方程ax~2 b|x| c=0根的讨论

众所周知 ,对于一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ =0(ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ) ,当Δ =ｂ2 - 4ａｃ≥ 0时 ,在实数集内有两根 ;当Δ <0时 ,在实数集内无根 ,但在复数集内有两根 .但对形如ａｘ2 ｂ|ｘ| ｃ=0 (ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ)的方程 ,其根的情况与系数间的关系就复杂得多 .以下是关于此方程根的存在性情况的讨论 .1　在实数集内根的情况结论 1　对方程ａｘ2 ｂ|ｘ| ｃ =0 (ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ) (Ⅰ )当ａ ,ｂ ,ｃ满足条件ｂ2 - 4ａｃ >0- ｂ2ａ>0ａｃ>0(1)时 ,在实数集内有四个根 ;当ａ ,ｂ ,ｃ满足条件ｂ2 - 4ａｃ >0ａｃ<0 (2 )时 …     

例说平面向量数量积的应用

平面向量数量积是平面向量的重点内容 ,它以独特的运算方式将两个向量的长度和夹角有机地联系在一起 ,为许多数学问题的解决提供了强有力的工具 .1　用于等式的证明例 1　已知ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =1,求证 :ａ2 +ｂ2 =1.证明　设ｍ =(ａ ,1-ａ2 ) ,ｎ =(1-ｂ2 ,ｂ) ,向量ｍ与ｎ的夹角为 φ ,则ｍ·ｎ =ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =|ｍ| |ｎ|ｃｏｓφ=1.∵ |ｍ| =|ｎ| =1,∴ｃｏｓφ =1,φ =0° .∴ｍ =ｎ ,即 ａ =1-ｂ2 ,ｂ =1-ａ2 .两式平方相加 ,得ａ2 +ｂ2 =1.例 2　设α ,β∈Ｒ+,求证 :ｃｏｓ(α - β) =ｃｏｓαｃｏｓβ+ｓｉｎαｓｉｎβ .图…     

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质

笔者最近探得圆锥曲线焦点弦有一个统一的有趣性质 .定理 1　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与椭圆交于两点Ｐ、Ｑ ,Ａ1 、Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ａ1 Ｐ和Ａ2 Ｑ交于点Ｍ ,Ａ2 Ｐ和Ａ1 Ｑ交于点Ｎ ,则ＭＦ⊥ＮＦ .证明　如图1 .设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ>0 ) ,Ｆ(ｃ,ｏ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｑ(ａｃｏｓβ ,ｂｓｉｎβ) .则Ａ1 Ｐ的方程为ｙ= ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα 1 ) (ｘ ａ) ,Ａ2 Ｑ的方程为 ｙ=ｂｓｉｎβａ(ｃｏｓβ - 1 ) (ｘ-ａ) .解这两个方程得ｘ =ａ[ｓｉｎα-ｓｉｎβ-ｓｉｎ(α β) ]ｓｉｎ(α- β…     

一类不等式的统一证法

例题　 (1)已知 |ａ| <1,|ｂ| <1,求证 :ａ +ｂ1+ａｂ <1.(2 )设ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,且ｂ <2ａ ,求证 :ａｂ <2 <2ａ +ｂａ +ｂ .分析　将 (1)中的结论改写为 -1<ａ +ｂ1+ａｂ<1,与 (2 )中的结论比较易发现 ,两题的结论都具有Ｐ <Ｎ <Ｍ的形式 ,于是我们对两个问题作统一的一般化处理 (构造二次函数证明不等式 ) .设 ｆ(ｘ) =ｘ2 -(Ｍ +Ｐ)ｘ +Ｍ·Ｐ =(ｘ -Ｍ) (ｘ -Ｐ) ,则有Ｐ <Ｎ <Ｍ ｆ(Ｎ)<0 ,故要证Ｐ <Ｎ <Ｍ ,只须证 ｆ(Ｎ) <0即可 .证明 (1)　令Ｐ =-1,Ｍ =1,Ｎ =ａ +ｂ1+ａｂ,构造函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 -1.∵　ｆ(ａ +ｂ1+ａｂ) =(ａ +ｂ…     

二次三项式训练题

1　求证:对于所有的ａ,方程(ａ3-2ａ2 7ａ)ｘ2-(ａ3 4ａ2 9ａ 6)ｘ 5ａ2 4=0至少有一根.2　求证:如果2ａ 3ｂ 6ｃ=0,那么二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0在区间(0,1)内至少有一根.3　令ｘ1,ｘ2是方程ｘ2 ａｘ ｂ=0的二根,ｂ≠0.求方程ｂｘ2 ａ(ｂ 1)ｘ (ｂ-1)2 ａ2=0的根.4　在ａ,ｂ,ｃ间有何种关系时,方程组ａｘ2 ｂｘ ｃ=0ｂｘ2 ｃｘ ａ=0ｃｘ2 ａｘ ｂ=0有解?5　求证:如果ａ,ｂ,ｃ是一个三角形的边长,那么方程ｂ2ｘ2 (ｂ2 ｃ2-ａ2)ｘ ｃ2=0没有实根.6　求证:ｓ=ｐ1 ｐ2 … ｐｎ 1时,ｎ个方程ｘ2 ｘ ｐ1=0,ｘ2 ｘ ｐ2=0,…,ｘ2 ｘ ｐｎ-1=0,ｘ2 …     

一类含绝对值函数图象的简便作法

对于 ｆ(ｘ) =|ａ1ｘ ｂ1|± |ａ2 ｘ ｂ2 |±…± |ａｎｘ ｂｎ|这类含绝对值的函数的图象 ,一般的作法是分区间进行讨论化成分段函数 ,然后作分段函数的图象 .这一作法计算量大而繁锁 ,下面介绍一种作这类函数图象的简便方法 .函数 ｆ(ｘ) =|ａ1ｘ ｂ1|± |ａ2 ｘ ｂ2 |±…± |ａｎｘ ｂｎ|中 ,不妨设ａｉ>0 (ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) .又设 |ａｉｘ ｂｉ|=0的根为ｘｉ 且ｘ1<ｘ2 <… <ｘｎ(若不满足ｘ1<ｘ2 <… <ｘｎ,可化成这种形式 ) .令Ａ =ａ1±ａ2 ±…±ａｎ,Ｂ=ｂ1±ｂ2 ±…±ｂｎ,那么作 ｆ(ｘ)图象的方法如下 :第一步 :求点 .…     

求解含有绝对值的“三个二次”综合题的五个着眼点

中学数学中的“三个二次”是指二次函数、二次方程、二次不等式 .以二次函数为中心 ,用它的图象和性质串联另外两个“二次”以及其他知识组成的综合题是历年高考的重点 .含有绝对值的“三个二次”综合题乃重中之重 ,解答这类问题常从以下几个方面考虑 .1　运用公式 | |ａ| - |ｂ| |≤ |ａ±ｂ|≤ |ａ| + |ｂ|例 1　函数ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 ) ,若函数ｆ(ｘ)的图象与直线ｙ =ｘ和ｙ =-ｘ均无公共点 ,求证 :1) 4ａｃ -ｂ2 >1;2 )对一切实数ｘ ,恒有 |ａｘ2 +ｂｘ +ｃ| >14 |ａ| .分析 :1)略 .2 ) |ａｘ2 +ｂｘ …     

圆锥曲线中的常用方法

高考中 ,圆锥曲线解答题常作为把关题或压轴题 .定义法、待定系数法、参数法是解圆锥曲线题中不可忽视的三种方法 ,要努力提高应用这三种方法解决圆锥曲线问题的意识和能力 .1　定义法例 1　△ＡＢＣ的三边ａ >ｂ>ｃ成等差数列 ,Ａ ,Ｃ两点的坐标分别是 (- 1,0 ) ,(1,0 ) ,求顶点Ｂ的轨迹 .解　设Ｂ点的坐标为 (ｘ ,ｙ) .∵ａ ,ｂ ,ｃ成等差数列 .∴ａ +ｃ=2ｂ ,即 |ＢＣ|+|ＢＡ|=2 |ＡＣ|.∴ |ＢＣ|+|ＢＡ|=4 .根据椭圆的定义易知 ,点Ｂ的轨迹方程为ｘ24 +ｙ23=1.又∵ａ >ｂ >ｃ ,∴ａ >ｃ　即 |ＢＣ|>|ＡＢ|,∴ (ｘ - 1) 2 +ｙ2 >(ｘ +1) …     

充分发挥课本中定理的效力

在数学的学习当中 ,仅仅掌握课本中定理的证明是不够的 ,而应该深入反思其本质所在 ,在拓广思路的基础上 ,探讨它的新证法 .下面看我们对绝对值不等式定理的思考 .已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,求证|ａ|- |ｂ|≤ |ａ ｂ|≤ |ａ| |ｂ|.(高中《代数》下册Ｐ 2 6定理 1)证明此题的关键是设法脱去绝对值符号 .思考 1　两边平方的方法 .证法 1　先证 |ａ ｂ|≤ |ａ| |ｂ|.①∵ |ａ ｂ|2 =ａ2 2ａｂ ｂ2 ≤ |ａ|2 2 |ａ|·|ｂ| |ｂ|2 =( |ａ| |ｂ|) 2 ,∴ |ａ ｂ|≤ |ａ| |ｂ|.再证　 |ａ|- |ｂ|≤ |ａ ｂ|.②若 |ａ|- |ｂ|≤ 0时 ,|ａ|- |ｂ|≤ |ａ …     

巧构造 妙解题

构造法是一种重要的解题方法 ,是最富活力的数学转化方法之一 .恰当地运用这一方法解题 ,能收到以简驭繁、化难为易、事半功倍之效 .下面以各类竞赛题为例说明 .一、构造方程例 1　已知ａ ,ｂ ,ｃ三数满足方程组ａ +ｂ =8,ａｂ -ｃ2 + 82ｃ =48.试求方程ｂｘ2 +ｃｘ -ａ=0的根 .( 2 0 0 2年全国初中数学联赛题 )解　∵　ａ +ｂ =8,　ａｂ =ｃ2 -82ｃ +48,∴　ａ ,ｂ是方程ｘ2 -8ｘ +ｃ2 -82ｃ + 48=0的两根 ,则Δ =82 -4 (ｃ2 -82ｃ + 48)≥ 0 ,即　 -4 (ｃ -4 2 ) 2 ≥ 0 .∴　ｃ =42 .代入方程 ,得ｘ2 -8ｘ + 16=0 ,解之得ａ =ｂ =4.∴　…     

综合题新编选登

题 5 6　已知 ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 ｘ ,当点Ｍ (ｘ ,ｙ)在ｙ =ｆ(ｘ)的图象上运动时 ,点Ｎ(ｘ - 2 ,ｎｙ)在函数 ｙ=ｇｎ(ｘ)的图象上运动 (ｎ∈Ｎ) .1)求 ｙ =ｇｎ(ｘ)的表达式 ;2 )求集合Ａ ={ａ|关于ｘ的方程 ｇ1(ｘ) =ｇ2 (ｘ - 2 +ａ)有实根 ,ａ∈Ｒ} ;3)设Ｈｎ(ｘ) =(12 ) ｇｎ(ｘ) ,函数Ｆ (ｘ) =Ｈ1(ｘ) - ｇ1(ｘ) (0 <ａ≤ｘ≤ｂ)的值域为 [ｌｏｇ252ｂ +2 ,ｌｏｇ24 2ａ +2 ],求实数ａ ,ｂ的值 .解　 1)由 ｙ =ｆ(ｘ) ,ｎｙ =ｇｎ(ｘ - 2 ) 得 ,ｇｎ(ｘ - 2 ) =ｎｆ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 ｘ ,∴ ｇｎ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 (ｘ +2 )　 (ｘ >- 2 …     

巧用一元二次方程的根与系数的关系解题

在初中代数里 ,一元二次方程的根与系数的关系 ,是一个很重要的知识 ,要求学生切实掌握 ,并能灵活应用 .下面三个例子 ,属于巧用类型 ,简化了计算 ,可能有助于开拓学生解题思路 .例 1　如果ａ、ｂ是方程ｘ2 + (ｍ- 1 )ｘ+ 2 =0的两个实数根 ,那么 (ａ2 +ｍａ+ 2 ) (ｂ2 +ｍｂ+ 2 )的值为 (　　 )(Ａ)　 6　　 (Ｂ)　 2　　 (Ｃ)　 4　　 (Ｄ)　 0解　由于ａ ,ｂ是方程ｘ2 + (ｍ- 1 )ｘ+ 2 =0的两个实数根所以ａ2 + (ｍ- 1 )ａ + 2 =0 ,　　ｂ2 + (ｍ - 1 )ｂ+ 2 =0所以ａ2 +ｍａ+ 2 =ａ ,ｂ2 +ｍｂ+ 2 =ｂ又因为ａ ,ｂ是方程ｘ2 + (ｍ- 1 )…     

构造函数解（证）不等式

函数与不等式有着密不可分的联系 ,在不等式问题中 ,应重视以函数为桥梁 ,根据实际问题构造函数 ,用函数思想与函数方法分析、解决问题 .解 (证 )不等式问题 ,从实质上说 ,是研究相应函数的零点、正负值区间及其图象变化问题 .因此 ,用函数思想来处理这类问题 ,不仅会优化解题过程 ,而且会使我们迅速获得解题的途径 .例 1　已知 |ａ|<1,|ｂ|<1,|ｃ|<1,求证 :ａｂ ｂｃ ｃａ >- 1.证　把ａ看作自变量ｘ ,作一次函数ｆ(ｘ) =ｂｘ ｂｃ ｃｘ 1=(ｂ ｃ)ｘ ｂｃ 1,∵ |ｂ|<1,|ｃ|<1,|ａ|<1,即ｘ∈ ( - 1,1) ,∴ ｆ( - 1) =-ｂ -ｃ ｂｃ 1…     

巧用共焦点的有心圆锥曲线系方程解题

与椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1共焦点的圆锥曲线系方程为　　　　　　　　 ｘ2ａ2 -λ+ ｙ2ｂ2 -λ=1( )其中ａ >ｂ >0 ,λ <ａ2 ,且λ≠ｂ2 .当λ <ｂ2 时 ,方程 ( )表示椭圆 ;当ｂ2 <λ <ａ2时 ,方程 ( )表示双曲线 .对于焦点在 ｙ轴上的椭圆 ,亦有相应的方程与结论 .巧用上述方程解题 ,可减少不必要的许多中间环节 ,下面举一例说明 .例　给定椭圆 ｘ2ｂ2 + ｙ2ａ2 =1(ａ >ｂ >0 ) ,求与这个椭圆共焦点的双曲线 ,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大 ,并求出这个最大值 .解　设所求双曲线方程为ｘ2ｂ2 -λ+ ｙ2ａ2 -λ=1(ｂ2 <λ <ａ2 ) …     

高二同步测试题

选择题 :1　若1ｘ<ｘ ,则ｘ的取值范围是 (　　 )(Ａ) (-∞ ,- 1 )∪ (1 , ∞ ) .(Ｂ) (- 1 ,0 )∪ (1 , ∞ ) .(Ｃ) (- 1 ,1 ) .(Ｄ) (- 1 ,0 )∪ (0 ,1 ) .2　不等式ｌｏｇｘ 45 <1的解集是 (　　 )(Ａ) {ｘ| 0 <ｘ <45 }.(Ｂ) {ｘ|ｘ >45 }.(Ｃ) {ｘ| 45 <ｘ <1 }.(Ｄ) {ｘ| 0 <ｘ <45 }∪ {ｘ|ｘ >1 }.3　若 |ａ| <1 ,|ｂ| <1 ,则 |ａ ｂ| |ａ -ｂ|与 2的大小关系是 (　　 )(Ａ) |ａ ｂ| |ａ -ｂ| >2 .(Ｂ) |ａ ｂ| |ａ -ｂ| <2 .(Ｃ) |ａ ｂ| |ａ -ｂ| =2 .(Ｄ)不确定 .4　设ｘ∈Ｒ ,则 (1 - |ｘ| ) (1 ｘ) >0成立的充分…     

A∩B与A∪B的应用

Ａ∩Ｂ指集合Ａ与Ｂ的公共元素组成的集合 .若Ａ∩Ｂ =Ａ则说明Ａ Ｂ(即Ａ是Ｂ的子集 ) .Ａ∪Ｂ指所有属于Ａ或属于Ｂ的元素所组成的集合 .若Ａ∪Ｂ =Ａ则说明Ｂ Ａ(即Ｂ是Ａ的子集 ) .现举例说明其应用 .例 1　已知集合Ａ ={ｘ|2ｘ2 -ａｘ ｂ =0 },Ｂ ={ｘ|6ｘ2 (ａ 2 )ｘ 5 ｂ =0 },且Ａ∩Ｂ ={12 },求Ａ∪Ｂ .分析 :由Ａ∩Ｂ ={12 }知 12 ∈Ａ且 12 ∈Ｂ ,这就是说 12 既是方程 2ｘ2 -ａｘ ｂ =0的解 ,也是方程6ｘ2 (ａ 2 )ｘ 5 ｂ =0的解 ,故2× 14 - 12 ａ ｂ =0 ,6× 14 ａ 22 5 ｂ =0 ,解得 ａ =- 7,ｂ =- 4,代入原方…     

不等式的几个性质

不等式的性质是后继学习的基础 ,熟练掌握并能灵活运用不等式的性质 ,是提高解题准确性和快捷性的关键 .这里介绍一些课本中没有直接列出而在解题中经常遇到的性质 ,以供参考 .1　乘方、开方性质1)若ａ >ｂ ,则有 :①ａ2ｎ 1 >ｂ2ｎ 1 ;② 2ｎ 1 ａ >2ｎ 1 ｂ (ｎ∈Ｎ) .2 )若 0 >ａ >ｂ ,则ａ2ｎ<ｂ2ｎ(ｎ∈Ｎ ) .3)若 0 <ａ <ｘ2 <ｂ ,则 -ｂ <ｘ <-ａ或ａ <ｘ <ｂ .2　取倒数性质1)若ａ >ｂ >0或 0 >ａ >ｂ ,则 1ａ<1ｂ.2 )若 0 <ａ <ｘ <ｂ或ａ <ｘ <ｂ <0 ,则1ｂ<1ｘ<1ａ.3　取绝对值的性质1)ａ2 >ｂ2 |ａ| >|ｂ| .2 )若ａ <…     

巧用定比分点公式证明不等式

对于形如ｘ1 ≤ｘ≤ｘ2 的不等式 ,如果利用定比分点公式来证明 ,往往会收到很好的效果 .具体方法如下 :把ｘ1 ,ｘ ,ｘ2 分别对应数轴上的三点Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,Ｐ是有向线段Ｐ1 Ｐ2 的分点 ,由定比分点公式 :λ= Ｐ1 ＰＰＰ2=ｘ -ｘ1 ｘ2 -ｘ.如果λ >0 ,则Ｐ是Ｐ1 Ｐ2 的内分点 ,此时ｘ1 <ｘ <ｘ2 ;当λ =0时 ,有ｘ =ｘ1 ;当λ不存在时有ｘ =ｘ2 .因此当λ≥ 0时 ,即可证明ｘ1 ≤ｘ≤ｘ2 .下面通过举例加以阐述 .例 1　已知 |ａ| <1,|ｂ| <1.证明 :- 1<ａ ｂ1 ａｂ<1.证　设 - 1,ａ ｂ1 ａｂ,1分别对应数轴上的三点Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,Ｐ是Ｐ1 …     

一道课本复习题的解后探讨

题目　如图1,从椭圆上一点Ｐ向ｘ轴作垂线,图1　题目图恰好通过椭圆的一个焦点,这时椭圆的长轴端点Ａ与短轴端点Ｂ的连线平行于ＯＰ,求椭圆的离心率.(高中课本《解析几何》复习参考题二第12题,以下称原题)这是求离心率问题的一个典型例子,故值得我们深入研究,为此,本文先给出几种具有代表性的解法,然后再对它进行探讨.解法1　设椭圆方程为ｂ2ｘ2 ａ2ｙ2=ａ2ｂ2(ａ>ｂ>0),半焦距为ｃ,由题设知ｘＰ=-ｃ,代入椭圆方程解得ｙＰ=ｂ2ａ.∵ｋＯＰ=ｋＡＢ,∴-ｂ2ａｃ=-ｂａ,∴ｂ=ｃ,∴ａ2=2ｃ2,∴ｅ=22.解法2　∵ｋＯＰ=ｋＡＢ=-ｂａ,∴ＯＰ的方程为…     

椭圆“特征焦点三角形”的一个性质

椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形 .下面给出关于椭圆特征焦点三角形顶角的一个比较有用的性质及其应用 ,以引起同学们的注意 .性质　椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆两焦点所成张角中最大的角 .证明　不妨设椭圆方程为 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,两焦点Ｆ1 (-ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 ) ,α为椭圆特征焦点三角形的顶角 ,Ｐ是椭圆上的任意一点 ,则 0 <α <π ,|ＰＦ1 | + |ＰＦ2 | =2ａ ,|Ｆ1 Ｆ2 | =2ｃ.当Ｐ与椭圆长轴的端点重合时 ,∠Ｆ1 ＰＦ2=0 ,显然α >∠Ｆ1 ＰＦ2 .…