将它记作 .Ⅲ二元集公理 : ｕ ｖ ｚ ｘ(ｘ∈ｚ ((ｘ=ｕ)∨ (ｘ=ｖ) )即对任意两集合ｕ和…     

集合思想解题浅说

集合论是现代数学的重要基础,有关集合方面的基础知识.在初等数学中着广泛的应用。数学中有些问题,并不是用集合的形式提出的,但是可以用集合的思想去分析解决,其解法简捷明快、富有新意。集合思想指导解题通常体现在交集法、并集法、包含法、补集法、韦恩图法之中。一、交集法将一个数学问题的条件分解为若于子条件(以便暂时解除它们之间的制约关系),然后分别探求只满足子条件的对象的集合,再利用制约关系求出这些子条件的对象的集合之交,即为所求问题的解.这种思想方法叫做交集法。用框图表示如下:     

高等数学问题推广的几种方式

著名数学家波利亚曾说过 :“一般化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合 .或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小集合的更大的集合 .”[1] 数学的一般化或普遍化主要表现在对命题的推广 .由于数学认识的根本目的是揭示更为普遍、更为深刻的事实或规律 ,所以数学命题的推广是数学创造的基本形式之一 .高等数学中有很多问题都可以进行推广 ,由于这些问题的推广往往需要经过类比、联想、猜想、抽象、归纳等多种发散性思维过程 ,因而 ,如能将这些问题有机地结合到数学实践中去 ,这对培养和加强学生的创新意识和创新能…     

集合论的故事

<正>说到集合,你可能会说,很简单.不过,你所学的、看到的,只是集合论的冰山一角.一起来看看集合论背后的故事吧.这个故事的主人公是乔治·康托尔.1866年,康托尔在柏林大学获得了博士学位,那时他的兴趣是数论,后来在海涅的建议下,转向了分析学,并由此创立了集合论.这个故事的关键情节是如何创立一门新的数学分支.为此,我们将回到19世纪,去探寻     

谈映射概念——中学数学笔谈之十八

映射概念是现代数学中最基本的概念之一.在中学数学教学中引进它是很有好处的,正如高级中学试验课本《数学Ⅰ》(人民教育出版社,1993年版)和全日制普通高级中学教科书(试验本)《数学第一册(上)》”(人民教育出版社,1996年版)中所做的那样.在这两本教材中,映射概念是这样定义的:“设Ａ,Ｂ是两个集合.如果按照某种对应法则ｆ,对于集合Ａ中的任何元素,在集合Ｂ中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应叫做集合Ａ到集合Ｂ的映射,记作ｆ:Ａ→Ｂ.”在给出这个抽象定义之前,两书都先给出了一些具体例子,如ｆ为“开平方”法则、“求平方”法则、“…     

集合与简易逻辑

1．本单元重、难点分析 集合是高中数学的起始内容，也是现代数学的基本概念，集合的概念及其理论称为集合论，它是学习近、现代数学的基础，其基本理论和思想在后续内容的学习过程中有着广泛的应用，以集合的观点认识数学问题有利于突出问题的本质。学习的重点：集合的概念、性质和表示方法，集合的三种运算，集合间的关系，学习的难点；1）如何准确地把握有关集合的概念的涵义及相互之间的关系；2）如何进行集合语言、图象语言与文字语言之间的转化；3）如何运用集合语言和集合思想求解有关问题。     

“集合”教学随想

集合论是19世纪末到20世纪初以康托为代表的数学家创立的一门数学理论，今天的集合论研究已经相当完善，集合论已经肩负起为整个数学提供语言的重任，中学里正是把它当作一种数学语言来学习，笔者特别想谈谈“集合”一节的教学随想，这有别于一般的教材分析和教学体会．     

关于集合中的几种流行错误

十九世纪德国数学家康德首先提出集合理论后,很快便渗透到数学的各个领域,并成为一个重要的数学分支。如今,集合不仅是近代和现代数学的理论基础,而且是数学及有关科学不可缺少的工具和语言,随着现代数学的发展,集合论的地位将显得日益突出     

集合知识在初等数学中的应用

集合的知识,在中学数学中有着广泛的应用。集合的思想、语言,符号和图解已在中小学课本中出现。因此,对中小学数学教师来说,学习和掌握集合论的基本知识,并用它去处理教材中某些内容,是很必要的。中学数学研究的内容,是数和形以及它们间的关系。从集合的观点来看,可以说是数的集合与点的集合以及它们的运算。集合的知识与中学数学内容有着密切的联系。所以,把集     

映射

映射郑学群（华中师大数学系）基本概念近代数学很多重要的数学分支都是建立在集合理论的基础上．映射是集合论中一个很重要的概念，它是函数概念的推广．在中学阶段引入这个概念可以使学生加深对函数概念的理解，从而获得比较系统的函数知识，为今后学习近代数学打下良好...     

何以感受数学的温度——一类"化无形为可见"问题引发的思考

传统逻辑基础规律之一就是排中律,通常被表述为A是B或者不是B.集合中元素与集合的关系也是如此,更确切地说,数学对象间关系往往都是如此确定.正如普通高中数学课程标准实验教科书(人教A版)主编寄语中的论述:"数学是清楚的.清楚的前提,清楚的推理,得出清楚的结论,数学中的命题,对就是对,错就是错,不存在丝毫的含糊."数学因为...     

对于“集合”,我们应该掌握些什么?

集合是数学的基础知识 ,学习它 ,可以使我们更好地理解数学中出现的集合语言 ,能更简捷地用集合的语言表述数学问题 ,用集合的观点去研究、处理数学问题 .那么 ,对于“集合”这部分内容 ,我们应该掌握些什么呢 ?第一 ,正确理解集合的概念、掌握元素与集合、集合与集合间的基本关系是学好集合乃至学好高中数学的第一步 .以下知识点是必须深刻理解并熟练掌握的 :1 )集合、空集、全集的概念 .集合是一个原始的数学概念 ,要用心体验 ,特别要注意集合的“三性” :①确定性 .指集合中的元素是确定的 .如“很小的数的全体”就不能视为集合 .②互异…     

集合论公理系统的层谱

在文献[1,2]中,我们研究了范畴论基础,建立了集合的公理系统ACG,它能够处理超出了集合与类的极其大的汇合。本文进一步推广了系统ACG,建立了集合论公理系统的三个无穷序列:H_0,H_1,…;J_0,J_1,…,G_0,G_1,…。在建立这些公理系统的过程中,我们使用了类型论的方法,它们描述的能力是逐步增长的,     

计数法（1）

所谓计数,就是估计或计算符合某些要求的对象的个数,换言之,就是给定-个有限集合S,要求出集合S所含的元素的个数|S|,或者对集合S的阶的上、下界进行估计.由于通常给定的集合各种各样,要判定一个元素是否属于它,绝非易事,要计算它所含元素的个数就更加困难.所以,如何计数的问题长期以来一直是人们关心的问题,它历来是组合数学研究的基本课题之一,也是各类竞赛的热点之一.     

(Ⅲ)集合及其符号来历(连载)

<正> 集合论的创始人可以说是波尔查诺(Bolzano),1850年他在“无穷的怪论”中定义了有限与无限集合、相互单值映射的概念,数列极限点的概念。以后在黎曼、德佑(下转封二)     

谈谈求解集合问题时的语言转换

普通高中数学课程标准(实验)中指出:“集合语言是现代数学的基本语言.使用集合语言,可以简洁、准确地表达数学的一些内容.高中数学课程只将集合作为一种语言来学习,学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,发展运用数学语言进行交流的能力.”这充分说明了在高中数学的学习中,掌握好集合语言的重要性.其实,我们将视角缩小一点,仅从集合内容的学习来看,正确地认识集合语言,熟练地掌握集合问题中语言转换的基本方法,对于提高求解集合问题的能力,也有着不可低估的作用.那么,集合问题中的数学语言有哪几种形式?求解集合问题时进行语言…