数学竞赛中的三角函数问题

三角函数是高中数学的基本内容，是一类重要的基本初等函数．它所涉及的知识面十分广阔，内容丰富多彩并具有一系列美妙的性质，这些性质在数学及物理、工程等领域都有广泛的应用．本文将讨论数学竞赛中的三角函数及其恒等变形问题．     

数学竞赛中的参数方程与极坐标问题

1参数方程问题 参数方程是解析几何的重要内容，利用参数方程解题，或者利用参数法求轨迹方程，有时会显得十分灵活和便利。     

数学竞赛之窗

本期给出单墫先生的“评2002年全国高中数学联赛”．     

用数学思想方法解读解析几何问题

数学思想方法是数学知识的精髓 ,是知识转化为能力的桥梁 ,只有灵活地运用数学思想方法 ,才能把数学知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力 ,形成数学素养 .本文就数学思想方法在解析几何问题中的应用做一归类解析 .1　方程思想所谓方程思想 ,就是在解决某些数学问题时 ,先设定一些未知数 ,根据题设中各量间的制约关系 ,列出方程 (组 )解决问题 .这里的未知数沟通了量与量之间的联系 ,实现问题的转化 .例 1　自点A(- 3,3)发出的光线L射到x轴上 ,被x轴反射 ,其反射光线所在直线与圆x2 +y2 - 4x - 4 y+7=0 相切 ,求光线L所在直线的方程 …     

解析几何问题的方法和技巧

解析几何的优点在于使形数结合 ,把几何问题化作数、式的演算 ,因此 ,解决一些比较困难的解析几何问题 ,首先要考虑的是如何减少运算量 ,这取决于对坐标、方程的选择、变换等问题要有一定的方法和经验 .1　正确选择合适的坐标系及点的坐标　图 1　例 1解答图例 1　 (1991年全国高中数学联赛试题 )设Ｏ为抛物线的顶点 ,Ｆ为焦点 ,且ＰＱ为过Ｆ的弦 .已知 |ＯＦ|=ａ ,|ＰＱ|=ｂ,试求△ＯＰＱ的面积 .解　以Ｆ为极点 ,Ｆｘ为极轴建立极坐标系 (如图 ) ,则抛物线的方程为ρ =2ａ1-ｃｏｓθ.设Ｐ点的极角为θ(0 <θ <π) ,则Ｑ点的极角为π θ,…     

解析几何中的最值问题

解析几何中的最值问题是数学竞赛中的一类常见题型．对于此类问题首先应注意代数方法的运用,将所求对象表示成某个变量的函数、方程等,利用函数、方程、不等式等知识来求解．作为几何中的最值问题,往往还要考虑问题的实际意义,利用平面几何知识或图形定义,采用数形结合的方法求解,这可以避免代数形式的复杂运算．本文例举解析几何中的最值问题的几种常用求解方法．     

特殊化方法在数学竞赛解题中的应用

希尔伯特曾说过：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，我们寻找一个答案而未能成功的原因，就在于这样一个事实，即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有完全解决，这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决他们．”数学竞赛试题难度较高，     

构造解析几何模型巧解三角问题

有些三角问题,若能根据已知式的结构,挖掘出它的几何背景,通过构造解析几何模型,化数为形,则可利用数学模型的直观性,简洁地求得问题的解。     

初中数学竞赛常用解题方法（代数）

自1985年我国举办全国性的初中数学竞赛以来,各地竞赛规模日益增大,参加人数越来越多,数学竞赛已成为广大青少年所喜爱的活动,它对于丰富他们的课外活动内容,增长中学生的数学知识,培养他们的数学思维能力,提高竞赛水平等都起了不可估量的作用。纵观国内外历年初中数学竞赛题目,虽然解无定法,技巧性较强,但通过仔细分析、综合研究后,还是可以找到一些常用的解题方法,现举出12种方法例     

数学竞赛中的二项式问题

可能是考虑到教学进度的原因 ,在国内的中学生数学竞赛中 ,与二项式有关的试题比较少 ,但也时有出现 .还有些竞赛题虽不明显属于二项式的范围 ,但运用二项式定理可以巧妙地加以解决 .对于二项式定理 ,应熟练掌握以下三个方面的内容 :1) (a +b) n(n∈N )的展开式的通项公式为Tr+ 1 =Crnan-rbr.2 ) (a +b) n=∑nr =0Crnan -rbr 的逆向应用 .3)二项式系数的两个性质 .构造二项式解题 ,是对二项式定理高层次的应用 ,关键在于发现所给问题与二项式的联系 ,常用于组合数求和、不等式证明、数的整除性、判断数的特征等 .例 1　已知 ( 3 x + 2x) n…     

运用向量知识解释平面解析几何问题

推证分两步进行：1)平面直角坐标系内任一直线，其方程都可写成Ax By C=0(A^2 B^2≠0)的形式；2)任一方程Ax By C=0(A^2 B^2≠0)在平面直角坐标系内都表示一条直线．其中要用到结论：“平面内过一点与一已知直线(法向量为非零常向量)垂直的直线有且只有一条．”     

例谈向量与解析几何的交汇

数学高考命题注重知识的整体性和综合性 ,重视知识的交互渗透 ,在知识网络的交汇点上设计试题 .由于向量具有代数与几何形式的双重身份 ,使它成为中学数学知识的一个交汇点 ,成为联系多项知识的媒介 .因此 ,解析几何与向量的交汇是新课程高考命题的必然趋势 .以下举几例说明 ,希望能够引起重视 .例 1　 (2 0 0 2年新课程卷 )平面直角坐标系中 ,Ｏ为坐标原点 ,已知Ａ(3,1) ,Ｂ(- 1,3) ,若点Ｃ满足ＯＣ =αＯＡ +βＯＢ ,其中α ,β∈Ｒ ,且α +β =1,则点Ｃ的轨迹方程为 (　　 )(Ａ) 3ｘ +2 ｙ - 11=0 .(Ｂ) (ｘ - 1) 2 +(ｙ - 2 ) 2 =5 .(Ｃ…     

数学竞赛中的递推数列问题

在各级各类的数学竞赛中 ,大量的数列问题都是由递推关系给出的 .建立递推关系是研究数列的各种性质以及许多综合数学问题的有效手段 (例如某些组合数的计算问题 ) .因此 ,运用递推关系解决问题是一种非常重要的途径 .本文我们讨论处理递推关系的一些常用方法 .1　迭代法　迭代法就是反复运用题设所给数列 {ａｎ}的递推关系进行代换 ,每代一次 ,脚标ｎ就往下降 ,直到能用初始值表示ａｎ 为止 .但是在大多数情况下 ,迭代之后不能写成简单的形式 ,因此迭代不出任何结果 ,这时也可考虑进行适当的变换 ,然后再进行迭代 .例 1　 (1996年全国高中…     

例析以解析几何为背景的递推数列问题

数列是高中数学的重点内容，它在新教材中是一块只有调整而未作删减的内容，数列易与函数、不等式、解析几何等内容交汇融合，由于高考注重在知识的交汇点处设计试题，在近几年的高考试题和各地的模拟题中，出现了递推数列与解析几何的综合题，这类问题往往以解析几何的点、直线、曲线的无限运动为背景，形成考查学生运用所学知识分析问题和解决问题能力的综合题，它较好地体现了课本知识内容与能力要求的关系，具有较好的区分度和选拔功能，因此它应是高考复习的一个重点，下面就相关试题进行解析，旨在探索解题的规律与方法。     

立体几何与平面解析几何的交汇题

2004年湖北高考第(19)题是一道向量题，这道题其实是一道很基本的题目，但得分率很低，对这道题目进行分析是有益的。