函数概念和几种常见函数的性质及应用

函数及其图象”内容是中学数学的重要内容之一 ,它在生产实践中应用最为广泛 ,也是数学“数形结合”思想的重要体现 .因而学习本内容的关键是掌握利用几何图形研究代数问题的方法 .为了帮助大家对本内容的学习 ,下面就此内容作系统归纳并精选出一些例题 ,供大家参考 .一、函数概念函数 :设在某变化过程中有两个变量ｘ ,ｙ ,如果对于ｘ在某一范围内的每一个确定的值 ,ｙ都有唯一确定的值与它对应 ,那么就说ｙ是ｘ的函数 ,ｘ叫自变量 .根据函数的含义 ,需使自变量的每一个值都有确定的函数值 ,因此根据函数的解析式求自变量取值范围的原则是 :自变量的取值必须保证该式有意义 .具体要求如下表所示 :函数解析式自变量ｘ取值范围的求法( 1)整式ｘ可取任意实数( 2 )分式令分母≠ 0 ,求ｘ的取值( 3)偶次根式令被开方式≥ 0 ,求ｘ即可( 4)奇次根式ｘ可取任意实数( 5)幂的形式①正整数次幂②零次幂③负整数指数幂ｘ可取任意实数令底数≠ 0 ,求ｘ即可先化为正整数指数幂 ,令分母≠ 0　　注意的两个问题( 1)当函数式同时出现以上几种形式中的若干种时 ,则必须逐一求得ｘ的取值范围 ,再取其公共部分才是所求 .( 2 )求具...     

复合函数的概念及其增减性

1　复合函数的概念定义　已知两个函数 ｙ =ｆ(ｕ) ,ｕ∈Ｄ ;ｕ =ｇ(ｘ) ,ｘ∈Ｅ ,设Ｅ ={ｘ|ｇ(ｘ) ∈Ｄ ,ｘ∈Ｅ}≠ ,若对于Ｅ 中任何一个ｘ值 ,通过函数ｕ =ｇ(ｘ) 对应Ｄ中唯一的一个值ｕ ,又通过函数ｙ =ｆ(ｕ)对应ｙ的一个唯一值 ,因此对于每个ｘ∈Ｅ ,变量 ｙ都有一个确定值与之相对应 ,这就得到一个确定在集Ｅ 上的函数 ,记作ｙ =ｆ( ｇ(ｘ) ) ,ｘ∈Ｅ ,称为由函数 ｙ =ｆ(ｕ) 与ｕ =ｇ(ｘ) 经过复合所得到的 ｙ为ｘ的复合函数 ,其中 ｙ =ｆ(ｕ) 常称为外函数 ,ｕ =ｇ(ｘ) 称为内函数 ,ｕ为中间变量 .由定义知 :1)仅当Ｅ ≠ (或 {…     

反函数

反函数河北秦皇岛一中申晓群武汉市桥口区教研室徐川［基本概念］如果对于函数ｙ＝ｆ（ｘ）的每一个确定的值ｙ０，自变量ｘ都有唯一确定的值ｘ０和ｙ０对应，那么，就可以得到一个以ｙ为自变量，以对应的ｘ值为函数的函数，记为ｘ＝ｆ－１（ｙ），这个函数叫做原来函数ｙ...     

例说函数概念的理解

函数是由对应法则、定义域、值域三部分构成 ,这是高一同学学习函数后都知道的 ,但要达到正确运用函数概念解决问题的水平 ,对函数概念仅处于一种表面的认识是不够的 .下面举几个例子说明 .题 1　函数 ｙ =(2 +ｘ) (3-ｘ)的定义域为集合Ａ ,函数 ｙ =ｌｇ(ｋｘ2 + 4ｘ +ｋ + 3)的定义域为集合Ｂ ,当Ｂ Ａ时 ,求实数ｋ的取值范围 .有的同学认为 ,因为Ｂ Ａ ,所以对集合Ｂ应该分成空集和非空集两类情况来处理 .从集合的角度看 ,的确应该这样做 ,那么在本题中到底该不该这样做呢 ?我们先来看看“函数”的定义 :如果Ａ ,Ｂ是非空的数集 ,那么…     

103 反函数

1　复习旧知 ,为“扩展建构”提供支撑点提问　函数中对应的类型 .试分析下列函数是什么类型的对应 ?① ｙ =2ｘ+1;② ｙ =ｘ2 ;③ ｙ =ｘ2 (ｘ ≥0 ) .板书对应的框图 :对应法则　一对一　　　多对一是否映射　　是　　　　　是　　　　图 1还有一种对应 ,如图 2 ,是一对多 ,就不是映射了 .函数 :Ⅰ是映射 ,ⅡＡ、Ｂ是非空数集 .函数三要素 :定义域、值域、对应法则 .图 22　把对应“逆过来”如何———一种扩展数学研究中 ,经常是 ,研究了原问题后 ,就会开始考虑它的逆问题 (这也是对原问题的深化的理解 ) .问 :把一个对应逆过来 (说明“逆过来”的意思 )后 ,对应的状况是怎样的呢 ?对应的法则又可用什么式子来表达呢 ?板书逆对应的框图 (图 3 ) :引导学生观察板书中的逆对应 ,讨论三个题目 :( 1)逆对应分别是什么类型的对应 ?( 2 )把 ｙ看成自变量 ,分别考察它们还是一个函数吗 ?( 3 )如果是函数 ,它们的定义域是什么 ?学生发现 :“一对一”对应的逆对应 ,仍是“一对一”对应 ;“多对一”对应的逆对应 ,成为“一对多”对应了 .说明 ,只有前者 ,对于ｙ在值域...     

(六)函数及其图象目标测试(满分100分,45分钟完成)

（六）函数及其图象目标测试（满分１００分，４５分钟完成）一、填空：（共４０分，每小题４分）１、函数的定义，设在某一变化过程中，有两个变量ｘ和ｙ，如果对于ｘ，ｙ的值，那么就把ｙ叫做ｘ的函数，ｘ叫做。２、求下列函数中自变量ｘ的取值范围：（１）ｙ＝３ｘ２＋...     

反正弦函数概念的教学对话

反正弦函数是一个比较抽象的概念 ,是教学的难点 .为此 ,我利用一个课时的时间 ,采用对话的形式 ,和同学们一起共同讨论这个问题 .教师 :请同学们回答以下两个问题 .问题 1　写出下列函数的逆关系 (即求出ｘ) .①ｙ =3ｘ - 1(ｘ∈Ｒ) ;②ｙ =ｘ3 1(ｘ∈Ｒ) .问题 2　一个函数的逆关系就是这个函数的反函数 ,对吗 ?(问题 2提出后 ,学生议论纷纷 ,有的说对 ,有的说不对 .)教师 :请说对的同学讲讲其理由 .学生 :函数是它的定义域到值域上的一个映射 ,这个映射的逆映射就是这个函数的反函数 ,例如ｙ= 3ｘ - 1(ｘ∈Ｒ) ,它是Ｒ到Ｒ上的一个映射…     

“五点法”作函数y=Asin(ωx φ)简图的思考

作函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的简图 ,主要是先找出在确定图象形状时起关键作用的五个点 ,要找出这五个点该作变量代换 ,设Ｘ=ωｘ φ ,由Ｘ取 0 ,π2 ,π ,3π2 ,2π来解出对应的ｘ值 ,由此再作出函数的图象 ,这又称为“五点法”作图 .同时 ,我们知道五个点中有三个点是函数图象与ｘ轴的交点 ,都是函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)图象的对称中心 ,另二个点是使函数取得最值的点 ,过这两个点所作的与ｙ轴平行的直线都是函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)图象的对称轴 .因此 ,分别由ωｘ φ =ｋπ和ωｘ φ =ｋπ π2 可求得函数 ｙ =Ａｓｉｎ(…     

深入理解偶函数概念

本文帮助同学们深入理解偶函数概念 .1　形象化感受作出函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 的图象如图 1,你觉得这个图 1　ｆ(ｘ) =ｘ2 的图象图象与 ｙ轴之间有什么关系吗 ?若把 ｙ轴形象地看成“平面镜” ,把图象右支看成一个物体 (比如弯曲的铁丝 ) ,那么左支就可以看成什么 ?图象左右两支关于ｙ轴对称 .当把 ｙ轴看成平面镜时 ,那么图象左支可看成右支的像 ,左右两部分成双成对 ,我们不妨把它比喻作一对“配偶” .请同学们自己作出函数 ｆ(ｘ) =- |ｘ|的图象 ,再作类似如上的思考 .数学家就把图象关于 ｙ轴对称的一类函数通称为偶函数 ,“偶”就是“配偶…     

集合与函数

1　基本知识　1 )元素与集合的关系 .判断一个对象是否为某个集合的元素 ,就是检验这个对象是否具备这个集合的元素所共有的属性 .2 )两集合之间的关系 .两集合之间的关系主要是“相等”、“包含”、“真包含”关系 .3)映射 .映射是数学中的一个基本概念 ,几乎每一个数学分支都要用到它 .设Ａ和Ｂ是给定的两个集合 ,如果有一个规则 ｆ ,使得对于每一个ｘ∈Ａ ,通过 ｆ ,唯一确定一个 ｙ∈Ｂ ,那么 ,就称 ｆ是Ａ到Ｂ的一个映射 ,记为ｆ :Ａ| →Ｂ .我们称 ｙ为ｘ在 ｆ作用下的象 ,记作 ｙ =ｆ(ｘ) ,并用符号ｆ :ｘ| →ｙ表示 ,称ｘ为ｙ的一个…     

反函数学习问答

反函数是中学数学中的一个重要内容 ,学习反函数时 ,如果对概念与定义内涵、性质的理解不深刻或有偏差 ,就会造成是非不清、知识错位 .下面以问答形式进行剖析 .1　函数ｘ =ｆ- 1( ｙ)和函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)是同一个函数 ,还是两个不同的函数 ?答 :是同一个函数 .因为函数定义域、值域及定义域到值域上的映射是函数三要素 .而对使用什么字母作自变量 ,什么字母表示函数并没有限制 .当没有指明函数的定义域时 ,一般是指使表达式有意义的自变量构成的集合 .但是 ,如果将ｘ =ｆ- 1( ｙ)和 ｙ =ｆ- 1(ｘ)作为方程看 ,这两者一般就不是同一个方程…     

“由反函数的定义域求给定函数的值域法”是错误的

若已知函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ)是函数ｙ =ｆ(ｘ)的反函数 ,那么 ,由函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ)的定义域求得函数ｙ=ｆ(ｘ)的值域是无可非议的 .但是现在许多高中数学课外读物 (甚至教材[1 ] 上所介绍的“由反函数的定义域求给定函数的值域”法却值得商榷 .1　“由反函数的定义域求给定函数的值域法”在理论和实践上的失误以下两例 (或类似的例题 )常常被引为“由反函数的定义域求给定函数的值域法”的典型例题 :例 1　求函数ｙ =2ｘｘ 2 (ｘ≠- 2 )①的值域 .解　因为函数①的反函数是ｙ=2ｘ2 -ｘ它的定义域是 :(-∞ ,2 )∪ (2 , ∞ ) .所以函数①的值…     

略述一类求参数取值范围问题的共同解法--兼论数学教师在教与学活动中的主体地位

考察这样的问题 :已知函数ｙ=ｘ-ａ的图象与其反函数的图象有公共点 ,求实数ａ的取值范围 .避开具体教法不谈 ,樊老师在文 [1 ]中引导学生得到下面一种解法 ,这就是ｙ=ｘ-ａ(ｘ≥ａ)在 [ａ ,+∞ )上是增函数 ,它有反函数因为如果ｙ=ｆ(ｘ)单调增 ,且ｙ =ｆ(ｘ)与ｙ=ｆ- 1 (ｘ)有公共点 (ａ ,ｂ) ,那么ａ =ｂ所以已知函数ｙ=ｘ-ａ 的图象与其反函数的图象有公共点 ,则该公共点必在直线ｙ=ｘ上 .所以 ｙ=ｘ-ａｙ=ｘ 　 ｘ2 =ｘ-ａ有解 Δ ≥ 0 .从而ａ≤ 14.本人以为 ,这样做没有揭示出问题的本质特征 .试问 :若函数ｙ=ａ-ｘ的图象与其反函…     

论函数与其反函数的图象的公共点

我们知道 ,单调函数都存在反函数 ,且反函数与原函数具有相同的增减性 ;互为反函数的两个函数的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 ,但是它们的图象不一定有公共点 ,如函数ｙ =2 ｘ 与ｙ =ｌｏｇ2 ｘ的图象就没有公共点 .如果互为反函数的两个函数的图象有公共点 ,那么公共点是否一定在直线 ｙ =ｘ上呢 ?例 1　求下列函数的反函数 ,以及原函数与其反函数的图象的公共点 .1) ｆ(ｘ) =ｘ3 ;( 2 ) ｇ(ｘ) =-ｘ3.解　 1)由 ｙ =ｘ3,得ｘ =3 ｙ.因此函数 ｆ(ｘ) =ｘ3 的反函数为 ｆ-1 (ｘ) =3 ｘ .解方程组 ｙ =ｘ3,ｙ =3 ｘ .消去ｙ ,得 :ｘ3 =3 ｘ .两边…     

三角函数的图象和性质

1　重、难点分析1)关于三角函数的图象 ,重点是能够熟练地画出正弦、余弦、正切、余切等四个函数在一个周期内的图象 ,特别是在原点附近的图象 ,进而掌握函数ｙ=Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)在一个周期内的图象 .掌握函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)的图象关键是建立函数ｙ =ｓｉｎｘ与ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)在一个周期内的对应关系 ,同时要结合函数的图象的平移和伸缩变换 ,加深对ω和 φ的理解 .而根据函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)的图象确定Ａ ,ω ,φ的值对初学者较困难 .2 )熟练掌握“五点法”作函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)的图象 .除了“五点…     

关于函数定义的問題

函数概念的重要性,不仅是学习高等数学的基础,而尤其重要的是:第一,沒有任何一个概念反映現实世界的現象,象函数相关性这个概念似的那么直接和具体,并且体現着現实世界的动态和实际量之間的互相制約性。第二,沒有任何一个概念,象函数相关性这个概念似的,能够体現出近代数学思維的辯証的特征。它告訴我們考虑量的生动的变化无常性,而不是人为的那样死板;考虑量之間的互相制約性,而不是人为的将它們割裂开。因此对学生来說,掌握它的精神和实质是具有头等重要的意义。但是,就現行中学教材关于函数的定义来看,是不能令人十分滿意的。 (一) 現行中学教材的函数定义。 現行教材的函数定义表述为:如果对于自变量的每一个确定的值,另一个变量有确定的值和它对应,那     

一次函数的图象及其性质

一、启发提问１．正比例函数与一次函数有什么区别与联系,它们自变量的取值范围是什么．２．正比例函数与一次函数的图象各是什么,确定它们的解析式各需要求得什么．二、读书指导１．若函数ｙ＝其中ｋ是常数,ｂ是,那么ｙ叫做ｘ的一次函数,当ｂ＝时,函数表达式变为ｙ＝,这时ｙ是ｘ的正比例函数．因此正比例函数是一次函数的特殊形式．２．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）中自变量ｘ的指数是,ｘ的系数ｋ必须不为０,又叫做比例系数,确定一次函数的解析式,就是要确定待定系数ｋ、ｂ的值．３．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象是…     

关于判别式的其它两种用法

对于一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ =0 ,其判别式Δ =ｂ2 - 4ａｃ ,我们常用判断式来判断一元二次方程解的个数 .其实 ,判别式在求分式函数的解析式、求分式函数的值域中也有着重要的作用 .下面通过实例来说明 .1　判别式在求分式函数解析式中的应用例 1　已知函数ｙ =ｍｘ2 4 3ｘ ｎｘ2 1(其中ｍ ,ｎ为实数 )有最大值 7,最小值 - 1,求函数ｙ的解析式 .　分析 :此题主要是确定ｍ ,ｎ的取值 ,如果直接将ｙ用 7,- 1代替 ,只能得到含未知量ｍ ,ｎ ,ｘ的一个方程组 ,显然由两个方程是不能得出ｍ ,ｎ的确切值的 .我们要设法找到 ｙ与ｍ ,ｎ的直…     

函数概念辨析

同济大学数学教研室主编的高等数学教材给出如下的函数定义：定义1设x和y是两个变量,D是一个给定的数集,如果对于每一个数X∈D,变量y按照一定法则总有确定的数值与它对应,则称y是X的函数．我们在教学过程中发现：对正在学习高等数学的低年级学生,此定义会产生一些歧义,给正确理解函数概念带来一定的困难．这主要是因为定义1中“确定”两字意义不明确造成的．换句话说,给一个工,到底y有确定的多少个数值时,y与工的关系为函数关系．下面来看几个例子．例1在直角坐标系中,考虑方程x2＋y2=a2,因当x取a或一a时,有确定的y值O与x对应…     

限定函数值范围问题解题策略

近几年高考试题、各地模拟试题、９８年高中数学联赛试题中，代数推理题成了一个新的热点题型．这类试题与函数概念、函数思想方法密切相关．一般与函数相关的题型有两类，一类是已知自变量ｘ的范围及对应关系ｆ，求函数值的范围、研究函数图象和性质等；另一类是限定函数值ｙ的范围及对应关系ｆ，求证有关不等式、确定参数范围等．第一类题型较常见，学生也很熟悉，这里不再赘述．第二类题型，一般形式新颖，方法灵活，推理严谨，能力要求高，是训练学生代数推理能力、锤炼思维的理想题型．１　对应关系ｆ是一次型问题对一次函数ｙ＝ａｘ＋…