矩形外接圆周上点的有趣性质的推广

矩形外接圆周上点的有趣性质的推广王玉怀（石家庄师专）文［１］给出了矩形外接圆周上点的有趣性质：“定理：矩形外接圆周上任一点到矩形各边中点的距离的平方和为定值”．本文将这一性质推广如下：定理矩形两组对边上关于它的外接圆圆心的对称点将各边分为成比例的线段...     

一个推广定理的简捷证明

一个推广定理的简捷证明王亚平（湖北民族学院４５０００）本ＦＪ１９９５年第３Ｍ文［１］将《数学通报》１９９４年第２期的文［２］中的“定理：矩形外接圆周上任一点到矩形各边中点的距离的平方和为定值．”推广为“定理；矩形两组对边上关于它的外接圆圆心的对称点将...     

一个有趣性质的再推广与证明

《数学通报》2 0 0 0年第 6期《一个有趣性质的拓广》中的命题 1　矩形外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .命题 2　矩形外接圆周上的任一点到各边中点的距离的平方和为定值 .可作进一步的推广 .命题 1′　关于原点成中心对称的多边形的外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .证明　如图所示 ,设ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 为关于原点成中心对称的图形 ,点Ｐ(ｘ ,ｙ)为其外接圆上的任一点 ,角θｉ- 1 为有向角 ,记θｉ- 1 =∠Ａ1 ＯＡｉ,｜ＰＡｉ｜为点Ｐ到点Ａ的距离 .则∑ｎｉ=1｜ＰＡｉ｜2= ｘ-Ｒｃｏｓθｉ- 1 2 …     

矩形外接圆周上点的有趣性质

矩形外接圆周上点的有趣性质刘清阁（吉林省白城地区教育学院１３７０００）引理矩形外接圆周上任一点，到各顶点距离的平方和为定值，已知：如图１，Ｐ为矩形ＡＢＣＤ外接圆周上任一点，Ｏ半径为Ｒ．求证：ＰＡ２＋ＰＢ２＋ＰＣ２＋ＰＤ２＝８Ｒ２．证由勾股定理易得结论...     

正四面体外接球面上点的有趣性质

本文介绍正四面体外接球面上点的一个有趣性质,其论证过程十分巧妙。 性质 正四面体外接球面上任一点,到各顶点距离平方和为定值。 已知A—BCD是棱长为a的正四面体,P是其外接球面上任一点。     

正多面体外接球面上点的性质

文[1]、[2]分别介绍了正四面体和正六面体这两个正多面体外接球面上的点到各顶点距离的平方和成定值的有趣性质本文就这类问题再行讨论为引申问题方便起见，我们用如下证法替代文[1]、[2]对下面的性质1、2的证明方法。性质1正六面体外接球面上任一点到各顶点距离的平方和为定值．证明如图1，设正六面体ABCDA＇B＇C＇D＇的棱长为a，外接球心为O，P为外接球面上任意一点。显然，正六面体的对角线B＇D通过球心0，故∠B＇PD＝90°．因此，在△B＇PD中有性质2正四面体外接球面上任一点，到各顶点距离的平方和为定值．证明由于在图1中，三…     

关于正多边形的一个有益性质的发现与证明

笔者用类比和对称的思想方法,发展并证明了正多边形的一个有益的性质。问题起源于等腰三角形一个熟知的性质。引理.等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和为定值,它等于腰上的高。显然,对于正三角形有定理1.正三角形的边上任一点到各边距     

中心对称的多边形的外接圆周上点的性质

笔者发现中心对称的多边形的外接圆周上的点具有性质：中心对称的多边形每组对边上关于它的外接圆心的对称点将各边分为成比例线段,则此圆周上任意点到各个对称点的距离的平方和为定值,即有如下命题。     

中心对称多边形外接圆周上点的性质

笔者发现 ,中心对称的多边形外接圆周上的点具有如下性质 :中心对称多边形的每组对边上关于它的外接圆的对称点到过外接圆周上任一点的切线的距离之和为定值 .即命题 1　设中心对称的多边形Ａ1Ａ2 …Ａ2ｎ(ｎ≥ 2 )的外接圆Ｏ的半径为Ｒ ,ｌ为过圆周上任一点Ｐ的切线 .Ｍｉ 与Ｍｉ′为第ｉ组(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)对边上关于圆心Ｏ的对称点 ,且Ｍｉ 与Ｍｉ′到ｌ的距离分别为ＭｉＮｉ 与Ｍｉ′·Ｎｉ′ ,则∑ｎｉ=1(ＭｉＮｉ+Ｍｉ′·Ｎｉ′) =2ｎＲ为定值 .分析 :不失一般性 ,当ｎ =2时 ,即对中心对称的四边形的情况给出证明 .图 1　命题 1图证…     

周界中点三角形又一有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 ,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形 .文 [1]、文 [2 ]得到了与周界中点三角形有关的三角形外接圆半径、面积之间的三个不等式 .本文再给出一个更有趣的性质 .定理 1　设Ｄ ,Ｅ ,Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ ,ＣＡ ,ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,Ｓ =12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＢＣ的外接圆半径和面积分别为Ｒ ,△ ,△ＤＥＦ的外接圆半径为Ｒ0 ,则有 :Ｒ·Ｒ0 ≥2 39△ .为证明此不等式 ,先看如下引理 :图 1　引…     

三角形的垂心的几个性质

文[1]介绍了三角形的垂心的如下性质:定理1三角形的垂心关于三边的对称点在这个三角形的外接圆上.本文以此为基础,提出如下性质:定理2三角形的垂心关于各边中点的对称点在三角形的外接圆上,且以这三个对称点为顶点的三角形与原三角形关于圆心中心对称.用符号语言表达即为:     

一个定值命题的简证与推广

贵刊2001年第12期文[1]证明了下面的命题(原文中例6): 命题1 设P1、P2、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点,且AP1=BP2=CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线,则P1、P2、P3三点到直线l的距离之和为定值. 文[1]采用综合法证明,过程繁、篇幅长,经我们研究后得到一种解析证法,不仅简洁,而且容易将命题推广.     

巴普定理的推广及其它

文［１］介绍了巴普定理：圆内接凸四边形所在圆周上任一点到一双对边的距离之积等于该点到另一双对边的距离之积． 本文将此定理推广到圆内接凸２ｎ边形,并自然得到西姆松定理在凸ｎ边形的推广． 为了表述方便,我们不妨作如下定义： 隔边２ｎ条线段首尾相连,任取定一条线段,标号为１,将其余线段按逆时针方向依次标号为２、３、…、２ｎ,则由标号为奇数（或偶数）的线段组成的一组线段叫这２ｎ条线段的一组隔边,且标号为奇数的一组隔边与标号为偶数的另一组隔边互称互补隔边组． 定理１ 圆内接凸２ｎ边形所在圆周上任一点到一组隔边…     

正多边形一个优美定值的研究性学习

普通高中课程标准实验教科书数学选修4—4人教A版《坐标系与参数方程》第26页习题2．1第3题，是一道证明正三角形外接圆上的任意一点到三个顶点的距离的平方和为定值的题目，该题短小精悍、背景深远、内涵丰富，是引导学生进行探究性学习的好素材，通过此案例的研究性学习.     

正多边形的一个性质

文[1]给出了“正三角形各顶点到其外接圆上任意一点的切线的距离之和为定值”这一结论的推广.本文将其推广到一般情形. 引理 设自然数n≥3,a为实常数,记     

再谈一个定值命题的推广

本刊文[1]证明了命题: 命题1 设P1、P2、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点,且AP1=BP2=CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线,则P1、P2、P3三点到直线l的距离之和为定值.     

正棱锥的一个有趣性质

正棱锥的一个有趣性质４１４１１３湖南岳阳县六中李抗强阅读文［１］深受启发．得到正核准的一个有趣性质，奉献给读者．定理正棱锥Ｖ—Ａ１Ａ２…Ａ．Ｏ为高线ＶＯ上使ＶＯ：ＯＯ＝ｎ的点．Ｐ为以Ｏ为球心以Ｒ为半径的球面上任意一点．则Ｐ点到正棱锥各顶点的距离平方和...     

正方形两个重要性质的应用、推广及探究

我们知道:矩形平面内一点到不同对角线两端点距离的平方和相等.这个性质经常在处理矩形的相关问题时被巧妙应用(见文[1]文[2]).本文笔者将给出正方形的两个类似重要性质,并在此基础上加以直接应用和变式推广,同时对一些相关问题进行深入探究,现整理出来和读者一起分享.     

关于圆锥曲线的切线性质的一组定理

本文将应用如下两条熟知的引理及相关的平面几何知识 ,推导出关于椭圆、双曲线、抛物线的切线性质的一组定理 .引理 1　椭圆 (或双曲线 )上任一点的切线与该点的两条焦半径成等角 .引理 2　抛物线上任一点的切线与该点的焦半径及其对称轴成等角 .定理 1　过椭圆 (或双曲线 )上任一点作切线 ,则两焦点到此切线的距离之积为定值 .证明　 (仅以双曲线为例 ,椭圆类似 ,从略 )如图 ,设双曲线的方程为ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 ,ａ、ｂ ∈Ｒ+,Ｐ为双曲线上任一点 ,ｌ为过点Ｐ的切线 ,Ｆ1、Ｆ2 为两焦点 ,Ｆ1Ａ⊥ｌ于Ａ ,Ｆ2 Ｂ⊥ｌ于Ｂ ,由引理 1可知 ,∠…     

几个新发现的几何定理

在给初三学生专题讲授命题:“圆上任一点到某切线的距离等于该点到该切线的切点的距离的平方除以圆直径所得的商。”(应用三角形相似证明,这里略)时,我高兴地发现了如下几个定理及其推广。为稳妥起见,我又反复查阅了许多文献资料,均未发现有此定理,故斗胆抛砖引玉介绍如下,不足之处,请读者指正。定理1 圆内接四边形外接圆上任一点至各顶点所作切线的距离之积与该点至各条对角线的距离之积的平方相等。证明如右图,设四边形A_1A_2A_3A_4的外接圆上一点P至各顶点所