问题

问题166在《数列》一章对“等比数列”的教学时，笔者遇到过这样一道题： 设1，a1，a2，…，an，4是正项等比数列，令bn=a1a2…an。求证：数列{bn}是等比数列．     

多项式构成的等比等差数列初探

等差数列与等比数列在高中是主要的数列考查点,也是研究数列的重要方面,迭代函数的数列在高中也是常见的形式.笔者讨论的是由一元多项式所构成的等差等比数列,且在复数集内讨论. 一、问题的提出 问题1 形如“p(x) =akxk+…+a1x1 +a0”(其中a0 …ak为常数项,x为变量)的函数称为一元多项式.给定b1,定义bn+1=p(bn),问对于哪些多项式p,存在常数c∈C使b1=c时,{bn}为非常数数列的无穷等差数列?     

我为高考设计题目

题83已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列.(1)若a1+a2+a3=-12,b1·b2·b3=27,且a1+b1,a2+b2,a3+b3是各项均为正整数的等比数列的前3项,求数列{an},{bn}的通项;     

由课本习题引发的思考

在学习数列中,我们做过不少数列求和的题目,这其中包括"等差加（减）等比"、"等差乘等比"的数列求和,我们自然会问起还有没有其他两个数列关系的求和?1"等比乘等比"的求和若等比数列{a;},{b;}的公比分别是q;,q;,那     

对2000年一道高考试题的研究与推广

今年全国高考数学理科第 (2 0 )题为 :( )已知数列 { cn} ,其中 cn =2 n + 3n,且数列 { cn+ 1 - pcn}为等比数列 ,求常数 p:( )设 { an}、{ bn}是公比不相等的两个等比数列 ,cn =an + bn,证明数列 { cn}不是等比数列 .这是一道“主要考查等比数列的概念和基本性质 ,推理和运算能力”的好题 .从本校许多考生的信息反馈来看 ,该试题起点低 ,入手宽 ,且具有一定的难度和较好的区分度 .经研究 ,笔者发现该试题所述的两个问题可归结为同一个模型 ,从而可用统一的方法加以解决 .定理　设 a、b、c、r、s、t均为实常数 ,则等式　　　 arn-1 + b sn-1 =c tn-1 (* )对任意的 n∈ N恒成立的充要条件为　　　　 a =b=c=0 ;(1)或　　 a + b=c=0 ,r=s;(2 )或　　 a =0 ,b =c,s=t;(3)或　　 b =0 ,a =c,r=t;(4 )或　　 a + b=c,r=s=t. (5 )证明　 (充分性 )逐一验证 (1)～ (5 )知它们均可分别使 (* )对任意的 n∈ N恒成立 ,故“充...     

常见的数列递推关系及通项

在数列学习中 ,常常见到数列是由其递推关系确定的 ,根据递推关系求解通项 ,除用计算—猜想—证明的思路外 ,通常还可以对某些递推关系进行变换 ,转化成熟知的等差、等比数列或易于求出通项表达式的数列的问题来解决 ,下面举例说明几种常见的转化思路 .型 1　数列递推关系形如an +1=an+d(d为常数 ) .显然有an +1-an=d ,这就得到 {an}是等差数列 ,于是an=a1+ (n - 1)d .型 2　数列递推关系形如an +1=qan(q为非零常数 ) .显然有 an +1an=q(常数 ) ,即 {an}是等比数列 ,于是an=a1qn- 1.型 3　数列递推关系由an 与Sn 给出 ,可利用an=S1　　　　…     

数表与数列问题的求解

数表问题历来是竞赛的热点.这类问题题型新颖,信息性强,往往与数列整合在一起,可以较好地考查学生的观察问题、处理数据、阅读理解、获取信息、归纳推理等能力.本文谈谈如何求解这类题的一些方法.1利用特殊数列沟通纵横联系数表中的横与列都可以看作数列.如果题目已知某项或某列是等差或等比数列,应沟通数表中各数的纵横联系,利用特殊数列的通项公式、求和公式等来求解.例1(南充市2004年高三模拟题)n2个正数排成n行n列(如表1),其中每行数都成等差数列,每列数都成等比数列,且所有公比相同.已知a24=1,a42=18,a43=136,求∑k=n1akk.a11a12a13a14…     

高三年级自测题

一、选择题1.设少一4，3乃一12，3一36，那么数列a，b，。(). (A)是等差数列但不是等比数列(I3)是等比数列但不是等差数列(C)既是等差数列也是等比数列(D)既不是等差数列也不是等比数列2.如果数列{a，}满足a，，aZ一al，a3一a:，…，a，一a，一:，…是首项为1公比为2的等比数列     

等比数列教学中关于公比的三个“盲点”

等比数列教学申关于公比qfi三个“目点”：0，士1；这三个“喜点”蛤经伴随着公比，不论是命题还是解题，稍有不慎，就会不知不觉地陷人尴尬的确地．“各点”1：公比q士0．这是决定公比的自要条件．在教学中可设计下面几个例子来明晰概急．例ig数列｛a。｝的前n顶和S。一b”一1，判断数列｛a。｝是什么数列？答：当b4O，1肘，《a。）是等比数列，当b—IW是多差数列．例2①gtim（7十二）”一。，末实数歹的””“”“G”1＋r”’”””””““取值范围．②设q一7十二是某一个无穷者比数列”””1＋r“”””““““”””“的见比，且这…     

苏教版必修5的一道开放题的教学

苏教版·必修5 P52有这样一道开放题:设△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c.1)若a,b,c成等差数列,由此你得到什么结论?2)若a,b,c成等比数列,由此你得到什么结论?这是一道典型的三角形边角关系与数列整合的题目,具有很好的开放性与综合性,如何通过这道开放题的探究性学习来贯通知识间的联系呢?由于这道题涉及必修5中的解三角形知识、数列知识、基本不等式知识,故而将本节课安排在完成必修5所有基础知识的学习后教学.笔者进行了如下的教学设计.为了更好地体现学生主体性地位,笔者组织学生分组讨论,然后交流.生1:若a,b,c成等差数列,那么有2b=a…     

一道数列极限题的注记

用几何方法分析了高等数学中的一道数列求极限的题目,直观地显示了该数列趋向于极限的方式.并把极限的结果从实数域中拓展到复数域中,指出了该数列在复数域趋向于极限的方式是螺旋的,在实数域中趋向于极限的方式是沿直线靠近的.最后类比该数列,构造出相似数列的求极限问题.     

微积分中几种问题的处理方法

在微积分的教学中 ,有些计算题或证明题经常会有学生反映不知如何下手 ,为此给出这几种问题的处理方法 .1　一类数列的极限问题极限的运算中 ,有一类数列的极限我们常遇到 .例如 :( i) limn→∞a· ( a+ 1 ) ( a+ 2 )… ( a+ n)b· ( b+ 1 ) ( b+ 2 )… ( b+ n) ( 0 相似文献   

探究递推数列an=c·an-1+d·bn的通项公式

文[1]变题2的点评如下:“形如a_n=c·a_(n-1) d·b~n(c≠0,c≠1,d≠0,b≠0)的递推关系式均可由a_n λb~n=c(a_(n-1) λb~(n-1))构造等比数列处理.”文[2]指出该点评不妥之处:c=b时无法求出待定的λ,还应加上c≠b这一条件,并举例说明c=b时数列通项的求法.细读两文,深受启发,但感     

一类“形似而神异”的递推数列

2011年广东高考数学第20题第（1）问是：设b〉0,数列{an}满足a1=b,an=（nan-1）/（an-1＋2n-1）（n≥2）,求数列{an}的通项公式.看到这个问题,使我们想起了2006年江西高考22题第（1）问：已知数列{an}满足：a1=32,且an=（3nan-1）/（2an-1＋n-1）（n≥2,n∈...     

找准错因,防止再错

我校2011届高三高考模拟卷中有这样一道数列题:已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公比是q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.(1)求an与bn;(2)设cn=3bn-λ.2an3(λ∈R),若数列{cn}     

一道数列不等式型高考题的放缩策略

试题 已知数列{an}满足a1=1,an＋1=3an＋1．（Ⅰ）证明{an＋1/2）是等比数列,并求{an}的通项公式;（Ⅱ）证明：1/a1＋1/a2＋…1/an〈3/2.此试题是2014年普通高等学校全国统一招生考试（新课标Ⅱ）数学（理）科第17题,其第（Ⅱ）问是一道综合性较强、融数列与不等式为一体的和式数列不等式证明问题,我们知道,数列问题是高考的一大热点,在高考中可谓常考常新,而数列与不等式的融合更成为高考命题者的新宠,倍受命题者的青睐。     

数列复习指南

一、明确最新考纲 考试大纲对数列的考查要求是：1.数列的概念和简单表示法：（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.（2）了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.2.等差数列、等比数列：（1）理解等差数列、等比数列的概念;（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式;（3）能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题;     

一类可用等比数列定义求通项的递推数列

口。+l等比数列的定义可表为:若数列夏a。}有是与n无关的常数,则数列毛a.}为等比数列。这个定义,不仅逻辑地导出了等比数列的通项公式与前,项和公式,同时,也是判断给定数列是否等比数列的依据。 本文利用这个定义来求一类二阶递推数列(即循环数列)的通项公式。 例i已知数列{a。},a,二2,a。二3,且a。*:=3a。一Za。_:,求通项a。。 解’·‘a:十:=3a:一Za。一: …a。、;一a。=2(a。一a。_:)则夕竺鱼二些=2. 口n一a._1由等比数列的定义可知,数列毛a。}的一阶差数列毛a。+:一a。}是等比数列,其首项为(a:一a:)=1,公比q=2.所以由等比数列前,项和公…     

(二)一个等比数列问题

高中代数有这样一道习题: 已知a,b,c,d成等比数列,求证a+b,b+c,c+d成等比数列。 .这是一个错题,如取a=1,b=一1。c=7,d=-1,显然a,b,c,d成等比数列,但a+b,b+c,c十d都为0,即不成等比数列。因此,须将条件改为:a, b,c,d是公比不为一1的等比数列。     

巧借常值数列 妙破数列问题

<正>常值数列是一类特殊的数列,是等差数列与等比数列的一个和谐统一.常值数列中各项的值都相等,其通项公式是a_n=a₁=a(n∈N^*,a∈R),是一个公差d=0的等差数列,当a≠0时其又是一个公比q=1的等比数列.常值数列在解题过程中往往有其特殊的作用,特别在一些相关的数列问题中,常值数列的特征不明显,经过合理的变形、转化与推导,“添油加醋”才能选取、配凑或构造出对应的常值数列,进而借助常值数列的相关特征性质来处理与解决问题,