坐标法

解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学分支 .为此 ,我们必须将几何学中的基本元素———点 ,与代数学中的基本对象———数结合起来 .坐标法正好实现了这一目的 ,它用代数方法处理几何问题 ,用几何直观研究代数问题 ,使得数和形达到了有机的结合 .1　基本知识　包括两点间距离公式、线段定比分点的坐标公式及曲线和方程的概念 .具体内容见教材 .2　应用举例例 1　设△ＡＢＣ的三边长为ａ ,ｂ,ｃ,ＢＣ边上的中线长为ｍａ,证明 :ｍ2 ａ=12 ｂ2 12 ｃ2 - 14ａ2 .证　在直角平面坐标系中 ,设Ａ(ｘＡ,ｙＡ) ,Ｂ(ｘＢ,ｙＢ) ,Ｃ(ｘＣ,ｙ…     

构建几何模型解代数问题的几种化归途径

<正>在解析几何中,通过建立平面直角坐标系可以把许多几何问题转化为代数问题,用代数的方法去解决几何问题,解起来方便、简捷,这就是所谓的以"数"代"形".同样,对于许多代数问题,如果其本身具有某些明显的结构特征,也能够将它转化成解析几何问题,从而可以借助于解析几何中的有关公式、性质、图形特点以及图形与图形间的位置关系来探索解法.下面介绍几种最常见的构建解析几何模型     

设而不求的若干途径

平面解析几何是在平面坐标系的基础上,借助代数方法来研究几何问题的一门数学学科,因此代数运算便不可避免地出现在解析几何的解题过程之中,若方法不当,就会使解题过程繁琐冗长,直接影响解题速度和结果的准确性．如何避免非必要的运算,简化解题过程呢？在解析几何中用设而不求的方法可简化运算．１　应用曲线和方程的关系例１　求经过两条曲线ｘ２＋ｙ２＋３ｘ－ｙ＝０和３ｘ２＋３ｙ２＋２ｘ＋ｙ＝０交点的直线的方程．分析　一般的解法是求出两曲线的交点坐标,再写出所求的直线方程．显然运算较繁,若应用设而不求的思想有如下解法…     

活用解析法探求无理函数值域

数形结合是一个极富数学特点的信息转换 ,解析法则是这一数学思想的重要体现 .在处理某些无理函数值域时 ,我们可依据问题的结构特征 ,挖掘出潜在的几何背景 ,借助于坐标系 ,将有序数对 (x,y)与平面上的点构成对应 ,进而 ,通过图形的性质来说明代数事实 .用此方法 (解析法 )解题 ,思路清晰 ,过程简捷 ,有助于培养学生的形象思维 ,提高解题能力 ,且对学生认知结构的优化 ,创新能力的培养也大有裨益 .现举例如下 .1　利用直线的斜率求值域对一类能化归为形如cy dax b的函数的值域 ,若理解成过定点 M(- ba,- dc)与动点N (x,y)连线的斜率 ,则…     

两种类型二元三角方程的图形的描绘

在中学数学里 ,我们讨论了ｙ =ｓｉｎｘ、ｙ =ｃｏｓｘ等特殊二元三角方程的作图方法 ,在 2 0 0 0年全国高考试卷中 ,出现了二元三角方程ｙ =-ｘｃｏｓｘ的图形 ,在这里我们通过例题讨论另两类二元三角方程的作图方法 ,通过讨论这两类二元三角方程的作图 ,可以加深对三角知识的理解 ,加强三角知识和平面解析几何知识之间的联系 ,也可以提高师生的作图技能 .1　形如Ｆ(ｃｏｓωｘ ,ｓｉｎｕｘ) =0的方程的图形例 1　画出在 0≤ｘ≤ 2π ,0 ≤ｙ≤ 2π范围内ｓｉｎ2 2ｘ ｃｏｓ2 ｙ =1的图形 .解　∵ｃｏｓ2 ｙ=1 -ｓｉｎ2 2ｘ,∴ｃｏｓ2 ｙ=…     

求解代数问题的常用解析几何模型

解题几何是数形结合的典型范例 ,它是通过坐标系的建立 ,将几何问题转化为代数问题来处理 ,反过来 ,很多代数问题利用解析几何理论 ,可转化为几何问题来处理 .本文结合例题介绍几种常用的解析几何模型 ,供学习时参考 .1　距离模型例 1　已知ｘ ,ｙ∈Ｒ ,且ｘ2 ｙ2 =2 ,求ｘ2 ｙ2 6ｘ 2 ｙ 10的最大值和最小值 .图 1　例 1图解　因ｘ2 ｙ2 6ｘ 2ｙ 10 =(ｘ 3) 2 (ｙ 1) 2 表示圆ｘ2 ｙ2 =2上的动点Ｐ (ｘ ,ｙ)到定点Ｑ( - 3,- 1)的距离的平方 .由图 1可知 ,连结ＯＱ交圆于两点Ｐ1 ,Ｐ2 ,则所求式子的最大值为 |ＱＰ2 | …     

利用向量处理解析几何问题

平面向量是新编高中数学试验教材中新增加的内容 .平面向量既具有几何的“形” ,又具有代数“数” ,既是数学中的一种运算对象 ,又是一种解决数学问题和物理问题的运算工具和方法 .下面举例说明向量在解析几何问题中的应用 .利用向量知识处理解析几何问题的方法是 :把与解题有关的线段看作平面向量 ,并用坐标表示之 ;利用平面向量的有关定理、公式列出方程 ,解出结果 .例 1　 (2 0 0 1年高考广东、河南卷 14题 )双曲线ｘ29-ｙ216=1的两个焦点为Ｆ1 、Ｆ2 ,点Ｐ在双曲线上 .若ＰＦ1 ⊥ＰＦ2 ,则点Ｐ到ｘ轴的距离为 .分析　求点Ｐ到ｘ轴的距离…     

基于初中数学核心概念及其思想方法的概念教学——以“平面直角坐标系(1)”的教学设计为例

一、教学选题的背景 “平面直角坐标系”是上海教育出版社七年级第一学期教材的最后一章内容,“平面直角坐标系”是在“数轴”的基础上发展起来的.平面直角坐标系使点与数的关系从一维过渡到二维,使有序数对与平面内的点建立了一一对应关系,架起了“数”与“形”之间联系的桥梁,所以平面直角坐标系是沟通几何与代数的桥梁,构成更广泛范围的数形结合、数形转化的理论基础,是以后进一步学习函数、三角函数及解析几何等内容的必要知识,对数学内容的发展起到转折性的重要作用,是初中数学中的核心概念.     

例谈"数形结合"应用的四个误区

当我们将一个数学问题转化为一特定的图形之后，便可创造性地分析问题的解法，代数演算的确切性可以帮助我们定量地来探讨几何图形的位置及关系；当我们将一个几何问题代数化以后，便可抽象性地探索解决问题的途径．然而，在数形转换的过程中，必须遵循“数与形对应，形与数相通”的原则，如果违反了这一原则，常常会步人数形结合的误区．本文结合具体题目，从以下四个方面作以阐述．     

数学竞赛中的解析几何问题（一）

解析几何是高中数学的重要内容 .解析法的特点就是通过代数运算解决几何问题 ,因此 ,解析几何问题在高中数学联赛中的内容也是十分丰富的 .1　基本知识设Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 )是直角坐标平面上的两点 ,则1 ) |Ｐ1 Ｐ2 | =(ｘ1 -ｘ2 ) 2 (ｙ1 - ｙ2 ) 2 =1 ｋ2 |ｘ1 -ｘ2 |(其中ｋ=ｙ2 -ｙ1 ｘ2 -ｘ1 为直线Ｐ1 Ｐ2 的斜率 ) ;2 )若点Ｐ(ｘ,ｙ)分Ｐ1 Ｐ2 的比为λ (λ≠ - 1 ) ,则ｘ=ｘ1 λｘ21 λ ,ｙ=ｙ1 λｙ21 λ ;3)直线Ｐ1 Ｐ2 的方程可写成ｙ - ｙ1 =ｋ(ｘ1 -ｘ2 ) (当斜率ｋ存在时 ) ,且一定能表示为Ａｘ Ｂｙ Ｃ …     

数形结合思想在高考中的考查新趋向

在中学数学中，数与形是最基本的两个对象，要处理好代数与图形的关系，一方面，借助图形能使毫无生机的数学符号变得具体形象，使得学生可以直观地把握代数的特性；另一方面，借助平面直角坐标系可以把代数与几何有机地结合起来．     

圆的切线方程

圆的切线方程４３２１００湖北孝感楚环中学徐圣明《平面解析几何》中有结论：经过圆ｘ２＋ｙ２＝２’上一点Ｍ（ｘ０，ｙ０）的切线方程是ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２．由此命题，我们联想到它的两个道命题：Ⅰ若点Ｐ（ｘ１，ｙ１）在圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上，则直线ｘ１ｘ＋ｙ１...     

椭圆、双曲线的切线与圆的关系

图１是高中《平面解析几何》参数方程一章中一例题的图形，我们发现：如果过Ａ，Ｂ两点分别作大圆和小圆的切线，交ｘ轴于Ｐ，Ｐ１，交ｙ轴于Ｑ，Ｑ１，则Ｐ，Ｍ，Ｑ１三点共线，且为椭圆的切线．于是得到下面两个命题．图２命题１过圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２上一点Ａ（ｘ１，ｙ...     

直线方程x_0x y_0y=r~2的几何意义

我们知道：若已知圆的方程是ｘ２＋ｙ２＝ｒ２,则经过圆上一点Ｍ（ｘ０,ｙ０）的切线方程为：ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２（高中平面解析几何课本Ｐ６４例３）．由此,不难得出下面命题１亦成立．命题１若点Ｍ（ｘ０,ｙ０）在圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上,则直线方程ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ...     

平面向量在解题中的应用举例

由于向量既具有形象、直观的特点 ,又具有代数计算的严密、简捷的优势 ,因此在数学、物理学中有着广泛的应用 ,本文就其应用的常见几种类型举例如下 .1　讨论平面图形的性质利用向量方法讨论平面几何问题 ,使几何问题代数化 ,从而降低某些问题的求解难度 .图 1　例 1图例 1　证明三角形的三条高交于一点 .证　如图 1,设Ｈ为△ＡＢＣ中由Ａ ,Ｂ两点所作的高线的交点 ,ＨＡ =ｘ ,ＨＢ =ｙ ,ＨＣ =ｚ ,则ＡＢ =ｙ -ｘ ,ＢＣ =ｚ- ｙ ,ＣＡ =ｘ -ｚ ,由ＨＡ⊥ＢＣ ,ＨＢ⊥ＡＣ可得ｘ·(ｚ - ｙ) =0 ,ｙ·(ｘ -ｚ) =0 ,两式相加可得 :ｚ·(ｘ - …     

数形结合思想在初中数学解题中的应用

数形结合思想方法作为初中阶段十分重要的数学方法,将代数思想与图形分析思想完美结合,通过对代数关系以及图形性质的把控来完成数学题目的巧妙解答,是学生在数学解题应用中应该着重培养的数学思想.培养数形结合思想,需要学生掌握以“数”辅“形”、以“形”助“数”以及“数”“形”互助的解题技巧,在遇到代数问题时多考虑图形辅助,在遇到几何问题时多思考其中的代数关系,将数形结合思想熟练运用到日常的数学学习,提高学习质量.     

椭圆与圆的变换关系应用

若将椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )进行如下变换ｘ′ =ｘｙ′ =ａｂｙ ,即将ｘ =ｘ′,ｙ =ｂａｙ′代入原方程 ,则得ｘ′2 ｙ′2 =ａ2 ,可知是圆的方程 .以上变换勾通了椭圆和圆两种曲线 ,即是我们所要讨论的椭圆和圆的变换关系 .从中我们可以看出 ,将圆等比例地压缩 ,便得到椭圆 .这种变换关系我们也可以从曲线的立体投影中看出 ,若圆所在平面与某个平面 β夹锐角α ,则半径为ａ的圆在平面β上的投影便是一个长半轴为ａ ,短半轴为ａｃｏｓα的椭圆 .根据这种变换关系 ,我们可得出以下几个有用的结论 .结论 1　曲线内一点分过此点的…     

数形结合思想热点应用举例

所谓数形结合思想,简而言之就是代数问题几何化、几何问题代数化,充分利用图形的直观性和代数推理的合理性、严密性研究问题.数与形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.数形结合是历届高考的重点和热点.数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其中“以形助数”是其主要方面,其方法的关键是根据题设条件和探求目标,联想或构造出一个恰当的图形,利用图形探求解题途径.对于填空题可以简捷地直接获得问题的结果,对于解答题要重视数形转换的等价性论述,避免利用图形的直观性代替逻辑推理得到结果.“数缺形时少直观,形少数时难入微”,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.函数的图像、方程表示的曲线、集合中的韦恩图或数轴表示等,是“以形示数”,而解析几何中的力程、斜率、距离公式、向量的坐标表示等则是“以数助形”,还有导数更是数形结合的产物,这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台.下面举例说明数形结合思想的热点应用.     

积极进行命题改革,实现高考考试功能(续文)

接上期）４．文科（２２）题、理科（２１）题（１）命题构思平面解析几何的核心是坐标法．本题以平面上的折线和曲线图形为背景，从几何与代数的结合上，考查数学的双基，以及综合运用数学知识和方法分析、解决问题的能力．要求考生掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和...     

充分利用图形,简化解析几何中的计算

《解析几何》是数形结合的典型范例,然而,有一些师生重视了数式的运算,却忽略了图形的重要性．下面举二例说明图形在简化解析几何计算中的作用．例１　已知两点Ｐ（－２,２）,Ｑ（０,２）以及一条直线ｌ：ｙ＝ｘ,设长为２的线段ＡＢ在直线ｌ上移动,求直线ＰＡ和ＱＢ的交点Ｍ的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）．分析：如果对“长为２的线段ＡＢ在直线ｌ上移动”这句话仅作表面的理解,就会机械地去套用两点间的距离公式,先设Ｍ点的坐标为Ｍ（ｘ,ｙ）,再写出直线ＰＭ与ＱＭ的方程,并求出（ｘＡ,ｙＡ）,（ｘＢ,ｙＢ）,然后…