对一个方程根的分布问题的修正

已知含参数的方程的解在某个区间内或在某个区间内有解 ,求方程中参数的取值范围是一类常见问题 ,文 [1 ]中就有一个关于这类问题的例子 ,现将该例及其解答摘录如下 :关于ｘ的方程 :ｌｏｇ4ｘ2 =ｌｏｇ2 (ｘ + 4 ) -ｔ的根在 ( - 2 ,- 1 )内 ,则实数ｔ∈　　　　　　 .解　因为 - 2 <ｘ<- 1所以ｔ =ｌｏｇ2ｘ+ 4-ｘ=ｌｏｇ2 ( - 1 - 4ｘ) ∈ ( 0 ,ｌｏｇ2 3)或求出ｘ =- 42 ｔ+ 1 ,解不等式 - 2 <- 42 ｔ+ 1 <- 1得 :ｔ∈ ( 0 ,ｌｏｇ2 3)笔者以为 :上面的解法是错误的 .这是因为 ,方程ｌｏｇ4ｘ2 =ｌｏｇ2 (ｘ + 4 ) -ｔ与方程ｔ=ｌｏｇ2ｘ…     

动与静的思索

1　以动求静事物的静止状态只是相对的 ,是运动的一种特殊表现形式 ,在一定的条件下 ,它会向显著变动的方向转化 .有的数学问题 ,在静态下虽然可得结果 ,但往往较繁 .如果变静态为动态 ,即通过变动的、一般的状态来考察确定的、特殊的情形 ,有时会收到奇妙的效果 .例 1　解方程ｘ2 6ｘ- 1 1 - ｘ2 - 6ｘ 1 1 =2 5分析　这是一个无理方程 ,按常规要经过两次移项且两边平方后才能全部脱去根号 ,转化为有理方程求解 ,过程繁杂 .若把方程化为(ｘ 3 ) 2 2 - (ｘ - 3 ) 2 2 =2 5 ,而把方程中的常数“2”暂时看作变量 ,即设 2 =ｙ2 ,则有(ｘ 3 …     

一道三角题的三种解法

题目　方程 3ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ =ｍ在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解 ,求实数ｍ的范围 .图 1　解法 1图解法 1　 (数形结合思想 )原方程可变为ｓｉｎ(ｘ π6) =ｍ2 .设 ｙ1=ｓｉｎ(ｘ π6) ,ｘ∈ ( 0 ,π) ,ｙ2 =ｍ2 .在同一直角坐标系中作出其图象 (如图 ) .原方程在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解等价于两函数的图象有两个交点 .则有 12 <ｍ2 <1,∴ 1<ｍ <2 .解法 2　 (函数思想 )设ｃｏｓｘ =ｔ,∵ｘ∈ ( 0 ,π) ,∴ｔ =ｃｏｓｘ∈ ( - 1,1) ,ｓｉｎｘ =1-ｃｏｓ2 ｘ =1-ｔ2 .原方程变为 3· 1-ｔ2 ｔ=ｍ .∴ 3( 1-ｔ2 ) =ｍ -…     

破常规巧解三元一次方程组

解三元一次方程组 ,最基本最常用的方法是 :代入法和加减法 .我在学习这部分内容时 ,发现课本上有两道题 ,可破常规巧解 .解方程组ｘ∶ｙ=3∶2 ,ｙ∶ｚ =5∶4,ｘ +ｙ +ｚ=6 6 .(义教《代数》第一册 (下 )Ｐ3 1Ｂ组 1 ( 1 ) )解析　原方程组中前两个方程只含两个未知数 ,可用“双代入法” ,即把这两方程中的两个未知数都用第三个未知数表示 ,然后代入到第三个方程中去求解 .解　原方程组可化为2ｘ -3 ｙ=04ｙ -5ｚ =0ｘ +ｙ +ｚ=6 6①②③由①得　ｘ =32 ｙ ④由②得　ｚ=45ｙ ⑤把④、⑤分别代入③得32 ｙ +45ｙ +ｙ=6 6 ,解得　ｙ =2 0 .把…     

方程思想在解三角问题中的运用

我在学习的过程中 ,发现一些三角函数问题可以利用方程的思想来解决 ,避免了由于公式不熟或其它原因造成的错误 .以下举例说明 .例 1　已知 2ｓｉｎ2 ｘ -ｃｏｓ2 ｘ +ｓｉｎｘｃｏｓｘ - 6ｓｉｎｘ +3ｃｏｓｘ =0 ,求解 2ｃｏｓ2 ｘ +ｓｉｎ2ｘ1+ｔａｎｘ 的值 .解　观察已知条件 ,可把等式看作关于ｃｏｓｘ的一个方程 :-ｃｏｓ2 ｘ + (ｓｉｎｘ + 3)ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ(ｓｉｎｘ - 3) =0 ,即 (-ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ) (ｃｏｓｘ +ｓｉｎｘ - 3) =0 .∵ｃｏｓｘ +ｓｉｎｘ - 3≠ 0 ,∴ -ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ =0 ,得ｔａｎｘ =12 .又由　…     

一个方程的几种解法

问题　同学们 ,你会解方程ｘ =2 2 ｘ吗 ?请动笔一试 .解法 1(平方法 )　这是一个无理方程 ,早在读初中的时候 ,同学们就知道无理方程可以通过两边平方将原方程转化为多项式方程 ,从而得 :(ｘ2 - 2 ) 2 - 2 -ｘ =0解这个四次方程 ,可求得ｘ1=- 1- 52 ,ｘ2 =- 1,ｘ3=- 1 52 ,ｘ4 =2 .经检验 ,原方程的根为ｘ =2 .本解法很自然 ,但有一个明显的缺点就是转化后所得的多项式方程次数太高 ,不利于求解 ,也于解法的推广不利 .还有别的解法吗 ?进高中学了不等式性质和熟悉反证法后 ,我们想到 :解法 2 (反证法 )　直接观察就知ｘ =2是原方程的一个…     

判别式法求值域要注意的问题

对于形如 ｙ =ａ1 ｘ2 +ｂ1 ｘ +ｃ1 ａ2 ｘ2 +ｂ2 ｘ +ｃ2(ａ1 ａ2 ≠ 0 )的函数的值域 ,我们一般采用判别式法求解 ,但在用这种方法求解的时候 ,有一个问题需要加以注意 ,否则 ,将会得到错误的结论 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1的值域 .错解　将原函数变形ｙ(ｘ2 -1) =ｘ2 -3ｘ + 2 ,整理成关于ｘ的方程(ｙ -1)ｘ2 + 3ｘ -(ｙ + 2 ) =0 ,1.ｙ -1=0 ,即ｙ =1,也即　ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1=1,该方程无解 ,故ｙ≠ 1.2 .ｙ -1≠ 0 ,即 ｙ≠ 1,得到关于ｘ的一元二次方程 .要使方程有解 ,则Δ =32 + 4 (ｙ -1) (ｙ + 2 )≥ 0 ,即 (2ｙ + 1…     

需分类求解的一元二次方程

一元二次方程历来是中考命题的热点 ,而一些需分类求解的一元二次方程又极易让同学们失分 .故本文选取几例加以剖析 ,以期引起同学们的重视 .一、对二次项系数需分类求解例 1　若关于ｘ的方程 (1-ｍ2 )ｘ2 +2ｍｘ -1=0的所有根都是比 1小的正实数 ,则实数ｍ的取值范围是 .分析　 (1)若 1-ｍ2 =0 ,即ｍ =± 1时 ,原方程为为一次方程± 2ｘ -1=0 .①当ｍ =1时 ,方程为 2ｘ -1=0 ,得ｘ =12 ,符合题意 .②当ｍ =-1时 ,方程为 -2ｘ -1=0 ,得ｘ =-12 ,不符合题意 .(2 )当 1-ｍ2 ≠ 0 ,即ｍ≠± 1时 ,∵Δ=4ｍ2 + 4(1-ｍ2 ) =4>0 ,其二根为ｘ1 =1ｍ…     

2002年全国各地高考数学模拟试题集锦函数、不等式、数列

(接第 1 8期Ｐ48)　　解答题1.由 ｆ(2 ) =ｇ(2 ) - 1知点 (2 ,1)是两函数图象的公共点 .假定 ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ)的图象还有一个公共点(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则 ｆ(ｘ0 ) =ｇ(ｘ0 ) =ｙ0 (1) ,ｌｇ3(1+ｘ0 ) =ｌｏｇ2 ｘ0 (ｘ0 >0 )即 1+ｘ0 =3ｌｏｇ2 ｘ0 ,即 1+ 2 ｌｏｇ2 ｘ0 =3ｌｏｇ2 ｘ0 ,令ｔ =ｌｏｇ2 ｘ0 ,∴ 1+ 2 ｔ=3ｔ,∴ (13) ｔ+ (23) ｔ=1(2 ) ,而 (13) ｔ+ (23) ｔ 为单调递减函数 ,故 (2 )仅一解ｔ =1,从而 (1)只有唯一解ｘ0 =2 .2 .1)由已知 ,将函数 ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ + 1)进行坐标变换ｘ→ｘ + 1,ｙ→ ｙ2 . 得 ｙ2 =ｌｏｇ2 (ｘ + 1…     

用平移变换巧解一类对称问题

关于直线 ｙ =±ｘ ｂ (ｂ≠ 0 )对称的问题 ,常规思路是直接用“垂线法”求解 ,虽思路自然 ,但运算烦琐 .若通过平移变换 ,转化为关于直线 ｙ′=±ｘ′对称的问题 ,则将减少运算量 ,轻松获解 .例 1　求点Ａ(5 ,3 )关于直线ｌ:ｙ =ｘ 1的对称点Ｂ的坐标 .解　作平移变换　ｙ′=ｙ ,ｘ′=ｘ 1 .在新坐标系下 ,点Ａ的坐标为 (6,3 ) ,它关于 ｙ′=ｘ′的对称点为 (3 ,6) .∴在原坐标系下 ,所求对称点Ｂ的坐标为 (2 ,6) .例 2　已知ｌ1和ｌ2 的夹角的平分线为2ｘ 2 ｙ 1 =0 ,如果ｌ1的方程为 3ｘ - 4 ｙ -1 2 =0 ,求ｌ2 的方程 .解　∵ 2ｘ…     

上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试数学试题

一、填空题 (本大题共 14题 ,每题 2分 ,满分 2 8分 )1.计算 :( 12 ) -2 =.2 .如果分式 ｘ + 3ｘ - 2 无意义 ,那么ｘ =.3.在张江高科技园区的上海超级计算中心内 ,被称为“神威 1”的计算机运算速度为每秒 384 0 0 0 0 0 0 0 0 0次 ,这个速度用科学记数法表示为每秒次 .4 .方程 2ｘ2 - 1=ｘ的根是 .5.抛物线 ｙ =ｘ2 - 6ｘ + 3的顶点坐标是 .6 .如果 ｆ(ｘ) =ｋｘ ,ｆ( 2 ) =- 4,那么ｋ =.7.在方程ｘ2 + 1ｘ2 - 3ｘ=3ｘ - 4中 ,如果设 ｙ =ｘ2- 3ｘ ,那么原方程可化为关于ｙ的整式方程是.8.某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额…     

上期课外练习解答

高一年级1.Ｂ ={ｍ ,ｎ},Ｃ ={ ,{ｍ},{ｎ},{ｍ ,ｎ}}.2 .设ａ→ =(ｘ1 ,ｙ1 ) ,ｂ→ =(ｘ2 ,ｙ2 ) ,ｃ→ =(ｘ3 ,ｙ3 ) ,则原方程可化为ｘ1 ｘ2 +ｘ2 ｘ+ｘ3 =0ｙ1 ｘ2 +ｙ2 ｘ+ｙ3 =0①②∵　ａ→ ,ｂ→ 不共线 ,即ａ→ 与ｂ→ 都不能为零向量 .∴　ｘ1 ,ｙ1 不同时为零 .( 1)若ｘ1 与ｙ1 中有一个为 0时 ,不妨设ｘ1 =0 .则由ａ→ ,ｂ→ 不共线知 ,ｘ2 ≠ 0 ,由①得ｘ =- ｘ1 ｘ2.这可能是②的解或不是②的解 ,即方程须有一组解或无解 .( 2 )若ｘ1 与ｙ1 都不为 0时 ,由① ,②解得ｘ =ｘ1 ｙ3 -ｘ3 ｙ1 ｘ2 ｙ1 -ｘ1 ｙ2.(唯一解 )综上 …     

初三代数第一学期期中自测题

Ａ组一.填空题(每小题2分,共20分)1.方程ｘ2-5ｘ=0的根是.2.已知方程2ｘ2+ｋｘ-6=0的一个根为-3,则另一个根为;ｋ=.3.已知ｘ满足ｘ2-3ｘ+1=0,则ｘ+1ｘ的值为.4.已知三角形的两边长是4和7,第三边长是方程ｘ2-16ｘ+55=0的根,则第三边的长是.5.如果(3ｋ+1)ｘ2+2ｋｘ=-3是关于ｘ的一元二次方程,那么不等式ｋ-12≥4ｋ+13-1的解集为.6.把方程ｘ2-4ｘ-7=0的左边配成一个完全平方式时,得.7.已知ａ,ｂ,ｃ是△ＡＢＣ三条边的长,那么,方程ｃｘ2+(ａ+ｂ)ｘ+ｃ4=0的根的情况为.8.如果方程13ｘ2-2ｘ+ａ=0有实数根,那么ａ的取值范围是.9.若对任何实数ｘ,分…     

数学问题解答

131.解方程:x~3 2(3~(1/2))x~2 3x 3~(1/2)-1=0解:令3~(1/2)=a则原方程变形为: x~3 2ax~2 a~2x a-1=0 即 xa~2(2x~2 1)a x~3-1=0 由于x=0非原方程的解,解关于a的二次方程得:     

关于直线的对称问题

在涉及点或曲线关于直线对称的问题 ,一般运用中垂线的性质列出方程联立求解 .不过 ,此法一般运算量大 ,出错率高 .如果利用下述对称点坐标公式 ,则可简化求解过程 ,迅速得出结论 .设曲线ｃ:Ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (ＡＢ≠ 0 )的对称曲线为ｃ′ ,点Ａ(ｘ ,ｙ)∈ｃ关于ｌ的对称点为Ａ′(ｘ′,ｙ′)∈ｃ′,则ｙ - ｙ′ｘ -ｘ′·(- ＡＢ) =- 1 ,又　 Ａ(ｘ ｘ′)2 Ｂ(ｙ ｙ′)2 Ｃ =0 ,解得 ｘ′ =ｘ Ａｔｙ′=ｙ Ｂｔ (其中ｔ =- 2 (Ａｘ Ｂｙ Ｃ)Ａ2 Ｂ2 ) (1 )于是 ,曲线ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于直线ｌ:Ａｘ Ｂ…     

约分时应注意公因式的取值范围

许多同学碰到等式或不等式两边有公因式时 ,不管公因式的取值范围如何就马上约去 ,从而造成解题失误 .请看下面例子 .例 1( 1990年高考试题 )方程ｓｉｎ2ｘ =ｓｉｎｘ在区间 ( 0 ,2π)内的解的个数是 (　　 )(Ａ) 1.　 (Ｂ) 2 .　 (Ｃ) 3.　 (Ｄ) 4 .误解 :原方程可化为　　　　 2ｓｉｎｘｃｏｓｘ =ｓｉｎｘ ( 1)两边约去ｓｉｎｘ ,得 2ｃｏｓｘ =1,即ｃｏｓｘ =12 ,∵ｘ∈( 0 ,2π) ,∴ｘ =π3或5π3,故应选 (Ｂ) .辨析　∵ｓｉｎｘ =0在 ( 0 ,2π)内有解ｘ =π ,∴等式 ( 1)两边约去了公因式ｓｉｎｘ ,就导致失去解ｘ =π .此题应选 (Ｃ)…     

将方程组x=x_0 at y=y_0 bt(t为参数)化为标准式

对求直线ｌ:ｘ =1 2ｔｙ =2 - 3ｔ(ｔ为参数 )与抛物线ｙ2 =3ｘ相交所得弦长 |Ｐ1 Ｐ2 |的问题 ,发现有的同学采用了如下解法 :将直线ｌ的参数方程代入 ｙ2 =3ｘ ,整理 ,得9ｔ2 - 18ｔ 1=0 .其两根ｔ1 ,ｔ2 ,则|Ｐ1 Ｐ2 | =|ｔ1 -ｔ2 |=(ｔ1 ｔ2 ) 2 - 4ｔ1 ｔ2=2 2 - 4× 19=4 23.不难检验解答是错误的 ,正确的答案为|Ｐ1 Ｐ2 | =4 2 63.为什么会出现这种错误 ?这需要正本清源 ,从头说起 .大家知道 ,经过定点Ｍ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,倾角为α的直线的参数方程为ｘ =ｘ0 ｔｃｏｓαｙ =ｙ0 ｔｓｉｎα (ｔ为参数 ) ( 1)( 1)式叫做直线的点斜…     

解方程的“常元法”

在解高于2次的方程时,往往因未知数的次数较高,使得求解过程比较复杂。为了避免这种情况出现,可以采取这样一种办法,把未知数暂时当作常数处理,而把某一次数较低的特殊常数作为元,得到这个常数元用未知数的代数式表示的方程,再解此方程,从而求出原方程的解。我们把这种常数作元解方程的方法,简称为常元法。现举几例说明这种方法的应用。     

极坐标中常见错误浅析

同学们在学习极坐标时 ,由于受直角坐标学习中形成的思维定势的影响 ,常犯下述几种错误 ,现剖析如下 ,望能引起同学们注意 .1　忽视极点的极角可取任意值致误例 1　化直角坐标方程 2ｘ - 5ｙ =0为极坐标方程 (必修课本Ｐ1 3 5 第 3( 3)题 ) .错解 :当ｘ≠ 0时 ,由 2ｘ - 5ｙ =0得 ｙｘ =25,即ｔｇθ =25;当ｘ =0时 ,ｙ =0 ,从而 ρ =ｘ2 ｙ2 =0 .故所求极坐标方程为ｔｇθ =25或 ρ =0 .分析 :这个解法虽没有什么“原则性”错误 ,但“ρ= 0”却是一只“蛇足” ,应截去 .事实上 ,由于极点的极角可以取任意值 ,在这些值中 ,必有一个能满足ｔ…     

2003年第一期初中数学问题解答

一、求方程ｘ2 - 3ｘ + ｐ =0的整数根 ,其中ｐ为质数 .解 :令△ =( - 3) 2 - 4ｐ≥ 0 ,则 4ｐ≤ 9.∴ ｐ≤ 2 14 .∵ ｐ为质数 ,∴ｐ =2 .∴ｘ2 - 3ｘ + 2 =0 .解得ｘ1 =1,ｘ2 =2 .二、实数ｘ与ｙ,使得ｘ + ｙ,ｘ -ｙ ,ｘｙ ,ｘｙ 四个数中的三个有相同的数值 .求出所有具有这样性质的数对(ｘ ,ｙ) .解 :由于 ｘｙ 有意义 ,所以ｙ≠ 0 ,从而ｘ + ｙ≠ｘ -ｙ .因此 ,ｘｙ =ｘｙ ,即ｘｙ2 -ｘ =0 .所以ｘ =0或ｙ =± 1.( 1)若ｘ =0 ,则由ｘｙ =ｘ +ｙ或ｘｙ =ｘ -ｙ得 ｙ =0 ,这样与 ｙ≠ 0矛盾 .( 2 )若 ｙ =1,则由ｘｙ =ｘ + ｙ得ｘ =ｘ + …