例说简单无理方程中参数取值范围的求法

无理方程的求解 ,既要考虑如何把问题转化成“有理”的 ,又要考虑根式有意义的条件 ,因而求解的难度较大 ,若是方程中出现参数问题就变得更加复杂 .这里通过两个例题的评析 ,介绍几种求解简单无理方程中参数取值范围的方法 .例 1　若方程 2ｘ 1=ｘ ａ有两个不同的实数根 ,求满足条件的ａ的取值范围 .思考 1　能否去掉根号 ?于是想到两边平方 ,同时注意到根式要有意义 .因此 ,有下面解法 1所示的控制增根的方法 .解法 1　原方程两边平方得2ｘ 1=(ｘ ａ) 2 (1)即ｘ2 (2ａ - 2 )ｘ ａ2 - 1=0 .Δ =(2ａ - 2 ) 2 - 4 (ａ2 - 1) >0 ,解得ａ…     

含参数的无理方程或无理不等式的构造解法

解含参数的无理方程、不等式 ,我们希望把它转化为有理方程、不等式 ,故需分类讨论 ,平方去根号 ,讨论过程冗长繁琐 ,学生往往会顾此失彼 ,考虑不周 .近年来的高考题中 ,选择题、填空题等题型由于不要求写出解答过程 ,要求应用数形结合的思想 ,通过图形的启示与诱导 ,找到简捷的思路 ,快速、准确地做出判断 ,得到结果 .对于要求完整写出解答过程的主观性试题 ,由于其包含的知识量大 ,涉及的基本概念多 ,数形结合思想主要用于思路分析、化简运算及推理过程 .1　含参数的无理方程例 1　当ａ取何值时 ,关于ｘ的方程ａ(ａ - 2ｘ) =ｘ - 1有解 ?…     

构造圆锥曲线解一类无理方程

解数学题的常规方法,是按照从条件到结论的定向思维．而按这种习惯性的思维方式来寻找解题途径,往往比较麻烦与困难．于是,我们应该变换自己的思维方向,改变思考角度,以开辟一条绕过障碍的新途径．构造性的思维方法便是一种十分有用的方法．它通过分析、联想,把题目中的已知条件重新组合,构造出新的图形、表达式、方程、函数等,使原来较为抽象、隐含的条件清晰地显示出来,以达到化繁为简、化难为易、化生为熟的目的．     

一个方程的几种解法

问题　同学们 ,你会解方程ｘ =2 2 ｘ吗 ?请动笔一试 .解法 1(平方法 )　这是一个无理方程 ,早在读初中的时候 ,同学们就知道无理方程可以通过两边平方将原方程转化为多项式方程 ,从而得 :(ｘ2 - 2 ) 2 - 2 -ｘ =0解这个四次方程 ,可求得ｘ1=- 1- 52 ,ｘ2 =- 1,ｘ3=- 1 52 ,ｘ4 =2 .经检验 ,原方程的根为ｘ =2 .本解法很自然 ,但有一个明显的缺点就是转化后所得的多项式方程次数太高 ,不利于求解 ,也于解法的推广不利 .还有别的解法吗 ?进高中学了不等式性质和熟悉反证法后 ,我们想到 :解法 2 (反证法 )　直接观察就知ｘ =2是原方程的一个…     

解无理方程的一种参数法

中学数学中解无理方程常采用换元法,目的是把无理方程转化为有理方程,从而便于求解。其实质是一种参数法。引进参数后实际上是把一元无理方程转化为二元,乃至于多元的有理方程组。     

构造几何图形解无理方程(组)

在解无理方程(组)时,若能通过构造几何图形,把问题转化成研究几何图形的性质或位置关系来解,则可简化过程,提高效率. 　　……     

一道无理方程的多种解法

题目解方程√1-√1+x=x. 　　这是1989年"缙云杯"初中数学邀请赛的一道试题.若引导学生从多种角度思考,认真挖掘其解法,它不失为培养学生发散思维能力的好素材.……     

含有三次根式的无理方程的解法探究

根号内含有未知数的方程叫做无理方程或根式方程.解无理方程的基础是根式运算及整式方程的解法.一般是根据方程的同解原理,把一个无理方程转化为有理方程,然后求解.本文主要研究含有三次根式的无理方程的解法,现以部分高中数学竞赛题为例,归纳总结几种常用方法如下,供高中师生参考     

动与静的思索

1　以动求静事物的静止状态只是相对的 ,是运动的一种特殊表现形式 ,在一定的条件下 ,它会向显著变动的方向转化 .有的数学问题 ,在静态下虽然可得结果 ,但往往较繁 .如果变静态为动态 ,即通过变动的、一般的状态来考察确定的、特殊的情形 ,有时会收到奇妙的效果 .例 1　解方程ｘ2 6ｘ- 1 1 - ｘ2 - 6ｘ 1 1 =2 5分析　这是一个无理方程 ,按常规要经过两次移项且两边平方后才能全部脱去根号 ,转化为有理方程求解 ,过程繁杂 .若把方程化为(ｘ 3 ) 2 2 - (ｘ - 3 ) 2 2 =2 5 ,而把方程中的常数“2”暂时看作变量 ,即设 2 =ｙ2 ,则有(ｘ 3 …     

解不适定问题的一种多尺度方法

1 前言 数学物理反问题是应用数学领域中成长和发展最快的领域之一.反问题大多是不适定的.对于不适定问题的解法已有不少的学者进行探索和研究,Tikhonov正则化方法是一种理论上最完备而在实践上行之有效的方法(参见[5,6,7,8,13]).     

用二次曲线定义解无理方程

解无理方程的常用方法是使方程有理化,但对于一些特殊的无理方程,如果盲目乘方,往往会招致繁琐的运算。这就需要根据题中的一些特殊条件,采用特殊的解法。而利用二次曲线的定义,将无理方程转化为二次曲线的标准方程是值得注意的解题方法,现举几例介绍如下: 例1 解方程 x~2-10(3~(1/2))x+80+(1/2)x~2+10(3~(1/2))x+80=20 解:原方程可化为:(x-5(3~(1/2))~2+5~(1/2)+(x+5(3~(1/2)))~2+5~(1/2)=20令y~2=5,则原方程为:(x-5(3~(1/2))~2+y~2)~(1/2)+(x+5(3~(1/2))~2+y~2~(1/2)=20。此方程表示动点P(x,y)到两定点(5(3~(1/2)),0)、(-5(3~(1/2)),0)的距离之和为20,故它表示椭圆。     

巧用三角代换解无理方程

巧用三角代换解无理方程６２９１１１四川蓬溪群力中学邓甫修形如人呼万个人死万一。（ｍ＞０）型的无理方程，常用的解法是两次平方法，化为有理方程来解，运算量很大，且将产生高次方程．现介绍巧用三角代换来妙解这类方程，其方法是：令人ｘ）。ｍ’幻ｎ‘５，ｇ（ｘ）...     

关于曲线积分一种计算方法的解释

文[1]对曲线积分其中L是以A（1，0），B（0，1），C（－1，0），D（0，－1）为顶点的正方形边界的正向（逆时针方向），给出两种解法，解法一：分段化为定积分计算，是常规解法。解法二，为便于讨论，抄录如下：[解法二]把曲线L的方程：|x|＋|y|＝1代入被积式中，先对原积分变形，得：I＝再利用格林公式（取p（x，y）＝1，Q（x，y）＝1）得I一文［１］。为解法。。解法过程及所用。算方。有问。，理由是形后的积分中dX十力不等价，不可用后者的曲线积分代替原曲线积分的计算。笔者认为这样的分析不妥。、。。X、＿，。Ldx＋dy。＿，。…     

对一解法的探讨

例题求(3x 2y)10展开式中系数的最大项.很多资料上都给出如下解法:设展开式第r 1项Tr 1的系数tr 1为最大,由ttrr 11≥≥ttrr 2可得Cr10310-r2r≥Cr10-1311-r2r-1Cr10310-r2r≥Cr1 0139-r2r 1(1≤r≤10,r∈N)解得157≤r≤254,所以r=4,即展开式中系数的最大项为第五项T5=C140(3x     

一组无理方程

下列各方程均不需“乘方”.经观察、分析后,在十秒钟内即得其解,请你一试. 1.了万丁丁了+了云不若下二o 2.石万i一卜艺不二飞~3 3.、肠芬子一了+了万一不二2 4.石石十石不乏~1 5.(尹十1)十一丫花牙二百二二0 6.:一、心二乏~2 7.了王范.石不而+(一2)=o 一3一一组无理方程@王南林$安徽安庆市月山铜矿中学~~     

活用坐标法巧解无理方程

用坐标法解题 ,就是在坐标平面内 ,依据问题的结构特征 ,转化、构造解析几何模型 ,借助于解析几何的有关公式、性质、图形的特征、位置关系等来探求解法 .一些无理方程应用坐标法求解 ,能较好地避免因常规解法而带来的方程高次化问题 ,使问题解决自然流畅 ,简捷明了 .1　用距离     

借用柯西不等式巧解无理方程

对于柯西不等式(∑ni=1aibi) 2 ≤ ∑ni=1a2i∑ni=1b2i　 (ai、bi ∈ R) ,若　 (∑ni=1aibi) 2 =∑ni=1a2i∑ni=1b2i成立 ,则有且仅有　 ai =kbi　 (k为常数 ,i =1 ,2 ,… ,n)也成立 .下面将运用柯西不等式取等号的这一特性 ,巧解 (或化简 )一些较为繁难 ,甚至常法不能求解的无理方程 .所解方程均求实根 .例 1　解方程x 4- 3 x2 3 x 4- x2 =4.解　根据柯西不等式(x 4- 3 x2 3 x 4- x2 ) 2　≤ [x2 (4 - x2 ) 2 ].[(4 - 3 x2 ) 2 (3 x) 2 ],而　 x 4- 3 x2 3 x 4- x2 =4,∴　 (x 4- 3 x2 3 x 4- x2 ) 2　 =[x2 (4 - x2 ) 2 ].[(4 - 3…     

用分部换元法解无理方程

解方程f(x)=0时,令方程中关于x的某部分f_1(x),f_2(x),…,f_n(X)分别为u_1,u_2…,u_n,我们把这种换元法称之为分部换元法。用此法解某些根指数较大而又不易直接化去根号的无理方程,有时较为简便。常见的有以下两种类型。 1.型如v后,变为f(u,v)=0。如能导出u、v的线性齐次式pu+qv=0,则可化为有理方程而解之。例1 解方程2x+1+xx~2+2~(1/2)+     

复数集内解无理方程浅说

在中学数学复习中遇有这样一道题目:方程(x+4)~(1/2)-(x-4)~(1/2)+(x-1)~(1/2)=0在实数集合中的解是什么?在复数集合中的解是什么? 有的复习资料中给出如下的解法.