中国古代数学的瑰宝——杨辉三角

图1是一个非凡的图形.它刊载于七百多年前南宋数学家杨辉著的《详解九章算法》书中(1261年),我们称它为杨辉三角.杨辉还在书中说,这个图出自于贾宪的《释锁》算书.可惜贾宪的书失传了.在西方的一些数学史著作中,却把这个图称为“帕斯卡三角”,认为是法国数学家帕斯卡(Ｐａｓｃａｌ,1623—1662)于1645年首创的.其实,继杨辉之后,中国元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303)中用过这个图形.中亚细亚的阿尔.卡希(Ａｌｋａｓｈｉ)于1427年、德国数学家阿卜亚鲁斯(Ａｐｉａｎｕｓ)于1527年也用过这个图形,但这些都比杨辉或贾宪要迟很长一段时间.这…     

一组培养空间想象能力的基本训练题

初学立体几何时,大多数的学员都不能很好地树立空间概念。作题时,往往不能根据题意画出图形。对题目所给出的图也看不明白。根据这一情况,我编写了“空问想象能力培养五十题”在教学中配合使用。通过“由图答题”、“由题求图”、“图形对比、辨别正误”、“添补、交     

借形解题中图象错觉引起的失误探究

数形结合是中学数学中基本而重要的思想方法之一 ,借助图形的直观、形象、简捷 ,可以轻松解决一些抽象的问题 .但在实践中也深深体会到 ,图形如水 ,它既可载舟 ,也可覆舟 .因此无论是教师在教学 ,还是学生在学习应用中 ,都要能充分意识到 :当图形画得不准确时 ,易因错觉造成后继思维障碍或错误 ;当图画得比较准确时 (事实上绝对准确的图象是不存在的 ) ,易被图形的假象所迷惑 ,从而得出“由图可知”这种所谓不证自明的结论 ,产生“经验性”错误 .1　函数中的图形错觉引起的失误例 1　问 y =ax 与 y =x两函数图象的交点情况怎样 ?长期以来 ,…     

类比迁移 提升能力 落实素养——“确定圆的条件”的教学设计与思考

<正>1 教材内容分析义务教育阶段数学课程内容由数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个学习领域组成.初中阶段,图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题.圆是平面几何中基本的图形之一,它不仅在“图形与几何”领域中有着重要地位,而且是进一步学习其他数学知识的重要基础.《义务教育数学课程标准(2022年版)》对圆有10点要求,其中“④了解三角形的内心与外心.     

珠算的若干定义和分类(续)

表6免升制珠算—用九珠算盘二升制珠算-—用四、一珠算盘或用五、一珠算盘(一、五盘算盘的倒盘)作代用盘。三升制珠算—用十二进三升算盘(三、二珠算盘)、十二进四升算盘(二、三珠算盘) 或二、五珠算盘作代用盘。四升制珠算—用十二进制四升算盘(二、三珠算盘)或用一、五珠算盘,二、五珠算盘 作代用盘。十进制珠算 {五升制珠算……用一、四珠算盘或以一、五珠,二、五珠算盘作代用盘。非十进二进制珠算一一用一珠算盘非二进制珠算算珠制….12、11‘eses.戈 珠算传统珠算(明清珠算)算…非传统珠算 {(现代珠算) 表71、在时期上,一般出现或通行…     

数学高考答题失误的研究

数学高考答题失误的研究罗增儒（陕西师范大学数学系７１００６２）高考答题存在三种情况：满分、零分、部分分．满分是会做并且做对了，零分是没有回答或回答全错了，部分分是：“会而不对、对而不全”．有的考生并不缺乏基本功，拿到考题也能上手，但在正确的思路上或是...     

发掘课本潜力提高复习效果

在《不等式》一章复习中,我选用课本习题;求。|x+1/x|≥2(x≠0)。在引导学生深入探讨时,串联基础知识、探寻解题技巧、发展思维能力,效果较好。一、复习“基础”请四位同学板书各自在学习“含有绝对值的不等式”时对此题的证明: (1)“用同号两数和的绝对值等于两数绝对值的和”与基本不等式证; (2)用x~2≥a~2(a>0)则|x|≥a证; (3)等价推证;     

2012年中考专题复习(11)——“图形与坐标”

正图形与坐标是中考考试的重要内容,这部分知识在中考中呈现的方式既包括选择题、填空题,又包括解答题的题型,本文所含知识内容特指:(1)平面直角坐标系;(2)图形变换;(3)特殊几何图形(或特殊背景)的特殊点所对应直角坐标系里的坐标.为了帮助同学们在中考复习中比较清晰、有效地掌握这块知识,现对这部分知识总结如下:     

直线与圆相切的判定

在直线与圆的位置关系中 ,相切关系很重要 .要掌握“切线证明”的思路和方法 ,首先要搞清切线的判定方法有哪些 ?切线的判定方法有 :①直线l与⊙O有且只有一个交点时 ,直线l与⊙O相切 .②圆心O到l的距离d =r ,则直线l与⊙O相切 .③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线 .综合起来有两类 :(1)已知垂直 ,证半径或作垂线证半径 .(2 )已知半径 ,证垂直或连半径证垂直 .现分别举例说明 :第一类 :已知垂直 ,只需证半径 .如果所给直线不知过不过圆上某点 ,其证明方法是“作垂直 ,证半径” .例 1如图 ,在Rt△ABC中 ,∠B =90° ,∠A的平分…     

由具体数学向形式数学的第一次转折——“正数和负数”课堂教学实录及解析

基于“四度六步”教学法的理论基础与实践架构,采用“温故—引新—探究—变式—尝试—提升”六步教学模式,设计“正数和负数”一课,创造“有温度、有梯度、有深度、有宽度”的四度精彩课堂.     

平面向量架桥梁

平面向量给我们提供了一种研究问题的有效方法. 一、基底法用基底法来解证问题(主要是平面几何问题),一般可分为三个步骤: 第一步:在所论平面图形中选取两条(或多条)不共线的线段分别表示向量a、b(或a、b、c等);     

注重综合实践活动,培养学生探究能力——兼对课题“黄金分割与五角星”的教学研究介绍

《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称“课标2011年版”)在各学段中,都安排了四个部分的课程内容:“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”.并且进一步解释指出,“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.在学习活动中,学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题.可见,“综合与实践”活动不是要求学生去解答一道或几道简单的数学题,而是一系列能引导学生经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等数学活动的问题串.     

全国首届珠心算网络答题活动成功举办

2020年12月26日~27日,由中国珠算心算协会(以下简称中珠协)主办,中国财政科学研究院珠心算研究院协办,北京财科珠峰科技有限公司承办的"2020年全国首届珠心算网络答题活动"成功举办。本次答题活动共有来自全国29个省(市、自治区),985支代表队,4943名选手报名参加,共分东、西、南、北四个活动区。     

数学归纳法的证题技巧

通常那些直接或间接与自然数ｎ有关的命题可考虑运用数学归纳法来证明 .除第一归纳法和第二归纳法外 ,还有跳跃数学归纳法 :设Ｐ(ｎ)是关于自然数ｎ的命题 ,若1°　Ｐ( 1) ,Ｐ( 2 ) ,… ,Ｐ(ｌ)成立 ;2°　假设Ｐ(ｋ)成立 ,可以推出Ｐ(ｋ 1)成立 ,则Ｐ(ｎ)对一切自然数ｎ都成立 .每种形式的数学归纳法都由两步组成 :“奠基”和“归纳” ,两步缺一不可 .在“归纳”的过程中必须用到“归纳假设”这一不可缺少的前提 .利用数学归纳法证题有如下技巧 .1　“起点前移”或“起点后移” :有些关于自然数ｎ的命题Ｐ(ｎ) ,验证Ｐ( 1)比较困难 ,或者…     

求离散点最佳逼近直线的有限步算法

本文所给的有限步算法,在不计舍入误差时是精确的.同若干资料上介绍的算例相比,其计算量要小得多.求解时,先用某种易行的方法建立近似的初始直线,然后作有限步(一般只须一步)校正,校正方法是本算法的关键.本文先给出该算法的具体步骤,然后进行了严格的论证,最后给出一个简单的算例.     

心中有答案 答题有章法

本文结合近几年国内外各类数学竞赛中与不等式相关的最值(范围)问题,阐述"心中有答案,答题有章法"的解题观,即利用合情推理"换一个角度"思考问题、分析问题、解决问题.     

对高中数学答题规范性问题的思考

笔者有幸参与了高三数学学业水平测试的阅卷工作.在本次阅卷中,笔者接触到来自不同学校、不同层次学生的大量试卷,了解到他们的答题情况,在数学答题的规范性方面产生了一些想法.本次阅卷笔者批阅的是第二道解答题,一道较为常规的二次函数最值题.在按照评分标准进行批阅的过程中,发现学生在答题的规范性方面问题较大,能够扣住得分点进行答题的学生不到百分之五,因此而被扣分的大有人在.笔者结合学生答题过程中的一些问题进行分析,期望引起同仁的重视,给莘莘学子提个醒.     

数学归纳法应用功能的拓广

人们通常认为 ,数学归纳法用于证明与自然数有关的命题 ,采用的是等距的“间断归纳”(第二步无限递推从n =k命题成立 ,推出n =k+1时命题成立) ,是否存在等距的(或不等距的 )“连续归纳”?一、连续归纳证不等式一例下面抛砖引玉 ,以一个不等式的证明对此作出了正面的回答 ,希望有兴趣的读者继续研究 ,探索发现“连续归纳”更多的应用 .例　证明不等式 :2 x>97x2 ,x∈ (6,+∞ )证明　 (6,+∞ ) =(6,7]∪(7,8]∪…∪ (n ,n+1 ]∪… ,x∈ (6 ,7]时 ,2 x>2 6=64,97x2 ≤ 97× 72 =63,这就证明了n =6 ,x∈[6,7)时不等式 2 x>97x2 成立 ;假设n =k时…     

比较法在证明不等式中的应用

<正>比较法是证明不等式的最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是把难以比较的式子变成与0比较大小或其商与1比较大小.当欲证的不等式两端是多项式(或分式)时,常用作差比较法,当欲证的不等式两端是乘积形式(或幂指数形式)时,常用作商比较.     

t分布的概率密度近似于N(0,1)分布的一种证法

<正> 在概率论与数理统计中,t 分布是一种重要的分布。在一些概率论及数理统计的教材中谈到t 分布的性质时部指出“当”充分大时,t 分布的图形类似于标准正态分布的概率密度函数的图形”.“当n 较大时,t 分布的分布函数的Z 处的值近似等于N(0.1)分布函数的值。”事实上.设t(n)分布的概率密度函数为