用向量简解一类竞赛题

我们知道,根据向量相等的定义及向量的数量积公式,可以得到向量的一个性质：若│^→m│=│^→n│,且^→m·^→n=│^→m│·│^→n│,则│^→m=^→n.这仰止性质看起来很简单,却有着十分广泛的用途．可利用它来解决一类数学竞赛题,并且解答过程简捷、明了,给人们一种耳目一新的感觉．现采撷几道赛题说明如下．     

构造几何图形解竞赛题

解初中数学竞赛题的方法很多 ,有时使人觉得扑朔迷离 ,无从下手或解法太繁 .而构造几何图形解竞赛题却是十分巧妙的方法 ,也体现着数形结合的优越性 .构造图形解题的过程是一种创造性的思维过程 ,常伴随着观察、分析、综合、联想、猜想等思维活动 ,具有灵活性大 ,难度高、技巧性强等特点 .下面介绍构造几何图形来解竞赛题 .1.求极值( 1)已知x、y、z为正数 ,且 (x y) (y z)=2 ,试求xyz(x y z)的最大值 .分析 :由x、y、z为正数 ,又出现x y ,y z,故可构造边长为x y、y z、x z的三角形 ,由切线长定理可知 ,三角形内有一内切圆 .解 :如图 ,构…     

用柯西不等式的向量形式解竞赛题

以部分数学竞赛试题为例,介绍了柯西不等式的向量形式在解题中的应用.     

国际竞赛题的分析

文[1]通过构造向量的方法,提供了一道国际数学竞赛题的一个十分巧妙的解法,读后颇受教益.本文再提供该题的五种解法,并进行初步的解题分析,供读者朋友参考.原题如下：     

一道竞赛题的巧解与思考

原解 简称这种数为“好数”,则一位好数有3个;两位好数有3×4=12个;三位好数有3×4^2=48个;…,k位好数有3×4^k-1个;k=1,2,…,记Sn=3∑n k=1 4^k-1,因S5〈2007〈S6,2007-S5=984,     

用向量巧解竞赛题

教材中新增了向量的内容,向量将数、形、角、长度相结合,应用较广．本文介绍用向量巧解几道竞赛题．例1已知a·(1-b2)~(1/2) b·(1-a2)~(1/2)=1,求证:a2 b2=1．(第3届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试)     

试探用向量知识解2001年高考解析几何题

在数学和物理学中 ,向量是描述和简化很多思想和现象的重要工具 ,向量在中学和大学各门课程中有着重要的作用 ,一般高中物理的力学和电磁学等部分就需用向量的工具 .中学生应该掌握并会灵活运用一些基本的向量知识 ,高中数学新教材 (试验修订本 )加入平面向量这一独立成章的内容 ,是非常必要的 .同时 ,借助平面向量的知识解题 ,即所谓的向量法 ,为解数学题提供了一种独特的思考方法 .下面我们就用向量法 ,借助向量的有关知识 ,来探讨一下 2 0 0 1年全国高考及 2 0 0 1年春季京蒙皖高考的解析几何题的新解法 .题 1　设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ >0…     

巧用向量的一个性质简解一类数学竞赛题

我们知道,根据向量相等的定义及向量的数量积公式,可以得到向量的一个性质：这个性质看起来很简单,却有着十分广泛的用途．可利用它来解决一类数学竞赛题,并且解答过程简洁、明了、快捷,给人们耳目一新的感觉．现采撷几道赛题说明如下：     

解一道竞赛题的思维历程

1．问题呈现 题目：若不等式√x＋√y≤k√2x＋y对于任意正实数x,y成立,求k的取值范围。 这是2009年全国高中数学联赛江苏初赛第13题,本文将以该题为对象再现笔者真实的解题思维历程,为大家提供一个可供借鉴的实践性解题案例．     

利用三角代换法解竞赛题

在鹪有关竞赛问题时．常引进三角函数．利用三角函数的变换和性质进行求鹪．是一种很有效的解题方法．对思路的显明，难点的突破，典型实用．同时也是一种技巧性很强的鹪题方法．     

用导数知识巧解两道竞赛题

学习导数以后，我发现它是一个很好的工具，应用非常广泛，为很多问题的解决提供了新的视角和思路．     

用面积性质解竞赛题

<正>一、性质图1如图1,D是△ABC的边BC上的任意一点,此时,△ABD和△ACD有公共的顶点A,它们的边BD和CD在同一直线,且这边上的高相等,我们称之为"共底等高三角形",于是可得S△ABD S△ACD=BD CD.利用"共底等高三角形"的这个面积性质来解决一些竞赛题,可以达到事半功倍的效果.二、解竞赛题1.用面积比求边长例1(19届江苏省竞赛题)如图2,△ABC的边AB=30cm,AC=25cm,点D、F在AC上,点E、G在     

巧用韦达定理解一道竞赛题

题　给定实数ａ ,ｂ ,ｃ ,已知复数ｚ1,ｚ2 ,ｚ3满足|ｚ1|=|ｚ2 |=|ｚ3|=1 ,ｚ1ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1 ,求 |ａｚ1 ｂｚ2 ｃｚ3|的值 .此题是 1 999年全国高中数学联合竞赛试卷加试第二题 ,下面用韦达定理给出此题的一个巧妙解法 .解　设ｕ1=ｚ1ｚ2 ,ｕ2 =ｚ2ｚ3,ｕ3=ｚ3ｚ1,则ｕ1 ｕ2 ｕ3=1 (1 )且 |ｕ1|=|ｕ2 |=|ｕ3|=1 .而ｕ1ｕ2 ｕ2 ｕ3 ｕ3ｕ1=1ｕ1 1ｕ2 1ｕ3=ｕ1 ｕ2 ｕ3=ｕ1 ｕ2 ｕ3=1 .即ｕ1ｕ2 ｕ2 ｕ3 ｕ3ｕ1=1 (2 )同时易知　ｕ1ｕ2 ｕ3=1 (3 )由 (1 ) ,(2 ) ,(3 )及韦达定理知 :ｕ1,ｕ2 ,ｕ3为方程　ｘ3-ｘ2 ｘ - 1 =0　…     

利用概念巧解竞赛题

在近几年的数学竞赛中,有些试题并不深奥,却令不少学生为之困惑,望题兴叹.究其原因,有的学生对概念、定义一知半解,盲目追求题海战术,试图从中获得解题的能力与技巧,而忽视了概念、定义等基本知识的认真学习与深刻领悟.本文将通过几个典型的实例分析,介绍如何利用概念、定义巧解竞赛题,以此引起学生对学习数学基本知识的重视和兴趣.     

用非坐标向量解立体几何问题

人们在利用坐标向量处理某些立体几何问题时,常会出现下列情况：一是合理恰当的坐标系很难建立;二是坐标系虽能建立,但坐标很难求出,计算量较大,从而陷入“山穷水复”的境地,此时,苦能转换思维角度,改用非坐标向量来求,则会出现“柳暗花明”的景象,从而迅速找到解题思路,巧妙简捷地将题目解出,下面举例说明．     

另解竞赛题

看了本刊2010年1月上P31《从一道智慧窗的巧解说起》,本刊7月下P29《一道竞赛题的另解》及P40《也谈一道竞赛题的解法》,感到多位作者热情关注此类赛题,各出奇招,巧妙解答,真是百花齐放,满目玲珑.本人也提供另一种解法,想让百花丛中增添一朵鲜花.     

三解一道竞赛题

题目已知α为锐角,求证：1/sinα＋3√3/cosα≥8.     

利用三角代换法解竞赛题

在解决有关的竞赛问题时,常借助于题目显现的某些结构特征,引入三角代换,将所给问题转化为含有角的问题,然后运用三角函数的变换和性质进行求解．三角代换法是一种实用有效的解题方法,同时具有技巧性强的特征．