四边形的余弦定理与六点问题

如图 1,在四边形ＡＢＣＤ中 ,设ＤＡ =ａ ,ＡＢ =ｂ ,ＢＣ =ｃ,ＣＤ =ｄ ,∠ＤＡＢ =α ,∠ＡＢＣ =β ,则有图 1　四边形ｄ2 =ａ2 ｂ2 ｃ2 - 2ａｂｃｏｓα- 2ｂｃｃｏｓβ 2ａｃｃｏｓ(α β) .这就是四边形的余弦定理 .证明很简单 ,把四边形ＡＢＣＤ放入直角坐标系 ,则有Ａ( 0 ,0 ) ,Ｂ(ｂ ,0 ) ,Ｃ (ｂ ｃｃｏｓ(π - β) ,ｃｓｉｎ(π - β) ) ,Ｄ( -ａｃｏｓ(π -α) ,ａｓｉｎ(π -α) ) .由此 ,并利用三角公式 ,容易得到结论 .具体推导见文 [1] .我们利用四边形余弦定理证明 :若平面上六点组成一凸六边形 ,最大边与最小边之…     

上期课外练习解答

高一年级1 .在ＡＢ上取一点Ｄ ,使ＤＢ =ＣＢ ,设Ｅ为Ｄ关于ＡＣ的对称点 .连ＥＡ ,ＥＢ ,ＥＤ ,ＣＤ .易证△ＤＣＥ为正三角形 .ＢＥ为ＤＣ的中垂线 ,ＡＣ为ＤＥ的中垂线 ,有 :∠ＥＢＡ =4 0° =∠ＥＡＢ ,ＥＢ =ＥＡ =ＡＤ =ｂ -ａ .在△ＡＢＥ中 ,ｃｏｓ∠ＡＥＢ =2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ -ａ) 2 ;在△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓ∠ＡＢＣ =ａ2 +ｂ2 -ｂ22ａｂ ;由ｃｏｓ∠ＡＥＢ =-ｃｏｓ∠ＡＢＣ ,得2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ-ａ) 2 =- ａ2ｂ.整理 ,得　ａ3+ｂ3=3ａｂ2 .2 .ｙ=1 -ｓｉｎｘｃｏｓｘ1 +ｓｉｎｘｃｏｓｘ=212 ｓｉｎ2ｘ + 1- 1 .∵　 π…     

高二数学同步训练题

内容　代数 :不等式的性质与证明 ;解析几何 :有向线段 ,定比分点 .选择题1　Ａ ,Ｂ为数轴上两点 ,Ａ点的坐标为 2 3 ,|ＡＢ|=6,则Ｂ点的坐标为 (　　 )(Ａ) 3( 2 2 ) .　　　 (Ｂ) 3 ( 2± 2 ) .(Ｃ)± 22 . (Ｄ) 3( 2 - 2 ) .2　已知ａ <0 ,- 1<ｂ <0 ,则ａ ,ａｂ ,ａｂ2 之间的大小关系是 (　　 )(Ａ)ａ >ａｂ >ａｂ2 . (Ｂ)ａｂ2 >ａｂ >ａ .(Ｃ)ａｂ>ａ >ａｂ2 . (Ｄ)ａｂ >ａｂ2 >ａ .3　如果 0 <ａ <12 ,那么下面的不等式能成立的是(　　 )(Ａ)ｌｏｇａ( 1-ａ) >1. (Ｂ)ａｘ<( 12 ) ｘ.(Ｃ)ｃｏｓ( 1 ａ) <ｃｏｓ( 1-ａ) .(Ｄ) ( 1-…     

一道选择题的错解与分析

题目　ＡＤ为△ＡＢＣ的高线 ,ＢＤ =ａ ,ＤＣ =ｂ(ａ <ｂ) ,将△ＡＢＣ沿ＡＤ折叠成二面角Ｂ ＡＤ Ｃ ,其平面角为θ ,若ｃｏｓθ =ａｂ,则四面体Ａ ＢＣＤ的侧面ＡＢＣ是 (　　 ) .(Ａ)锐角三角形　 (Ｂ)钝角三角形(Ｃ)直角三角形　 (Ｄ)由ａ、ｂ的值确定错解　首先考察θ为直角时 ,ＤＡ ,ＤＢ ,ＤＣ两两垂直 ,易证△ＡＢＣ的三个角均为锐角(可用公式ｃｏｓθ =ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 ) ,即△ＡＢＣ为锐角三角形 .因ｃｏｓθ =ａｂ >0 ,θ为锐角 (上述情形可看作θ的一个极端状态 ) ,即二面角Ｂ ＡＤ Ｃ由直二面角连续折叠成了锐二面角 .…     

函数y=θ-argz的几何解释

设复数ｚ =ａｃｏｓθ ｉ·ｂｓｉｎθ,(ａ>ｂ >0 ,0 <θ<π2 ) ,则θ为复数ｚ在复平面上对应点ｚ轨迹 ｘ =ａｃｏｓθｙ =ｂｓｉｎθ(0 <θ<π2 为参数 )———椭圆 (在第一象限部分 )的离心角 ,如图 ,函数ｙ=θ-ａｒｇｚ即为∠ＡＯＺ .ｔｇ∠ＡＯＺ =ｔｇｙ =ｔｇ(θ-ａｒｇｚ)=ｔｇθ - ｂａｔｇθ1 ｔｇθ· ｂａｔｇθ=(ａ -ｂ)ｔｇθａ ｂｔｇ2 θ=ａ-ｂａｔｇθ ｂｔｇθ≤ ａ-ｂ2ａｂ,所以ｙ的最大值为ａｒｃｔｇａ -ｂ2ａｂ,当且仅当 ａｔｇθ=ｂｔｇθ,即θ =ａｒｃｔｇ ａｂ 时取得 .当ａ =3 ,ｂ=2或ａ =3 ,ｂ=1时就分别得到 9…     

数学竞赛之窗

波兰数学奥林匹克试题及解答1　设ｎ≥ 3为正整数 ,证明 :所有与ｎ互质且不超过ｎ的自然数的立方和是ｎ的倍数 .2　在锐角三角形ＡＢＣ中∠ＡＣＢ =2∠ＡＢＣ ,点Ｄ是ＢＣ边上一点 ,使得2∠ＢＡＤ =∠ＡＢＣ .证明 :1ＢＤ=1ＡＢ 1ＡＣ.3　已知正实数ａ ,ｂ ,ｃ的和等于 1 ,证明 :ａ2 ｂ2 ｃ2 2 3ａｂｃ≤ 1 .4　圆周上的点都被染上了某三种颜色中的一种 ,证明 :在这个圆周上存在三个点 ,它们是某个等腰三角形的顶点 ,且它们同色 .　5　求所有的正整数对 (ａ ,ｂ) ,使得ａ3 6ａｂ 1与ｂ3 6ａｂ 1都是完全立方数 .6　点Ｘ是Ｒｔ△…     

关于椭圆的十个最值问题

本文利用初等方法讨论了与椭圆有关的若干几何最值问题 ,得到了十个有趣的结论 ,为方便读者选用 ,现用定理形式叙述如下 .定理 1　椭圆ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ >0 )的内接三角形的面积的最大值为3 34ａｂ .证明　设该椭圆内接三角形ＡＢＣ三顶点坐标按逆时针方向依次为Ａ(ａｃｏｓθ1 ,ｂｓｉｎθ1 ) ,Ｂ(ａｃｏｓθ2 ,ｂｓｉｎθ2 ) ,Ｃ(ａｃｏｓθ3,ｂｓｉｎθ3) ,则 △ ＡＢＣ的面积为Ｓ=121　ａｃｏｓθ1 　ｂｓｉｎθ11　ａｃｏｓθ2 　ｂｓｉｎθ21　ａｃｏｓθ3　ｂｓｉｎθ3=12 ａｂ1　ｃｏｓθ1 　ｓｉｎθ11　ｃｏｓθ2…     

一道代数命题的几何证法

命题　两个正数ａ、ｂ的几何平均数 ,等于这两个数的算术平均数与调和平均数的比例中项 .正数ａ和ｂ的三个平均数的意义 :几何平均数Ｇ =(ａｂ) 1 2 ,算术平均数Ａ =ａ ｂ2 ,调和平均数Ｈ =2ａｂａ ｂ.求证 :Ｇ2 =Ａ·Ｈ证明　画线段ＢＣ使ＢＣ =ＢＥ ＥＣ ,其中ＢＥ =ａ ,ＥＣ =ｂ .以ＢＣ为直径画半圆 ,设圆心为Ｏ ,过点Ｅ作ＢＣ的垂线交半圆于Ｄ ,连结ＯＤ ,过点Ｅ作ＥＦ ⊥ＯＤ ,垂足为Ｆ .如图所示 ;于是ＯＤ =ａ ｂ2 =Ａ　　∵ＤＥ2 =ＢＥ·ＥＣ即ＤＥ =(ＢＥ·ＥＣ) 12 =(ａｂ) 1 2 =Ｇ ;由Ｒｔ△ＯＥＤ∽Ｒｔ△ＥＦＤ得ＤＦ∶ＥＤ…     

构造几何模型证明两个三角不等式

题 1　若α、β、γ均为锐角 ,且满足ｃｏｓ2 α+ｃｏｓ2 β +ｃｏｓ2 γ=1.求证 :ｃｔｇ2 α +ｃｔｇ2 β+ｃｔｇ2 γ≥ 32 .证明　如图 1,设以ａ、ｂ、ｃ为三度的长方体ＡＢＣＤ Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 的对角线ＡＣ1 与三条棱ＡＤ、ＡＢ、ＡＡ1 所成角分别为α、β、γ ,则　　ｃｔｇα=ＡＤＤＣ1=ａｂ2 +ｃ2 ,ｃｔｇβ=ＡＢＢＣ1 =ｂａ2 +ｃ2 ,　　ｃｔｇγ=ＡＡ1 Ａ1 Ｃ1=ｃａ2 +ｂ2 ,∴　ｃｔｇ2 α +ｃｔｇ2 β+ｃｔｇ2 γ　 =ａ2ｂ2 +ｃ2 +ｂ2ａ2 +ｃ2 +ｃ2ａ2 +ｂ2　 =ａ2 +ｂ2 +ｃ2ｂ2 +ｃ2 +ａ2 +ｂ2 +ｃ2ａ2 +ｃ2 +ａ2 +ｂ2 +ｃ2ａ2 +ｂ2 -3　 =(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) ( 1ｂ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｂ2 ) -3　 =12 [(ｂ2 +ｃ2 ) +(ａ2 +ｃ2 ) +(ａ2 +ｂ2 ) ]&;#183;( 1ｂ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｂ2 ) -3　≥ 12 [(ｂ2 +ｃ2 )&;#183; 1ｂ2 +ｃ2 +(ａ2 +ｃ2 )&;#183; 1ａ2 +ｃ2 +(ａ2 +ｂ2 )&;#183; 1ａ...     

高三数学复习代数训练题(一)

选择题 :本大题共 12小题 ;每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　已知集合Ｍ∪Ｎ ={ａ ,ｂ ,ｃ ,ｄ},Ｍ∩Ｎ ={ｃ ,ｄ},则满足条件的集合Ｍ的个数是 (　　 )(Ａ) 1.　　　　　 (Ｂ) 2 .(Ｃ) 4 . (Ｄ) 6.2　函数 ｙ =ｃｏｓ( 2ｘ - π4 )的一个递减区间是 (　　 )(Ａ) [- 3π8,π8] .　　　 (Ｂ) [π8,5π8] .(Ｃ) [5π8,9π8] . (Ｄ) [0 ,π2 ] .3　函数ｆ(ｘ) =ｘ-12 的定义域为Ａ ,ｆ(ｘ)的反函数ｆ-1 (ｘ)的定义域为Ｂ ,设Ａ∩Ｂ =Ｄ ,当Ｃ Ｄ时有 ｆ(ｘ) <ｆ-1 (ｘ) ,则Ｃ等于 (　　 )(Ａ) …     

高二数学“不等式的性质与证明”自测题

选择题1　给出如下四个命题 :①若ａ >ｂ ,则ａｃ2 >ｂｃ2 ;②若 ａｃ2 >ｂｃ2 ,则ａ >ｂ ;③若ａ≥ｂ ,ａｃ≥ｂｃ,则ｃ≥ 0 ;④若ａ >ｂ ,则ｌｇ(ａ2 1) >ｌｇ(ｂ2 1) .其中正确命题的个数是 (　　 )(Ａ) 1个 .　 (Ｂ) 2个 .　 (Ｃ) 3个 .　 (Ｄ) 4个 .2　实数ａ ,ｂ满足 0 <ａ <ｂ且ａ ｂ =1,则下列四个数中最大的是 (　　 )(Ａ) 12 .　　　　 (Ｂ)ａ2 ｂ2 .(Ｃ) 2ａｂ . (Ｄ)ａ .3　设ｘ >0 ,ｙ >0 ,ｘ ｙ =1,则使 ｘ ｙ≤ａ恒成立的ａ的最小值是 (　　 )(Ａ) 22 .　　　　　　 (Ｂ) 2 .(Ｃ) 2 . (Ｄ) 2 2 .4　已知 0 <2ｍ <1,则…     

数形结合法解选择题

数形结合法是解题的基本方法之一 ,许多选择题也可转化为图形问题 ,用数形结合法直图 1接揭示问题的本质 ,直观地看到问题的结果 ,稍加计算或推导就行了 .例 1　函数ｙ=ａｘ,ｙ =ｂｘ,ｙ=ｃｘ,ｙ =ｄｘ 的图像如图 1所示 ,则下列四个式子中 ,成立的是 (　　 ) .(Ａ)ａ <ｂ<1 <ｃ<ｄ(Ｂ)ｂ <ａ <1 <ｄ <ｃ(Ｃ)ａ <ｂ<1 <ｄ <ｃ(Ｄ)ｃ<ｄ <1 <ａ <ｂ解　作直线ｘ =1与四条曲线依次交于Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ ,这四个点的纵坐标分别是ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,由图 1可见　ｃ>ｄ >1 >ａ >ｂ,故选 (Ｂ) .例 2　如果 3ｓｉｎθ +2ｃｏｓθ =0 ,那么角 2θ所在的…     

上期课外练习参考解答

初一年级1 .两边连续乘以 2 ,得　12 ｘ + 2 =4,∴　ｘ =4.2 .∵　ＡＢ·ＡＡＡＡ =ＡＢ·ＡＡ·1 0 1 ,ＡＢＡＢ·ＡＡ =ＡＢ·1 0 1·ＡＡ ,∴　等式成立 .3.分类比较三个有理数的两种表达形式 ,得出ａ =-1 ,ｂ =1 .故所求式的值为 0 .初二年级1 .由已知得　 5 =ｘ -1 .∴　原式 =ｘ3 -( 2 +ｘ -1 )ｘ2 + ( 1 + 2ｘ-2 )ｘ -ｘ + 1 + 2 0 0 3=ｘ2 -2ｘ + 2 0 0 4=(ｘ -1 ) 2+ 2 0 0 3=2 0 0 8.2 .原式 =ａ2 ｄ2 -2ａｂｃｄ +ｂ2 ｃ2 +ａ2 ｃ2+ 2ａｂｃｄ +ｂ2 ｄ2=(ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 )=1× 2 0 0 3=2 0 0 3.3.如图 ,记Ａｉ(ｉ =1 ,2 ,…     

2003年中考数学模拟试题(6)

一、选择题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .下列单项式中 ,不是同类项的是 (　 ) .Ａ .5ｘ2 ｙ与 -4ｘ2 ｙ　　　Ｂ .15 ｘ3ｙ与 15 ｘｙ3Ｃ .8ａｂｃ2 与 8ｂａｃ2 Ｄ .5ｍ2 ｎ与 -3ｎｍ22 .下列属于因式分解的是 (　 ) .Ａ .2ｘ -2 ｙ +4 =2 (ｘ -ｙ) +4Ｂ .ａ2 ｂ +ａｂ2 =ａ2 ｂ2 ( 1ａ+1ｂ)Ｃ .(ａ +ｂ) (ａ -ｂ) =ａ2 -ｂ2Ｄ .ａ2 -12 ａ +11 6=(ａ -14) 23 .已知⊙Ｏ1和⊙Ｏ2 的半径分别为 3ｃｍ和 5ｃｍ ,Ｏ1Ｏ2 =5ｃｍ ,这两圆的公切线最多有 (　 ) .Ａ .1条　　Ｂ .2条　　Ｃ .3条　　Ｄ .4条4.用一个平面去截一个正方体 ,得…     

利用向量证明不等式

平面向量与不等式分别是高中新教材第五、六章内容 .如果我们认真分析不等式的结构特征 ,类比向量相关知识 ,可以建立向量结构 ,用向量方法简捷证明不等式 .例 1　求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .分析　若 (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 )≠ 0 ,原不等式可变形为 ａｃ +ｂｄａ2 +ｂ2 ·ｃ2 +ｄ2 ≤ 1 .这种结构提示我们构造向量 ,利用两非零向量ａ—→、ｂ—→的夹角公式ｃｏｓθ =ａ—→·ｂ—→|ａ—→|·|ｂ—→| 求证 .证明设向量ＯＡ———→ =(ａ ,ｂ) ,　ＯＢ———→ =(ｃ,ｄ) .图 1( 1 )当 (ａ2 +ｂ2 )·(ｃ2 +ｄ2 ) =0…     

数学问题解答

20 0 1年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 2 6　设ｍ >0 ,ｎ >0 ,α∈ (0 ,π2 ) ,求证 :ｍｓｅｃα ｎｃｓｃα≥ (ｍ23 ｎ23) 32 .(江苏省灌云县中学　朱兆和　 2 2 2 2 0 0 )证明　设点Ｐ的坐标为 (ｍ ,ｎ) ,直线ｌ过点Ｐ ,倾角为π-α ,ｌ与ｘ、ｙ轴的正半轴分别交于点Ａ、Ｂ(如图 ) .则 ｜ＰＡ｜ =ｎｓｉｎα,｜ＰＢ｜ =ｍｃｏｓα则 ｜ＡＢ｜ =｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜=ｍｓｅｃα ｎｃｓｃα .又设Ａ(ａ ,0 ) ,Ｂ(0 ,ｂ) ,则直线ｌ的方程为 ｘａ ｙｂ =1 ,ｌ过Ｐ(ｍ ,ｎ) ,所以 ｍａ ｎｂ =1 .｜ＡＢ｜2 =ａ2 ｂ2 =(ａ2 ｂ2…     

应用放缩法证明不等式

放缩法是证明不等式的重要方法 .应用哪些方法进行放缩 ,向哪个方向放缩 ,放缩到什么程度 ?是使用该法证明不等式的难点 .本文将就这些方面作些介绍 .1　去掉式子中某些正项或负项去掉式子中某些正项或者负项 ,可使式子缩小或者放大 .例 1　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ 且ａｂ ｂｃ ａｃ =1,求证 :ａ ｂ ｃ≥ 3 .证　∵ (ａ ｂ ｃ) 2 =ａ2 ｂ2 ｃ2 2ａｂ 2ｂｃ 2ａｃ=12 [(ａ -ｂ) 2 (ｂ -ｃ) 2 (ｃ -ａ) 2 ] 3(ａｂ ｂｃ ａｃ)≥ 3(ａｂ ｂｃ ａｃ) =3 ,∵ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,∴ａ ｂ ｃ≥ 3 .例 2　在△ＡＢＣ中 ,求证 :ｓｉ…     

课外练习

高一年级1.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =2 0° ,ＡＢ =ＡＣ =ｂ ,ＢＣ=ａ .求证 :ａ3 +ｂ3 =3ａｂ2 .2 .若 π6 ≤ｘ≤ π3,求函数 ｙ =ｔａｎｘ -ｓｉｎ2 ｘｔａｎｘ +ｓｉｎ2 ｘ的最大值和最小值 .3 .若函数ｆ(ｘ)在 (-∞ ,3]上是减函数 ,且ｆ(ａ2 -ｓｉｎｘ)≤ｆ(ａ+ 1+ｃｏｓ2 ｘ)对一切ｘ∈Ｒ恒成立 ,求实数ａ的取值范围 .高二年级1.在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1中 ,过ＢＤ1 的截面分别交ＡＡ1 、ＣＣ1 于Ｅ、Ｆ两点 ,求四边形ＢＥＤ1 Ｆ面积的最小值 .(北京　含　笑 )2 .已知 :ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1.求ｕ =1ｘ3 +12ｙ的…     

“相似形”常见错解剖析

相似形是初中几何的重要内容 ,有关线段成比例问题更是这部分习题的重中之重 .但是由于这部分内容概念性强 ,对应讲究 ,因而不少同学总会出现这样那样的错误 .我在批阅作业和试卷时发现一些常见错误 ,剖析如下 .一、忽视四条线段成比例时的顺序性已知线段ａ =2ｃｍ ,ｂ =4ｃｍ ,ｃ =1 0ｃｍ .那么线段ｂ、ｃ、ａ的第四比例项ｄ =(　　 ) .(Ａ) 2 0ｃｍ　　　 (Ｂ) 5ｃｍ(Ｃ) 0 .8ｃｍ (Ｄ)不能确定错解　∵　ｂ、ｃ、ａ、ｄ成比例 ,∴　ａ∶ｂ =ｃ∶ｄ ,即 2∶4=1 0∶ｄ .∴　ｄ =2 0 (ｃｍ) .故应选 (Ａ) .剖析　四条线段成比例时具有顺序…     

2002年中国数学奥林匹克试题解答

1　△ＡＢＣ的三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,ｂ <ｃ,ＡＤ是∠Ａ的平分线 ,点Ｄ在边ＢＣ上 ,1)求在线段ＡＢ ,ＡＣ内分别存在点Ｅ ,Ｆ(不是顶点 )满足ＢＥ =ＣＦ和∠ＢＤＥ =∠ＣＤＦ的充要条件(用角Ａ ,Ｂ ,Ｃ表示 ) ;图 1　题 1图2 )在点Ｅ和Ｆ存在的情况下 ,用ａ ,ｂ ,ｃ表示ＢＥ的长 .解　 1)设∠ＦＤＣ =∠ＥＤＢ =α ,则在△ＤＦＣ中 ,由正弦定理得ＣＦｓｉｎα =ＣＤｓｉｎ∠ＤＦＣ =ＣＤｓｉｎ(α +Ｃ) .即　　ＣＦ =ＣＤｓｉｎαｓｉｎ(Ｃ +α) (1)在△ＤＥＢ中 ,同理有　　　ＢＥ =ＤＢｓｉｎαｓｉｎ(Ｂ +α) (2 )由 (1) ,(2 )及ＢＥ …