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题 2 4 已知平行四边形ＡＢＣＤ ,Ａ (-2 ,0 ) ,Ｂ(2 ,0 ) .且 |ＡＤ| =2 .1)求平行四边形ＡＢＣＤ对角线交点Ｅ的轨迹方程 .2 )过Ａ作直线交以Ａ ,Ｂ为焦点的椭圆于Ｍ ,Ｎ两点 .且 |ＭＮ| =832 ,ＭＮ的中点到ｙ轴的距离为 43,求椭圆的方程 .3)与Ｅ点轨迹相切的直线ｌ交椭圆于Ｐ ,Ｑ两点 .求 |ＰＱ|的最大值及此时ｌ的方程 .解 1)设Ｅ(ｘ ,ｙ) ,连ＯＥ ,则ＯＥ ∥=12 ·ＡＤ .∴ |ＯＥ| =1.∴ｘ2 ｙ2 =1(ｙ≠ 0 ) .2 )由圆锥曲线的统一定义可知 :|ＭＡ|=ａ ｅｘ1,|ＮＡ| =ａ ｅｘ2 .∴ |ＭＮ| =2ａ ｅ(ｘ1 ｘ2 ) =832 .∵ｃ=2 ,∴… 相似文献
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应用三角形中位线定理证明四边形的有关问题 ,经常要用“取中点 ,连中位线”的方法 ,但到底在什么地方取中点 ,怎样利用中位线呢 ?这就是我们要研究解决的问题 .例 1 如图 ( 1 ) ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,Ｅ为ＡＢ上一点 ,△ＡＤＥ和△ＢＣＥ都是等边三角形 ,ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ的中点分别为Ｐ ,Ｑ ,Ｍ ,Ｎ .求证 :四边形ＰＱＭＮ是菱形 .分析 :欲证ＰＱＭＮ为菱形 ,即证明ＰＱ =ＱＭ =ＭＮ =ＮＰ .由已知Ｐ ,Ｑ ,Ｍ ,Ｎ分别是四边形的中点 ,想到它们可能分别是三角形的中位线 .为此 ,先构造三角形 ,因而连结ＡＣ ,ＢＤ ,可推出ＰＱ =ＭＮ… 相似文献
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文［１］给出了关于椭圆的直径三角形的如下性质：命题设△ＡＢＣ内接于椭圆Γ,且ＡＢ为Γ的直径,ｌ为ＡＢ的共轭直径所在的直线,ｌ分别交直线ＡＣ、ＢＣ于Ｅ和Ｆ,又Ｄ为ｌ上一点,则ＣＤ与Γ相切的充要条件是Ｄ为ＥＦ的中点．本文进而给出关于双曲线的直径三角形的类... 相似文献
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20 0 2年 5月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 71 如图 ,凸四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ ,延长ＡＢ、ＤＣ得交点Ｅ ,延长ＢＣ、ＡＤ得交点Ｆ .Ｍ、Ｎ各是ＡＣ、ＢＤ的中点 .且ＡＣ >ＢＤ .求证 :ＭＮＥＦ =12 · ＡＣＢＤ-ＢＤＡＣ(安徽省怀宁江镇中学 黄全福 2 461 42 )证明 先注意下述两个引理 .引理 1 图形与相关条件与题目相同 ,设ＡＣ、ＢＤ相交于Ｐ .求证 : ＯＰ⊥ＥＦ .证明 设⊙Ｏ半径为Ｒ .在射线ＦＰ上取一点Ｋ ,使得Ｂ、Ｋ、Ｐ、Ｃ四点共圆 .此时∠ＢＫＦ =∠ＢＫＰ =1 80°-∠ＢＣＰ=1 80°-∠ＢＣＡ=1 80° -∠ＢＤ… 相似文献
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20 0 3年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 6 Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ=90°,Ｄ、Ｅ为ＢＣ边上的两点 ,△ＡＤＥ的外接圆分别交边ＡＢ、ＡＣ于点Ｐ和Ｑ ,且ＢＰ +ＣＱ =ＰＱ ,求∠ＤＡＥ的度数 .(安徽省南陵县第二中学 金旗 2 42 40 0 )图 1引理 如图 1 ,梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＣＤ上两点 ,且ＡＥ=ＢＥ ,ＥＦ=12 (ＡＤ +ＢＣ) ,则有ＥＦ ∥ＢＣ .(该引理较易证明 ,略 )解 如图 2 ,过Ｐ点作ＰＦ ⊥ＡＢ ,ＰＦ交ＢＣ于Ｆ点 ,取ＰＱ的中点Ｏ ,连结ＯＥ ,ＰＥ .图 2因为ＡＢ =ＡＣ ,∠Ｂ… 相似文献
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20 0 1年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 96 ＡＣ是 ＡＢＣＤ较长的一条对角线 ,Ｏ为 ＡＢＣＤ内部一点 ,ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ ,ＯＦ⊥ＡＤ于Ｆ ,ＯＧ⊥ＡＣ于Ｇ .求证 :ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ=ＡＧ·ＡＣ证明 不妨设Ｏ在△ＡＢＣ内 ,ＯＦ与ＯＣ交于Ｐ ,连结ＡＯ ,作ＢＭ ⊥ＡＯ ,ＢＬ⊥ＡＣ ,ＤＮ ⊥ＡＯ ,ＤＫ⊥ＡＣ ,ＣＱ ⊥ＡＯ ,Ｍ、Ｌ、Ｎ、Ｋ、Ｑ均为垂足 .∵Ｅ、Ｂ、Ｍ、Ｏ四点共圆∴ＡＥ·ＡＢ =ＡＯ·ＡＭ同理 ,ＡＦ·ＡＤ =ＡＮ·ＡＯ∴ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ =ＡＯ· (ＡＭ ＡＮ)(1 )设∠ＤＡＣ =α ,∠ＣＡＢ =β ,∠… 相似文献
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问题 已知以点Ｃ(2,0)为圆心的圆Ｃ与两射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)相切,动直线ｌ与圆Ｃ相切且与射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)分别交于Ａ,Ｂ两点,求ＡＢ的中点的轨迹方程.分析:1)首先细审题意,分清已知条件与求解目标,明确问题结构.已知几何条件有三点:①圆心为Ｃ(2,0)的圆与两射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)相切;②直线ｌ与圆Ｃ相切;③ｌ与两射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)分别交于Ａ,Ｂ两点.所求是适合上述三个几何条件的线段ＡＢ中点的轨迹2)充分运用综合分析法.首先从求解目标出发逆推:①动点Ｍ的确定依赖于线段ＡＢ两端点Ａ与Ｂ的位置.若考虑到ＡＢ与圆Ｃ相切,则可知若Ａ,Ｂ两… 相似文献
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定理 在空间四边形中 ,如果它的两组对边分别相等 ,那么连结两对角线中点的直线垂直于两对角线 ;反之 ,如果连结两对角线中点的直线垂直于两对角线 ,那么它的两组对边分别相等 .图 1已知 :空间四边形ＡＢＣＤ中 ,Ｅ、Ｆ分别是两对角线ＡＣ和ＢＤ的中点 .求证 :(1 )若ＡＢ =ＣＤ ,ＢＣ =ＡＤ ,则ＥＦ⊥ＡＣ ,ＥＦ⊥ＢＤ ;(2 )若ＥＦ⊥ＡＣ ,ＥＦ⊥ＢＤ ,则ＡＢ=ＣＤ ,ＢＣ=ＡＤ .证明 如图 1 ,取ＡＢ的中点Ｐ ,ＢＣ的中点Ｍ ,ＡＤ的中点Ｎ ,连结ＰＥ、ＰＦ、ＰＭ、ＰＮ和ＥＭ、ＥＮ、ＦＭ、ＦＮ ,则ＥＭ =∥ 12 ＡＢ , ＦＮ =∥ 12 ＡＢ ,… 相似文献
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点面距离是空间距离中比较重要的问题 ,求点面距离方法灵活 ,空间想象能力要求高 ,往往难以把握 .下面就近年的高考试题谈谈其解法 .1 定义法过平面外一点作平面的垂线 ,直接求出这点到垂足间的距离即可 .例 1 ( 1990年上海试题 )如图 1,平面α ,β相交于直线ＭＮ ,点Ａ在平面α上 ,点Ｂ在平面 β上 ,点Ｃ在直线ＭＮ上 ,∠ＡＣＭ =∠ＢＣＮ =4 5° ,Ａ ＭＮ Ｂ是 6 0°的二面角 ,ＡＣ =1,求点Ａ到平面 β的距离 .图 1 例 1图解 如图 1,作ＡＤ⊥平面 β于点Ｄ ,作ＡＥ⊥ＭＮ于点Ｅ ,连结ＤＥ ,则ＤＥ⊥ＭＮ .于是∠ＡＥＤ为二面角Ａ Ｍ… 相似文献
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《数学通报》2 0 0 0年第 1 1期文 [1 ]介绍一类定向问题 ,很有启发 ,但只限于某些标准方程 .笔者通过曲线系的研究可对这类问题给出更为一般的结论和证明 ,方法简捷明快 ,特介绍如下 .命题 1 常态二次曲线 Φ :Ａｘ2 +Ｃｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ =0 ( )过原点作斜率互为相反数的两条直线ｌ1、ｌ2 ,交二次曲线Φ于Ｐ、Ｑ两点 ,则直线ＰＱ有定向 ,且ＫＰＱ=Ｄ/Ｅ(Ｅ≠ 0 ) ,若Ｅ=0时 ,则直线ＰＱ斜率不存在 ,此时ＰＱ的倾斜角为 90°.证 设ｌ1、ｌ2 和ＰＱ的方程分别为 :ｙ=ｋｘ,ｙ =-ｋｘ,ｙ=ｔｘ +ｍ(ｔ∈Ｒ ,ｍ≠ 0 )(若曲线Φ关于ｘ轴对称 ,Ｅ … 相似文献
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以下三道关于抛物线弦中点的轨迹问题引起了我的思考 ,即 :例 1 直线ｌ过抛物线 ｙ2 =4ｘ的顶点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 2 直线ｌ过抛物线 ｙ2 =16ｘ的焦点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 3 直线ｌ过 (0 ,4 )点 ,与抛物线ｘ2 =8ｙ相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .将以上三题的相关结果列表如下 :表 1 例 1,例 2 ,例 3的解答结果内容题号抛物线方程弦中点轨迹方程弦所过定点弦中点轨迹顶点抛物线通径弦中点轨迹通径例 1ｙ2 =4ｘ ｙ2 =2ｘ (0 ,0 ) (0 ,… 相似文献
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20 0 2年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 96 ⊙Ｏ是△ＡＢＣ的内切圆 .Ｄ、Ｅ、Ｆ是ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的切点 ,ＤＤ′、ＥＥ′、ＦＦ′都是⊙Ｏ的直径 .求证 :直线ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′共点 .(安徽省怀宁江镇中学 黄金福 2 461 42 )证明 设直线ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ａ′、Ｂ′、Ｃ′.过Ｄ′作⊙Ｏ切线交ＡＢ、ＡＣ于Ｍ、Ｎ显然ＭＮ ∥ＢＣ △ＡＭＤ′∽△ＡＢＡ′,△ＡＤ′Ｎ ∽△ＡＡ′Ｃ . ＭＤ′ＢＡ′ =ＡＤ′ＡＡ′ =Ｄ′ＮＡ′Ｃ ＢＡ′Ａ′Ｃ =ＭＤ′Ｄ′Ｎ①连结ＯＭ、ＯＮ .记⊙Ｏ半径… 相似文献
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20 0 2年全国初中数学竞赛第 1 4题为一道平面几何题 :如图 ,圆内接六边形ＡＢＣＤＥＦ满足ＡＢ =ＣＤ=ＥＦ ,且对角线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ相交于一点Ｑ .设ＡＤ与ＣＥ的交点为Ｐ .求证 :( 1 ) ＱＤＥＤ =ＡＣＥＣ;( 2 ) ＣＰＰＥ=ＡＣ2ＣＥ2 .这是一道以布洛卡点的有关性质为背景(见约翰逊著 ,单土尊译 .《近代欧氏几何学》上海教育出版社 1 999年 ,Ｐ2 36)改编的好题 .经研究 ,我们获得了结论 ( 2 )的如下两种另证 :另证一 由ＡＢ =ＣＤ ,知ＡＢＣ =ＢＣＤ ,故∠ＱＤＣ =∠ＤＥＱ ;由ＣＤ =ＥＦ ,知ＤＥ∥ＣＦ ,故∠ＣＱＤ =∠ＱＤＥ .所以 … 相似文献
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2002年广东高考数学试卷第 ( 2 0 )题是———设Ａ、Ｂ是双曲线ｘ2 -ｙ22 =1上的两点 ,点Ｎ( 1 ,2 )是线段ＡＢ的中点 .( 1 )求直线ＡＢ的方程 ;( 2 )如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线相交于Ｃ、Ｄ两点 ,那么Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点是否共圆 ?为什么 ?命题组提供此题的评卷解答的要点是 :( 1 )依次用到直线的点斜式方程、韦达定理、中点坐标公式 ;( 2 )考虑线段ＣＤ的中点Ｍ到Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的距离是否都相等 ?下面分标题介绍此题的其它典型解法 ,以期提高同学们的解题技巧和思维品质 .解 ( 1 )方法 1 设Ａ、Ｂ两点的坐标依次是 (ｘ1 ,ｙ1… 相似文献
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线面角计算是立几计算的一个重要内容 ,但有时苦于角难作 ,或者角虽作出了 ,但计算碰到了困难 .本文介绍一个关于线面角计算的定理 ,能起到难点转移 ,简化解题过程的作用 .图 1 定理图定理 设点Ａ ,Ｂ分别在二面角Ｍ ＰＱ Ｎ (锐角或直角 )的两个面Ｎ ,Ｍ上 ,直线ＡＢ与面Ｍ ,Ｎ所成角分别为α ,β .过点Ａ ,Ｂ分别作棱ＰＱ的垂线ＡＥ ,ＢＦ ,垂足为Ｅ ,Ｆ .则 ＡＥＢＦ =ｓｉｎαｓｉｎβ. 证 如图 1,过Ａ ,Ｂ分别作ＡＣ ,ＢＤ垂直于平面Ｍ ,Ｎ ,垂足分别为Ｃ ,Ｄ .连结ＣＥ ,ＤＦ ,ＢＣ ,ＤＡ ,则∠ＡＢＣ =α ,∠ＢＡＤ =β .在Ｒ… 相似文献
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定理 1 过三角形的重心任作一条直线 ,把这三角形分成两部分 ,证明 :这两部分面积之差不大于整个三角形面积的 19.图 1 定理 1图分析 如图 1,过△ＡＢＣ的重心Ｇ的任意直线分别交ＡＢ ,ＡＣ于Ｅ ,Ｆ ,过Ｇ作平行于底边ＢＣ的直线分别交ＡＢ ,ＡＣ于Ｐ ,Ｑ .先证明 :ＳＰＢＣＱ-ＳＡＰＱ=Ｓ9,这里Ｓ表示△ＡＢＣ的面积 .事实上 ,ＳＰＢＣＱ-ＳＡＰＱ =Ｓ - 2ＳＡＰＱ=Ｓ - 2·4Ｓ9=Ｓ9.后证明 :ＳＥＢＣＦ-ＳＡＥＦ<ＳＰＢＣＱ-ＳＡＰＱ (1)由于∠ＥＰＧ =∠Ａ ∠ＡＱＰ >∠ＡＱＰ ,故能在△ＥＰＧ内作直线ＰＲ ,使∠ＲＰＧ =∠ＧＱＦ ,… 相似文献
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文 [1 ]将上海市一个数学竞赛题推广 ,讨论了下述问题 .图 1问题 1 有一直棱柱形容器 ,棱柱底面是直角梯形ＡＢＣＤ ,尺寸如图 1 ,侧棱长ｌ,内有体积Ｖ=ｋα2 ｌ的液体 ,今将容器一条侧棱平放桌面上 ,如何放置液体表面积最小 (设容器是封闭的 ,液体不含溢出 ) ?设液面与梯形ＡＢＣＤ的交线是ＰＱ ,则梯形在ＰＱ下方部分的面积Ｓ=ｋａ2 ,液体表面积是ＰＱ·ｌ,要使表面积最小 ,即ＰＱ最短 ,由此引入下述问题问题 2 直角梯形ＡＢＣＤ尺寸如图 1 ,其面积是 32 ａ2 .设 0 <ｋ<32 ,Ｐ ,Ｑ是梯形边界上两点 ,线段ＰＱ分梯形为两部分 ,其中一部分… 相似文献
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《数学通报》2002,(4)
20 0 2年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 361 如图 ,Ｃ为半圆上一点 ,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ ,ＡＢ为直径 ,Ｇ、Ｈ分别为 △ ＡＣＤ、△ ＢＣＤ的内心 ,过Ｇ、Ｈ作直线交ＡＣ、ＢＣ于Ｅ、Ｆ ,求证 :ＣＥ =ＣＦ .(安徽省肥西中学 刘运谊 2 31 2 0 0 )证明 连结ＤＧ并延长ＡＣ于Ｍ ,连结ＤＨ并延长ＣＢ于Ｎ ,再连结ＭＮ、ＡＧ、ＢＮ .因为ＣＤ⊥ＡＢ所以∠ＣＤＡ=∠ＣＤＢ =90°而Ｇ、Ｈ分别为 △ＡＣＤ、△ＢＣＤ的内心所以ＤＭ、ＤＮ分别是∠ＣＤＡ =∠ＣＤＢ的平分线所以∠ＭＤＣ =∠ＭＤＡ=∠ＮＤＣ =∠ＮＤＢ= 45°在 △ ＭＡＤ和… 相似文献
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面积与体积是立体几何的基本问题 ,也是数学竞赛中经常出现的内容 .例 1 ( 1985年全国高中数学联赛试题 )ＰＱ为经过抛物线ｙ2 =2ｐｘ焦点的任意一条弦 ,ＭＮ为ＰＱ在准线ｌ上的射影 ,ＰＱ绕ｌ转一周所得的旋转面面积为Ｓ1,以ＭＮ为直径的球面面积为Ｓ2 ,则下面的结论中 ,正确的是 ( )(Ａ)Ｓ1>Ｓ2 . (Ｂ)Ｓ1<Ｓ2 .(Ｃ)Ｓ1≥Ｓ2 . (Ｄ)不确定 .图 1 例 1图 图 2 例 2图解 如图 ,设Ｃ为抛物线的焦点 ,则ＰＭ =ＰＣ ,ＱＮ =ＱＣ .于是Ｓ1=π·ＰＱ(ＰＭ ＱＮ) =πＰＱ2 ,Ｓ2 =π·ＭＮ2 ,因ＰＱ≥ＭＮ ,故Ｓ1≥Ｓ2 ,选 … 相似文献
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点是几何中最基本的元素,也可以视其为半径为零的圆,即点圆.坐标平面上的点圆Ｐ(ｘ0,ｙ0)的方程可记为(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2=0.由点圆Ｐ,直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=1,圆Ｍ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2=ｒ2(ｒ>0),可构成下列圆系:点Ｐ(ｘ0,ｙ0)在圆Ｍ上,λ为非零实数,有圆系Ｄλ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2-ｒ2 λ[(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2]=0(1)点Ｐ(ｘ0,ｙ0)在直线ｌ上,λ为非零实数,构造圆系Ｅλ:(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2 λ(Ａｘ Ｂｙ Ｃ)=0(2)直线ｌ与圆Ｍ相切于点Ｐ,λ为非零实数,构成圆系Ｆλ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2-ｒ2 λ(Ａｘ Ｂｙ Ｃ)=0(3)下面给出Ｄλ,Ｅλ,Ｆλ的性… 相似文献