用二项式定理证明不等式

二项式定理应用很广泛 ,其中在证明幂不等式和组合不等式方面具有独特的作用 ,下面分类举例说明 :1　利用二项展开式进行放缩例 1　已知函数ｆ(ｘ) =2 ｘ- 12 2 1.证明 :对于任意不小于 3的自然数ｎ ,都有 ｆ(ｎ) >ｎｎ 1.证　当ｎ≥ 3时 ,ｆ(ｎ) >ｎｎ 1 1- 22 ｎ 1>1- 1ｎ 1 2 ｎ>2ｎ 1,∵ 2 ｎ=(1 1) ｎ=Ｃ0 ｎ Ｃ1ｎ Ｃ2 ｎ … Ｃｎ -1ｎ Ｃｎｎ>Ｃ0 ｎ Ｃ1ｎ Ｃｎ -1ｎ =1 ｎ Ｃ1ｎ=2ｎ 1,∴ ｆ(ｎ) >ｎｎ 1(ｎ≥ 3)成立 .注　对于 (1 ｘ) ｎ= ｎｋ =0 Ｃｋｎｘｋ 常利用整体大于它的部分产生不等关系 .例 2　求证Ｃｎ2ｎ -1…     

组合数求和的九种途径

1　逆向运用二项式定理求和例1　求和Ｓ1=3ｎ 3ｎ-1Ｃ1ｎ 3ｎ-2Ｃ2ｎ … 3Ｃｎ-1ｎ Ｃｎｎ.解　由二项式定理,易见Ｓ1=(3 1)ｎ=4ｎ.例2　求和Ｓ2=1-2Ｃ1ｎ 4Ｃ2ｎ-… (-2)ｎＣｎｎ.解　逆向运用二项式定理,易见Ｓ2=(1-2)ｎ=(-1)ｎ.2　利用Ｃ0ｎ Ｃ1ｎ Ｃ2ｎ … Ｃｎｎ=2ｎ及Ｃ0ｎ Ｃ2ｎ Ｃ4ｎ …=Ｃ1ｎ Ｃ3ｎ Ｃ5ｎ …=2ｎ-1求和.例3　求和Ｓ3=2Ｃ02ｎ Ｃ12ｎ 2Ｃ22ｎ Ｃ32ｎ … Ｃ2ｎ-12ｎ 2Ｃ2ｎ2ｎ.解　Ｓ3=(Ｃ02ｎ Ｃ12ｎ … Ｃ2ｎ2ｎ) (Ｃ02ｎ Ｃ22ｎ Ｃ42ｎ … Ｃ2ｎ2ｎ)=22ｎ 22ｎ-1=3·22ｎ-1.3　倒序求和法例4　求和Ｓ4=Ｃ0ｎ 2Ｃ1…     

二项式定理与组合恒等式

二项式定理是组合数学中一个重要的恒等式 ,即(ａ ｂ) ｎ= ｎｉ=0 Ｃｉｎａｎ -ｉｂｉ.其中Ｃｉｎ 称为二项式系数 .由于组合计数问题在数学竞赛中的重要地位 ,熟练地掌握组合数的性质 ,并能灵活地运用它们来解决各种问题 ,这对参赛选手来说 ,是十分必要的 .本文我们将介绍计算含有组合数的和式以及证明组合恒等式的一些常用方法 .例 1　证明 :Ｃ1ｎ 2Ｃ2 ｎ 3Ｃ3ｎ … ｎＣｎｎ=ｎ·2 ｎ - 1.证　注意到组合数的性质Ｃｋｎ=ｎｋＣｋ- 1ｎ - 1,∴Ｃ1ｎ =ｎＣ0 ｎ - 1,2Ｃ2 ｎ =ｎＣ1ｎ - 1,… ,ｎＣｎｎ =ｎＣｎ - 1ｎ - 1.于是　Ｃ1ｎ 2…     

正项等差数列的不等式

由正项等差数列构成的不等式 ,叫做正项等差数列的不等式 .本文研究这样的一类不等式 .为了叙述简便 ,本文规定 {ａｎ}是公差为ｄ(ｄ >0 )的正项等差数列 ,Ｓｎ 是它的前ｎ项和 ,ｍ ,ｎ ,ｋ都是正整数 .定理 1　 1+ ｍｄｋａ11+ ｍｄｋａ2 ·…· 1+ ｍｄｋａｎ ≥ａｍ + 1ａｍ + 2 ·…·ａｍ +ｎａ1ａ2 ·…·ａｎ1ｋ.(当且仅当ｋ =1时等号成立 )证　由二项式定理得1+ ｍｄｋａｉｋ=1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ +Ｃ2 ｋｍｄｋａｉ2 +… +Ｃｋｋｍｄｋａｉｋ ≥ 1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ =1+ ｍｄａｉ=ａｉ+ｍｄａｉ=ａｍ +ｉａｉ,(当且仅当ｋ =1时取等号 …     

如何求三项展开式的项

二项式定理一节中,常遇到求三项式(ａ ｂ ｃ)ｎ(ｎ∈Ｎ)的展开式的项.求解方法主要是转化为二项式利用二项式定理展开或用组合观点直接求解.例题　求(1 2ｘ-3ｘ2)6展开式中ｘ5的系数.解法1　(1 2ｘ-3ｘ2)6=[1 (2ｘ-3ｘ2)]6的一般项可写成Ｔｋ 1=Ｃｋ6(2ｘ-3ｘ2)ｋ,ｋ=0,1,2,…,6.又(2ｘ-3ｘ2)ｋ的一般项可写成Ｔｒ 1=Ｃｒｋ·(2ｘ)ｋ-ｒ·(-3ｘ2)ｒ=Ｃｒｋ·2ｋ-ｒ·(-3)ｒ·ｘｋ ｒ,ｒ=0,1,…,ｋ.所以原式展开式的一般项为Ｃｋ6Ｃｒｋ(-3)ｒ·2ｋ-ｒ·ｘｋ ｒ.欲求ｘ5的系数,则ｋ ｒ=5即ｋ=5-ｒ.∵ｒ≤ｋ,所以当ｋ值是5,4,3时,对应的ｒ=0,1…     

一个代数不等式的再研究

文 [1]发表了宋庆老师新发现的一个代数不等式及其证明 .笔者发现此代数不等式的背后蕴含着更一般的结论 .同样可利用幂函数的单调性来证明下面的定理成立 .定理 1　若ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ .则ｘｍ(ｘｎ- ｙｎ) ｙｍ(ｙｎ-ｚｎ) ｚｍ(ｚｎ-ｘｎ)≥ 0(1)其中ｍ·ｎ≥ 0 ;当ｍ·ｎ≤ 0时 ,不等式 (1)反向 .等号当且仅当ｘ =ｙ =ｚ或ｍ =0或ｎ =0时成立 .证　设ｘ≥ｙ >0 ,ｘ≥ｚ >0 .当ｍ·ｎ≥ 0时1)若ｍ≥ 0且ｎ≥ 0 ,则ｘｍ≥ｚｍ>0 ,ｘｎ≥ｙｎ>0 ,即ｘｎ- ｙｎ≥ 0 ,故ｘｍ(ｘｎ- ｙｎ)≥ｚｍ(ｘｎ- ｙｎ) ;2 )若ｍ≤ 0且ｎ≤ 0 ,则 0 <ｘ…     

杨辉恒等式与一类数列的求和

组合数的性质Ｃｍｎ Ｃｍ 1ｎ=Ｃｍ 1ｎ 1又称为杨辉恒等式,利用杨辉恒等式,可得1)Ｃ22 Ｃ12 Ｃ13 … Ｃ1ｎ=Ｃ2ｎ 1;2)Ｃ33 Ｃ23 Ｃ24 … Ｃ2ｎ 1=Ｃ3ｎ 2;3)Ｃ44 Ｃ34 Ｃ35 … Ｃ3ｎ 2=Ｃ4ｎ 3;4)Ｃ55 Ｃ45 Ｃ46 … Ｃ4ｎ 3=Ｃ5ｎ 4;……由这一组恒等式,可方便地解决一类数列的求和问题.事实上,1)即是1 2 3 … ｎ=ｎ(ｎ 1)2;2)即是2·12! 3·22! 4·32! … (ｎ 1)ｎ2!=(ｎ 2)(ｎ 1)ｎ3!.∴1·2 2·3 3·4 … ｎ(ｎ 1)=ｎ(ｎ 1)(ｎ 2)3;　　3)即是3·2·13! 4·3·23! 5·4·33! … (ｎ 2)(ｎ 1)ｎ3!=(ｎ 3)(ｎ 2)(ｎ 1)ｎ4!,∴1·2·3 2·…     

一个不等式的改进与其"孪生"不等式

文 [1 ]给出了不等式 .已知ａ>13 ,ｂ>13 ,ａｂ=29,求证 :ａ+ｂ <1 (1 )的一个简证 ;文 [2 ]把它推广为 :ａｉ>1ｎ(ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ-1 ;ｎ ≥ 3 ) ,∏ｎ - 1ｉ =1ａｉ=2ｎｎ- 1,求证 :∑ｎ - 1ｉ =1ａｉ <1 . (2 )本文首先用文 [2 ]的方法得到了不等式 (2 )的改进 :命题 1　已知ａｉ>ｐ>0 (ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ ;ｎ≥2 ) ,∏ｎｉ =1ａｉ≤ｐｎ- 1ｑ,(ｑ >ｐ) ,则∑ｎｉ =1ａｉ<(ｎ-1 )ｐ +ｑ. (3 )(证明从略 )其次 ,从另一角度得到了“改进”的一个“孪生”不等式 :命题 2　已知 0 <ａｉ<ｐ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ;ｎ≥2 ) ,∏ｎｉ=1ａｉ≤ｐｎ- 1…     

两个组合恒等式的联系及其组合意义和概率论证法

贵刊 2 0 0 1年第 6期刊载的文 [1 ]证明了组合等式 :∑ｎｉ=0(-1) ｉＣｉｎｉｋ =0　　　　　当ｋ≤ｎ-1且ｋ∈Ｎ时(-1) ｎｎ !　当ｋ =ｎ时笔者发现上述结论正是贵刊 1 996年第 6期刊载的文 [2 ]定理的推论的另外一种表述 .文 [2 ]的定理及推论如下 :定理　设ｆ(ｘ) =ａｘｎ+1 +ｂｘｎ+ｃｎ- 1 ｘｎ- 1 +…+ｃ1 ｘ+ｃ0 是ｎ+ 1次多项式 .则 ∑ｎｉ=0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ= ( - 1 ) ｎｎ !(ａＣ2 ｎ+1 +ｂ)… ( )推论 :设ｆ(ｘ) =ａｘｍ+ｂｍ- 1 ｘｍ- 1 +… +ｂ0 是ｍ次多项式 ,则　∑ｎｉ =0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ =( - 1 ) ｎｎ !ａ…     

关于n~(1/k)的不等式猜想的研讨

文 [1 ]给出了一个关于kn的不等式猜想 ,猜想的右侧不等式是 :正整数n ,k >1 ,则nk 2时 ,( 1 )式成立 .为证明上述结论 ,先给出两个引理引理 1　 [贝努利 (Bernoulli)不等式 ]若x >- 1且k是正整数 ,则 ( 1 +x) k≥ 1 +kx .等号当且仅当x =0时成立 .利用二项式定理易证引理 1 .引理 2 [2 ] 　若 - 1 相似文献   

一个乘积不等式及其应用

本文给出一个新颖的涉及若干个分数乘积的不等式 ,并举例说明其应用 .定理　设正整数ｍ ,ｎ满足 1 ≤ｍ ≤ｎ ,记Ｔ(ｍ ,ｎ) =2ｍ2ｍ- 1 · 2 (ｍ 1 )2 (ｍ 1 ) - 1 … 2ｎ2ｎ- 1 ,则有2ｍ· (4ｍ 3)ｎ ｍ 14ｍ2 - 1 ≤Ｔ(ｍ ,ｎ) ≤2ｍ2ｍ- 1 · 4ｎ 14ｍ 1 (1 )证　对ｎ用数学归纳法证 .当ｎ =ｍ时 ,式 (1 )的两个等号显然成立 .假设对ｎ(ｎ≥ｍ)时式 (1 )成立 ,我们证ｎ 1时式 (1 )左边不等式成立 ,只要证2ｍ· (4ｍ 3) (ｎ 1 ) ｍ 14ｍ2 - 1 ≤2ｍ· (4ｍ 3)ｎ ｍ 14ｍ2 - 1 · 2 (ｎ 1 )2 (ｎ 1 ) - 1即(2ｎ 1 ) 2 ((4ｍ 3) (ｎ …     

一个分式型不等式定理及其应用的注记

读《数学通报》2 0 0 0年第 6期《一个分式型不等式定理及其应用》一文 (以下简称原文 ) ,发现有以下三处错误应予修正 .1　原文定理 1的修正原文定理 1　若ａｉ、ｂｉ∈Ｒ ,ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ ,γ≥ 2或γ <0 ,β>0 ,则∑ｎｉ=1ａγｉｂβｉ≥ｎ1 -γ β·∑ｎｉ=1ａｉγ∑ｎｉ=1ｂｉβ(1 )原文证明的不妥之处 :“ ∑ｎｉ=1ｂβｉ- 1 ≥ｎ- 1 β· ∑ｎｉ=1ｂｉ- β(β≥ 1或 0 <β <1 )” .其实 ,当ｂｉ>0 (ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,β>1时应有∑ｎｉ=1ｂβｉ- 1 ≤ｎ- 1 β ∑ｎｉ=1ｂｉ- β.(1 )式反例 :在 (1 )式中令ｎ =2 ,ａ1 =1 ,ａ2 =8,…     

杨辉三角形中的行元与11~n的关系

杨辉三角形如下所示 :11　　 11　　 2　　 11　　 3　　 3　　 11　　 4　　 6　　 4　　 1…　…　…　…　…　…Ｃ0ｎ　Ｃ1 ｎ　Ｃ2 ｎ　…　Ｃｎ -1 ｎ 　Ｃｎｎ　经观察 ,不难发现 :如果让杨辉三角形中的行元素Ｃ0 ｎ,Ｃ1 ｎ,Ｃ2 ｎ,… ,Ｃｎｎ 排成一排 ,即排成Ｃ0ｎＣ1 ｎＣ2 ｎ…Ｃｎｎ(其中的每个组合数Ｃ　ｉｎ( 0≤ｉ≤ｎ)都依十进制表示其所在位置的数值或位置值 (其后面解释 ) ) ,则恰有　 11ｎ=Ｃ0 ｎＣ1 ｎＣ2 ｎ…Ｃｎｎ.若规定Ｃ00 =1,则上述对非负整数ｎ都成立 .这里 ,对上述公式作如下说明 :①当 0≤Ｃ　ｉｎ<10时 ,Ｃ…     

Stirling公式在一个乘积不等式中的应用

定理　令Ｐｎ =1 +11 1 +131 +15 … 1 +12ｎ- 1 ,则πｎ - 16πｎ ≤Ｐｎ≤πｎ +16πｎ为此我们引入Ｓｔｉｒｌｉｎｇ公式 :1 · 2 · 3·… ·ｎ=2πｎｎｎｅ-ｎ+θ1 2ｎ　 (0 <θ <1 )现在我们来给出定理的证明 :因Ｐｎ =1 +11 1 +13 1 +15 … 1 +12ｎ - 1=2· 4· 6 ·… · 2ｎ1 · 3· 5 ·… · (2ｎ- 1 )=(2 ｎ· 1· 2 · 3 ·… ·ｎ) 21 · 2 · 3· 4·… · 2ｎ=2 ｎ· 2πｎｎｎｅ-ｎ+θ1 1 2ｎ 24πｎ(2ｎ) ｎｅ- 2ｎ+θ22 4ｎ(0 <θ1 <1 ,0 <θ2 <1 )=πｎｅ11 2ｎ θ1 -θ22记ｔ=11 2ｎ θ1 - θ22 则 ｜ｔ｜ <1则 :Ｐｎ-…     

一个不等式的几种证法的本源

文 [1 ]证明了 :对于一切大于 1的自然数ｎ ,有1 +13 1 +15 … 1 +12ｎ-1 >2ｎ+12 .(1 )文 [2 ]又证明了 (1 )的变形 :已知ｎ∈Ｎ ,且ｎ≥ 2 ,求证43 · 65 ·…· 2ｎ2ｎ-1 >12 2ｎ+1 . (2 )(2 )又可变形为21 · 43 · 65 ·…· 2ｎ2ｎ-1 >2ｎ +1 . (3 )(3 )又可变形为1 +11 1 +13 1 +15 … 1 +12ｎ-1>2ｎ+1 . (4 )12 · 34· 56·…·2ｎ -12ｎ <12ｎ+1 . (5 )在 (3 )、(4 )、(5 )中 ,不必再限制ｎ≥ 2 .由于 (3 )、(4 )、(5 )是同一个不等式的几种变形 ,所以我们只需证明 (5 ) ,关于 (5 ) ,我们又查到了如下的四种证法 (不用数学归纳法 …     

加强不等式中g(n)应满足的条件

一般地 ,一个与自然数有关的不等式总可以通过数学归纳法解决 .但其中有一些不等式却不能直接运用数学归纳法证明 .如下例 .例 1　已知数列 {ａｎ}满足ａ1=5,ａｎ=5·2 ｎ - 2 (ｎ≥ 2 ) ,求证1ａ1 1ａ2 1ａ3 … 1ａｎ<35.令ｆ(ｎ) =1ａ1 1ａ2 1ａ3 … 1ａｎ,显然ｆ(ｎ)是单调递增的 ,在用数学归纳法证明时 ,由ｆ(ｋ) <35不可能过渡到ｆ(ｋ 1) <35.对于这样的问题常用的办法是先证一个加强不等式ｆ(ｎ) <35-ｇ(ｎ)(ｇ(ｎ) >0 ) .问题是这个加强不等式中的ｇ(ｎ)应满足什么条件 .我们先看一般的情形 :求证ｆ(ｎ) <Ｍ(ｆ(ｎ)是单调递增的 ,…     

对两个新命题的思考

文 [1]发表了罗南星老师关于一个代数不等式的一般结论及证明 ,文 [2 ]发表了高峰老师关于三角形内接正三角形的个数问题的一般结论及证明 .笔者对两位老师的工作表示敬意 .但两文的证明亟待改进 ,笔者在此给出更为简明的证法 ,与广大读者及二位老师共享 .定理 1　若ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,则ｘｍ(ｘｎ-ｙｎ) ｙｍ(ｙｎ-ｚｎ) ｚｍ(ｚｎ-ｘｎ)≥ 0 ( 1)其中ｍ·ｎ≥ 0 ;当ｍ·ｎ≤ 0时 ,不等式 ( 1)反向 .等号当且仅当ｘ =ｙ =ｚ或ｍ =0或ｎ =0时成立 .本定理利用著名的排序不等式即刻可证 ,证法如下 :证　由函数ｘａ(ｘ∈Ｒ )的单调性 ,取两…     

条件最值（不等式）问题的一种解（证）法

求条件最值及证明条件不等式问题 ,情形复杂 ,解法灵活 ,技巧性强 ,是学习的难点之一 .本文运用平均值不等式及柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式推导出几个条件不等式 ,并举例说明它们在求条件最值及证明条件不等式方面的一些应用 ,供大家参考 .1　若ａｉ,ｘｉ∈Ｒ (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,且 ｎｉ=1ａｉｘｉ=ｋ ,则1) ｎｉ =1ｘｉ≥ 1ｋ ( ｎｉ=1ａｉ) 2 (ｎ∈Ｎ) ( 1)2 ) ｎｉ =1ａｎ≤ｋ ｎｉ=1ｘｉ(ｎ∈Ｎ) ( 2 )证　 1)∵ ｎｉ =1ａｉｘｉ=ｋ ,　∴ ｎｉ=1ｘｉ =1ｋ· ｎｉ =1ｘｉ· ｎｉ =1ａｉｘｉ≥ 1ｋ( ｎｉ=1ｘｉ·ａｉｘｉ) 2 =…     

微积分在数列求和中的应用

数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一 ,有许多初等解决方法 .本文探讨的是运用微积分知识进行数列求和的基本方法 ,从中可见高等数学与初等数学的密切联系 .1　微分知识在数列求和中的应用首先证明一个等式 :1 ｘ ｘ2 … ｘｎ =Ｃ1 ｎ 1 Ｃ2 ｎ 1 (ｘ - 1 ) Ｃ3ｎ 1 (ｘ- 1 ) 2 … Ｃｎ 1 ｎ 1 (ｘ- 1 ) ｎ事实上利用二项式定理有 :ｘｎ 1 =[1 (ｘ- 1 ) ]ｎ 1 =1 Ｃ1 ｎ 1 (ｘ - 1 ) Ｃ2 ｎ 1 (ｘ- 1 ) 2 … ｃｎ 1 ｎ 1 (ｘ- 1 ) ｎ 1而 :(ｘ - 1 ) (1 ｘ ｘ2 … ｘｎ) =ｘｎ 1 -1因而 :(ｘ- 1 ) (1 ｘ ｘ2 …ｘｎ) …     

用物理知识解数学问题举例

有些数学问题是由物理问题抽象得到的 ,或蕴含有物理意义 ,我们在解决这些问题时利用一个物理装置把数学问题物理化 ,常会出现一些有趣的巧法 .例 1　设 {ａｎ}为等差数列 ,Ｓｎ 1为其前ｎ 1项的和 ,求证 :ａ1Ｃ0 ｎ ａ2 Ｃ1ｎ ａ3Ｃ2 ｎ … ａｎ 1Ｃｎｎ=Ｓｎ 1ｎ 1·2 ｎ.证　设数列 {ａｎ}的公差为ｄ ,当ｄ =0时 ,由组合数性质知结论成立 .当ｄ >0时 ,ａ1<ａ2 <… <ａｎ 1,如图 1,考虑数轴上坐标为图 1　数轴ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 1的点 ,在ａｉ 处对应放置质量为Ｃｉ- 1ｎ (ｉ=1,2 ,… ,ｎ 1)的质点 ,由于ａｉ 1-ａｉ=ｄ ,Ｃ…