双曲线的一个性质及应用

圆锥曲线有很多奇妙的性质．下面我们来探讨一下双曲线的一个性质及应用．性质 A是双曲线x2/a2-y2/b2=1上的一点, l1,l2是渐近线,作AB∥l2交l1于B,AC∥l1 交l2于C,则|AB|·|AC|为定值．证明如图1,作 AD⊥l1于D,作AE ⊥l2于E．∵ sin∠BOC 为定值,|AB|·|AC| =|AD|·|AE|/sin2∠BOC,故只需证得|AD|·|AE|为定值．设A(x0,y0),     

2014年一道高考题探究

<正>题目已知双曲线C:(x²)/(a2)/(a²)-y2)-y²=1的右焦点F,点A、B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)过C上一点P(x_0,y_0)(y_0≠0)的直线l:(x_0x)/a2=1的右焦点F,点A、B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)过C上一点P(x_0,y_0)(y_0≠0)的直线l:(x_0x)/a²-y_0y=1与直线AF相交于点M,与直     

纠错 究底 修正 寻源——对一道高考题命题问题的思考

(2013浙江高考理-15)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A、B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于______. 一、纠错与究底 试题考查直线与抛物线的相交位置关系,由|FQ| =2可知所求为确定的相交状态.典型的解析几何问题,解决过程是方程思想的常规应用,获得相交弦的中点Q的坐标即可利用两点间距离公式解决.     

新题征展(25)

A题组新编 　　1.过双曲线2x2一y2=2的左焦点作直线l,分别交双曲线于A、B两点.若|AB|=a,则……     

对一道"圆"题的探究和拓广

题目 已知圆O:x2+y2=1,直线l1过定点Q(3,0)且与圆O相切. (Ⅰ)求直线l1的方程; (Ⅱ)设圆O与x轴相交于A,B两点,P是圆O上异于A,B的任意一点,过点Q且与x轴垂直的直线为l2,若直线AP交直线l2于点M,直线BP交直线l2于点N,求证:以MN为直径的圆C经过定点,并求出定点坐标.     

一组有趣的圆锥曲线轨迹方程

文[1]的结论令人赏心悦目,颇有趣味,现将该文中条件“|OA|2 |OB|2=|OP|2”改成“1/|OA|2 1/|OB|2=1/|OP|2”与“|OP|2=|OA||OB|”之后,结论同样喜人.定理1设椭圆C1:Ax2 By2=1(0相似文献   

关于圆锥曲线与等比数列的一个性质

文[1]给出了圆锥曲线与等差数列的一个性质,本文给出圆锥曲线与等比数列的一个性质.图1定理1图定理1设椭圆C1:xa22 yb22=1(a>b>0),双曲线C2:mx22-ny22=1(m>0,n>0),过原点O引射线分别交C1,C2于A,B两点,P为线段AB上的一点,则|OA|,|OP|,|OB|成等比数列的充要条件是P点的轨迹为C3:(ax22 yb22)(mx22-ny22)=1.证设直线AB的参数方程为:x=tcosθ,y=tsinθ,其中θ(0≤θ<π)为直线AB的倾斜角,t为参数,|t|的几何意义为原点O到直线上相应点的距离.设A,B,P三点的坐标分别为:A(t1cosθ,t1sinθ),B(t2cosθ,t2sinθ),P(tcosθ,tsinθ).因A点在…     

新题征展(33)

A　题组新编1 .( 1 )已知平面上的点 P( - 2 ,- 2 )、Q( 0 ,- 1 ) ,若点 R( 2 ,m)使 | PR| | QR|最小 ,则 m =,| PR| | QR|的最小值是.( 2 )已知直线 l:x y =8,点 F1( - 4,0 )、F2 ( 4 ,0 ) ,在直线上取一点 M,过 M作以F1、F2 为焦点的椭圆 ,求长轴最短时该椭圆的方程 .( 3)抛物线 y2 =4 x上一个动点 P,抛物线的焦点为 F,又知定点 A( 3,1 ) ,则 | AP| | PF|的最小值是 ,此时 P点的坐标是.( 4 )已知点 A( 3,2 ) ,F是双曲线 x2 - y23= 1的右焦点 ,P为双曲线上任意一点 ,则| PA| 12 | PF|的最小值是 ,此时 P点的坐标是 …     

双曲线平行弦的两个性质

笔者通过对双曲线的探究,发现了它的平行弦之间的两个新颖有趣的性质.性质1如图1,过双曲线x2a2-2yb2=1(a>0,b>0)的顶点A的弦AQ交y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则|OP|2=12|AR|·|AQ|.图1双曲线证设OP的参数方程为x=tcosα,y=tsinα,t为参数.将x,y代入双曲线方程并整理,得     

考点28 轨迹问题

1.(上海卷,3)直角坐标平面xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP·OA=4,则点P的轨迹方程是.2.(江西卷,16)以下四个关于圆锥曲线的命题中1设A、B为两个定点,k为非零常数,若PA-PB=k,则动点P的轨迹为双曲线;2过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若OP=12(OA+OB),则动点P的轨迹为椭圆;3方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;4双曲线2x52-y92=1与椭圆3x52+y2=1有相同的焦点.其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号).3.(北京卷,18)如图,直线l1:y=kx(k>0)与直线l2:y=-kx之间的阴影区域(不含边界)记为W,其左半…     

直线方程x=my+a的重要功能

解析几何中关于直线过x轴上定点(a,0)的问题,一般同学都用常规的点斜式法设直线方程为y=k(x-a).这种设法会使运算较为繁琐,有时还会陷入僵局.例1　已知过定点P(2,0)的直线l交抛物线y2=4x于A、B两点,求△AOB(O为坐标原点)面积的最小值.图1解　设直线y=k(x-2)与抛物线方程y2=4x联立,　　y=k(x-2)y2=4x(1)(2)消去y得k2x2-4(k2 1)x 4k2=0.(3)因为　S△AOB=12|OC|.|AB|,而　|AB|=|x1-x2|k2 1=42k2 1k2k2 1,　　|OC|=|2k|k2 1,(这里运算量很大,中间过程已省略)所以　S△AOB=12.42k2 1k2k2 1.|2k|k2 1=42k2 1|k|=42 1k2→42.我们发现达不…     

抛物线一个性质的推广

命题（抛物线的一个性质）：设抛物线y2—2px（P〉0）的焦点为F,过F点的直线交抛物线于A、B两点,BC//x轴。交抛物线的准线l于点C,则直线AC经过原点O．     

相似双曲线的一组优美性质

文[1]介绍了相似椭圆的一组性质,很容易把这些性质类推至双曲线.不仅如此,相似双曲线还具有更多的优美性质.为行文方便,本文约定双曲线C1的方程为ax22-by22=λ2(0<λ<1),双曲线C2的方程为xa22-by22=1.显然C1与C2相似,且相似比为λ.定理1过双曲线C2上任一点P引C2的切线l交双曲线C1于A,B两点.则|PA|=|PB|.定理2若直线l与双曲线C1交于A,B两点,与双曲线C2交于C,D两点,则|AC|=|BD|.以上性质的证明与文[1]完全类似,故略.定理3过原点的直线l1与双曲线C1,C2的右支分别交于点A1,A2.过原点的直线l2与双曲线C1,C2的右支分别交于点B1,B2.则…     

圆锥曲线的一类切线的几何画法

下面是一个关于圆的切线判定的平面几何命题 :如图1所示 ,AB是⊙O的直径 ,EB是⊙O的切线 ,直线EA交⊙O于点D ,A ,点C是线段BE的中点 ,那么 :DC是⊙O的切线 .这个命题不仅给出了圆切线的一个几何画法 .而且可引伸出圆锥曲线的一类切线的几何画法 .本文以命题的形式介绍这种方法 .图 21　椭圆切线的一个几何画法命题 1　如图 2所示 ,AB是椭圆的长轴 ,过B的直线l⊥AB ,点D是椭圆上除长轴两端点外任意一点 ,直线AD交直线l于点E ,点C是线段BE的中点 .则DC是椭圆的切线 .证明　如图 2 ,建立直角坐标系 ,设椭圆图方程是x2a2 + y2b2 =1…     

一组平行线三种不同视角下的证明

<正>如图1,2,直线AB交双曲线y=k/x(k>0)x于A,B两点(A,B可能在同一支上,也可能分别在两支上),交x轴,y轴于C,D两点,过点A作AE⊥x轴于点E,AF⊥y轴于点F;过点B作BG⊥x轴于点G,AH⊥y轴于点H.AE与BH相交于点M,则AB∥EH∥FG.(k>0或k<0结论都成立,方便起见,此处仅给出k>0时的图形.)如何来证明这一组直线平行?问题来自于双曲线,"问渠那得清如许,为有源头活水来",因此就从反上例函数图像的性质以及直线和反比例函数的图像的位置关系来展开证明.     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

双曲线定义的应用

<正>一、巧用定义,求双曲线的轨迹方程例1在△ABC中,B、C是两个定点且|BC|=12,点A为动点,满足||AC|-|AB||=1/2|BC|,求顶点A的轨迹方程.解析以B、C所在直线作为x轴,线段BC的垂直平分线作为y轴,建立平面直角坐标系.由已知得B(-6,0),C(6,0),     

探究双曲线渐近三角形的一组性质

1渐近三角形的定义如图1,设l是过双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)上的一点P(x0,y0)的切线,l与双曲线的两条渐近线分别交于点M,N,与x轴交于点Q,则称△OMN为双曲线的渐近三角形.2渐近三角形的性质图1性质1|OM|·|ON|=a2 b2证明切线l的方程为b2x0x-a2y0y=a2b2.与方程y=abx联立,解得M点的坐标为(bx0a-2bay0,bx0a-b2ay0).同理可得N点的坐标为(bx0a 2bay0,bx-0 aba2y0).从而|OM|·|ON|=(bx0a-2bay0)2 (bx0a-b2ay0)2·(bx0a 2bay0)2 (bx-0 aba2y0)2=|abbx0a-2a y0b|2·|abbx0a 2a y0b|2=a2b2(a2 b2)a2b2=a2 b2.由中点坐标公式可知,P是线段MN的…     

对《有心圆锥曲线切线的一个性质》一文的补充

文[1]给出了椭圆和双曲线切线的一个性质,笔者经过思考还发现抛物线切线的一个性质,算是对文[1]的补充和完善. 性质1若P为抛物线y2=2px（p〉0）上不同于坐标原点O的任意一点,直线PO交直线l：x=t于点M,直线PN⊥直线l,垂足为N,以点P为切点的切线交直线l于点Q,则Q为MN的中点.证明如图1,设P（x0,y0）,则y20=2px0,N（t,y0）.     

圆锥曲线中一组结论

<正>性质1如图1,直线AB过点P(t,0)(0<|t|2/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a2=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a²/t的垂线,垂足分别为C、D、E,则1/AC、1/PE、1/BD成等差数列.证明设点A和点B的坐标分别为(x_1,y_1)和(x_2,y_2),当直线AB不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x-t),代入椭圆方程整理得: