一个逆定理的两种证法

课本里有这样一个定理:在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半．在习题里给出了该定理的逆定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜角的一半,那么这条直角边所对的锐角是30°．逆定理的证法可仿照定理的证法,很容易完成(用加倍法或截半法)．该定理还有另外一个逆命题:“在一个三角形中,如果30°所对的边等于另一边的一半, 那么这个三角形是直角三角形．”这个命题是     

例谈一条逆定理的应用

<正>在几何解题中,对于定理"在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半"的应用比较常见.本文就其逆定理"在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°"的应用,试图通过例题来给予介绍,以供同学们学习时参考.     

就一道立体几何题答唐炜同学

贵州省凯里市一中唐炜同学来信向我求教一道题目 :异面直线ａ ,ｂ所成角为θ ,如果过空间一个定点Ｐ与直线ａ ,ｂ都成 75°角的直线共有 3条 ,则θ等于 (　　 )(Ａ) 30° .　　　 (Ｂ) 60° .(Ｃ) 90° . (Ｄ) 75° .为了解答此题 ,先将课本《立体几何》甲种本Ｐ32例 1与Ｐ12 题 12的结论综合引申为命题 1　已知∠Ａ′ＯＢ′ 平面α ,过∠Ａ′ＯＢ′的平分线与其补角平分线分别作α的垂面Ｍ与Ｎ ,那么过点Ｏ作与两直线ＯＡ′ ,ＯＢ′成等角θ的直线只可能在平面Ｍ或Ｎ内 (除非不存在 ) ,而且这样的直线不超过 4条 .命题 1的验证留给读者完…     

一个定理的七十二变

有这样一个定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.这个定理的证明方法如下:已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.求证:BC=12AB.证法一如图1,延长BC至D使CD=BC,连结AD.根据"边角边"可证△ABC≌     

含有60°内角的三角形的性质及应用

含有 90°角的三角形是一类特殊的三角形—直角三角形 .含有 6 0°内角的三角形 ,也是一类特殊的三角形 .例如 ,对含有 6 0°内角的三角形进行割或补 ,很快便可作出正三角形 ,除此之外 ,这类三角形还有如下有趣的性质 :性质 1　三角形的三内角的量度成等差数列的充分必要条件是其含有 6 0°的内角 .性质 2　三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 6 0°.证明　当三角形为直角三角形时结论显然成立 .下面设 H为非直角△ ABC的垂心 ,如图 1 .充分性　设∠ A =6 0°,△ ABC的外接圆半径为 R,直线 AH…     

三角形垂心的一个性质的修正及推广

文 [1 ]“证明”了三角形的垂心的一个性质 ,即下面的命题 (原文“性质 2”) :命题　三角形的顶点到垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 60°.本文首先指出上述命题中的“必要性”的错误 ,并给出正确的命题及其解析证法 ,然后将这一性质推广至任意的圆内接闭折线 .正确的命题应该是 :定理 1　三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 60°或 1 2 0°.下面采用解析法证明这个定理 .证明　如图 1 ,设△ ABC的外接圆为⊙ ( O,R) ,以外心 O为原点建立直角坐标系x Oy,设顶点 A、B…     

用几何方法求15°、75°角的三角函数值

初三几何教科书中,介绍了利用锐角分别为30°、45°的两个基本直角三角形,通过建立形与数之间的联系,直接求得30°、45°、60°等这些特殊角的三角函数值.在锐角中,15°和75°角也是较为特殊的角,利用基本的直角三角形,我们也可以求出它们的三角函数值.     

浅谈一类三角练习题的制作方法

在中学课本里常见这样的练习题:“求sin20°sin40°sin60°sin80°的值”,它的一般解法是用积化和差与特殊角的函数值表以求出它的准确数值,而不是查表去求其近似值。作为数学教师还应考虑另一问题,即这类练习题的制作方法如何?如果能掌握这题的制作方法,则积与和差互化的练习题就非常充分了,而不至于受教材的限制。     

课本——中考题的“源头活水”——从中考看一道课本题目的衍变

课本是《课程标准》的物化,是中考命题的蓝本,同时也是中考命题的天然素材,有了课本这个“源头活水”,一年一度的中考题才会始终给人一种“清如许”的感觉.每年都有大量的中考题目直接出自课本,或撷此作基,繁衍生息.本文兹举一例,探其衍,究其变,力图把握立意,指导教学.题例(北师大版9年级数学下第二章《二次函数》P75复习题中的A组第7题)图1如图1(单位:m),等腰直角三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合.设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.(1)写出y与x的关系式;(2)当x=2,3.5时,y分别是多少?(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间?答案(1)y=2x2(0     

三角形中位线定理应用例谈

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线,平行于第三边并且等于第三边的一半.这就是众所周知的三角形中位线定理.对于直角三角形ABC中,∠C=90°,设M为斜边AB的中点,则称MC为斜边上的中线.     

关于一道习题的解答

六年制重点小学高中数学课本《解析几何》(平面)复习参考题二第23题是:“底面直径为12cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截,截口是一个椭圆,求这个椭圆的方程”。关于这题的解法,教师中看法不一。争论的焦点是对于椭圆的长轴和短轴怎样确定?是否需要通过严密的推理证明?仅管在某些参考书中(如上海辞书出版社出版的《数学题解辞典》平面解析几何第652     

直角三角形的“半”缘

直角三角形是我们常见的图形,它的一些特性与"半"很有缘,理解并掌握好直角三角形的这些特性,可以很好地帮助我们进行解题.1.直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半.     

拼叠三角板求Sin15°

不久前,我校组织了一次初三数学第二课堂活动,效果较好,今介绍如下: 为便于说明,称等腰直角三角形三角板为“等腰板”,另一块含60°角的三角板为“非等腰板”。且等腰板的斜边长等于非等腰板的长直角边长,设非等腰板的短直角边长为1,则两块三角板各边长如图(1)所示。下面给出用两板拼叠法求出sin15°的值     

关于"弧度制"的教材处理与教学建议

“弧度制”是高一数学教材中的一个难点 ,长期令我们的教师感到困惑 .笔者应用现代教学理论 ,经过探索 ,对这一难点的突破有一种新的认识和处理方法 .1　难点成因高一数学教材在介绍“弧度制”这一知识时 ,直接地给出了“1弧度的角”的定义 :“我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角 .”然而学生难以接受 ,常常不解地问 :“怎么想到要把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角 ?”如果老师照本宣科 ,学生便更加感到泛味 :“弧度 ,弧度 ,越学越糊涂”.从而使得“弧度制”成为教材中的一个难点 .由于高一学生的学习特点…     

当题设条件中有特殊角时……

在某些平面几何题中,已知条件常常包括一些度数为30°,45°,60°或15°,22.5°,75°等的角.我们称这些角为特殊角.那么如何利用这些特殊的角来解题呢?下面举例说明.例1 四边形ABCD中,AD=2,BC=1,∠A60°,∠B=∠D=90°,求四边形ABCD的面积.     

巧构直角三角形

直角三角形是三角形家族中的“骄子” ,是解题的“利器” ,特别是在解三角形函数时 ,若能适时改变视角 ,恰当地构造直角三角形 ,则不仅可以使解答过程简捷直观 ,而且有助于学生创新思维能力的培养 .一形象记忆特殊角的三角函数值0°、3 0°、45°、6 0°、90°的三角函数值在解题时常常要用到 ,可是我们却苦于记忆 .为减轻同学们的记忆负担 ,可借助于图形的直观、形象 .如 :可构造直角三角形如图 1 ,图 2所示 ,然后根据三角函数定义直接得出 .图 1图 2二巧求某些特殊角的三角函数值图 3例 1　求 1 5°的四个三角函数值 .解作Ｒｔ△ＡＣＢ如…     

初二几何第一学期期中自测题

Ａ组一.填空题:(每小题3分,共24分)1.在△ＡＢＣ中,∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ=1∶2∶3,那么△ＡＢＣ是三角形.2.如果等腰三角形的腰长为10ｃｍ,那么底边长的取值范围是.3.Ｒｔ△ＡＢＣ的两锐角的平分线交成的角是.4.“对顶角相等”的逆命题是.5.在一个钝角三角形中,已知一个锐角等于30°,则另一个锐角ｘ的取值范围是.6.在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中,ＡＢ=ＤＥ,∠Ａ=∠Ｄ,欲使△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ,则根据边角边公理还需;根据角边角公理还需;根据角角边公理还需.7.如果等腰三角形两边长分别是8ｃｍ和13ｃｍ,那么它的周长为.8.在△ＡＢＣ中,∠Ｂ=70°,ＡＤ是…     

争鸣

问题问题107课本第30页例1中把命题“负数的平方是正数”写成“若一个数是负数,则它的平方是正数”,教参第10页说也可以写成“若一个数是负数的平方,则这个数是正数”.笔者认为一个命题的题设和结论应当是唯一确定的,不应有以上两种写法.试问以上两种写法哪种正确呢?甘志国提供     

有趣的“无盖水箱”——一个极值问题的推广

六年制重点中学高中课本《微积分初步》第145页例2是:“用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转九十度,再焊接而成(如图1)。问水箱底边的长应取多少,才能使水箱容积最大,最大容积是多少?”其结果为:“当水箱底边长取40厘米时,容积最大,最大容积是16000立方厘米。”容易看出,所求水箱底面正方形的边心距与高的比等于2;侧面积与底面积相等。有趣的是,这一结论对任意圆外切n边形仍然适合。命题将圆外切n边形的各边等宽地翻转90°(各角处的多余部分截去),折成一个直棱柱形的无盖水箱。如果它的容积最大,那么其底面边心距与高     

对一道课本习题的完善

对一道课本习题的完善胡学荣吴玉珍（江苏省武进师范学校２１３１６６）证明：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线．这是现行高中教材《立体几何》第３１页的第１１题．教学参考书...