高一同步测试题

两角和与差的三角函数选择题1　ｃｏｓ75°ｓｉｎ75° -ｓｉｎ75°ｓｉｎ15°的值为 (　　 )(Ａ) 0 .　 (Ｂ) 1.　 (Ｃ) 12 .　 (Ｄ) - 12 .2　已知α ,β ,α β都是锐角 ,则 (　　 )(Ａ)ｓｉｎα ｓｉｎβ <ｓｉｎ(α β) <ｃｏｓα ｃｏｓβ .(Ｂ)ｓｉｎα ｓｉｎβ <ｃｏｓ(α β) <ｓｉｎ(α β) .(Ｃ)ｓｉｎ(α β) <ｃｏｓα ｃｏｓβ <ｓｉｎα ｓｉｎβ .(Ｄ)ｓｉｎ(α β) <ｓｉｎα ｓｉｎβ <ｃｏｓα ｃｏｓβ .3　若α ,β均为锐角 ,ｓｉｎα =2 55,ｓｉｎ(α β) =35,则ｃｏｓβ = (　　 )(Ａ) 2 55.　…     

两个三角函数恒等式及其应用

定理 1　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓαｓｉｎ(β -γ) ｃｏｓβｓｉｎ(γ -α) ｃｏｓγｓｉｎ(α - β) =0 . (1)　　定理 2　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｓｉｎαｓｉｎ(β -γ) ｓｉｎβｓｉｎ( γ -α) ｓｉｎγｓｉｎ(α - β) =0 .(2 )证　构造二元一次方程组ｘｃｏｓα ｙｃｏｓβ =ｃｏｓγｘｓｉｎα ｙｓｉｎβ =ｓｉｎγ(3)(4 )由 (3) ,(4 )两式可得　　ｘｓｉｎ(α - β) =ｓｉｎ(γ - β) (5)　　ｙｓｉｎ(α - β) =ｓｉｎ(α -γ) (6 )将 (3)式两边同乘ｓｉｎ(α - β)后 ,再将 (5) ,(6 )两式代入即得定理 1.将 (4 )式…     

济宁市1999—2000学年度第一学期期末统一考试高三数学试题

本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分 .共 150分 .考试时间 12 0分钟 .第Ⅰ卷(选择题 ,共 60分 )参考公式三角函数的积化和差公式 :ｓｉｎαｃｏｓβ =12 [ｓｉｎ(α β) ｓｉｎ(α - β) ] ,ｃｏｓαｓｉｎβ =12 [ｓｉｎ(α β) -ｓｉｎ(α - β) ] ,ｃｏｓαｃｏｓβ =12 [ｃｏｓ(α β) ｃｏｓ(α - β) ] ,ｓｉｎαｓｉｎβ =- 12 [ｃｏｓ(α β) -ｃｏｓ(α - β) ] ;正棱台、圆台的侧面积公式 :Ｓ台侧 =12 (ｃ′ ｃ)ｌ ,其中ｃ′ ,ｃ分别表示上、下底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长 ;台体的体积公式 :Ｖ台体 =13…     

关于sinα±cosα的符号规律

在解三角问题时 ,经常要确定“ｓｉｎα±ｃｏｓα”的符号 ,通常的方法是利用三角函数的图象或单位圆中的三角函数线 ,既费时又繁琐 .那么是否有简单易行的方法呢 ,答案是肯定的 .下面就介绍一种方便、实用的确定“ｓｉｎα±ｃｏｓα”符号的方法 ,供同学们参考 .在直角坐标系中作出直线 ｙ =ｘ (或 ｙ=-ｘ) ,则1)当α角的终边落在直线 ｙ =ｘ(或 ｙ =-ｘ)的上方时 ,ｓｉｎα -ｃｏｓα >0 (或ｓｉｎα ｃｏｓα >0 ) .2 )当α角的终边落在直线 ｙ =ｘ(或 ｙ =-ｘ)的下方时 ,ｓｉｎα -ｃｏｓα <0 (或ｓｉｎα ｃｏｓα <0 ) .3)当α角…     

一道数学高考题的巧解及推广

例1　求ｃｏｓ270° ｃｏｓ250° ｃｏｓ70°·ｃｏｓ50°的值.按常规解法,这道题一般是先降次,再和差化积,积化和差.但过程较繁,现给出一种解法如下.解　设ｘ=ｃｏｓ270° ｃｏｓ250° ｃｏｓ70°·ｃｏｓ50°,ｙ=ｓｉｎ270° ｓｉｎ250° ｓｉｎ70°·ｓｉｎ50°,则ｘ ｙ=2 ｃｏｓ20°(1)　ｘ-ｙ=ｃｏｓ140° ｃｏｓ100° ｃｏｓ120°=2ｃｏｓ120°ｃｏｓ20°-12=-ｃｏｓ20°-12(2)(1) (2)得2ｘ=32,即ｘ=34.∴ｃｏｓ270° ｃｏｓ250° ｃｏｓ70°ｃｏｓ50°=34.现在,我们把这道题推及一般.例2　求ｃｏｓ2α ｃｏｓ2β ｃｏｓαｃｏｓβ在…     

高三综合复习自测题

选择题 (本大题共 14小题 ;第 1～ 10题每小题 4分 ,第 11～ 14题每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1　已知全集Ｉ =Ｒ ,集合Ｍ ={ｘ||ｘ - 1|<2 } ,集合Ｎ ={ｘ|ｘ 1<2 } ,则 (　　 )(Ａ)Ｍ =Ｎ .　　　　 (Ｂ)Ｍ Ｎ .(Ｃ) Ｍ∩Ｎ ={ - 1} .(Ｄ)Ｍ∩ Ｎ ={ - 1} .2　双曲线 3ｘ2 - ｙ2 =- 3的渐近线的方程是 (　　 )(Ａ) ｙ =± 3ｘ . (Ｂ) ｙ =± 13ｘ .(Ｃ) ｙ =± 3ｘ . (Ｄ) ｙ =± 33ｘ .3　若 3ｓｉｎθ =ｃｏｓθ ,则ｃｏｓ2 θ 12 ｓｉｎ2θ的值是 (　　 )(Ａ) 65. (Ｂ) - 65.(Ｃ)…     

运用等差（比）中项求一类三角函数式的取值范围

本文论述的三角函数式的取值范围问题 ,已有许多文章论及 ,但不外乎用纯三角法 ,方程法 ,图解法等方法 .现介绍利用等差(比 )中项将其转化为求函数最值的方法 .举例如下 :例 1　已知ｓｉｎα 2ｃｏｓβ =2 ,求 2ｓｉｎα ｃｏｓβ的取值范围 .解　据ｓｉｎα 2ｃｏｓβ =2得0≤ｓｉｎα≤ 1 ,12 ≤ｃｏｓβ≤ 1 .由ｓｉｎα 2ｃｏｓβ =2× 1知ｓｉｎα ,1 ,2ｃｏｓβ成等差数列 .设ｓｉｎα =1 -ｄ ,2ｃｏｓβ =1 ｄ ( 0≤ｄ≤1 ) ,则 2ｓｉｎα ｃｏｓβ=52 - 32 ｄ ( 0≤ｄ≤ 1 ) .∴ 2ｓｉｎα ｃｏｓβ∈ [1 ,52 ].例 2　已…     

名校基础知识自测

★高一年级北京师大二附中 (10 0 0 88)　汪燕铭一、选择题1.ｓｉｎ15°·ｓｉｎ3 0°·ｓｉｎ75°的值等于 (　　 ) .(Ａ) 34 　 (Ｂ) 38　 (Ｃ) 18　 (Ｄ) 142 .ｃｏｓ2 75° +ｃｏｓ2 15° +ｃｏｓ75°·ｃｏｓ15°的值等于 (　　 ) .(Ａ) 62 　 (Ｂ) 32 　 (Ｃ) 54 　 (Ｄ) 1+343 .ｃｏｓ(α +β)·ｃｏｓ(α- β) =13 ,则ｃｏｓ2 α -ｓｉｎ2 β的值是(　　 ) .(Ａ) - 23 　 (Ｂ) - 13 　 (Ｃ) 23 　 (Ｄ) 134 .ｃｏｓ4 0° +ｃｏｓ60°+ｃｏｓ80°+ｃｏｓ160°等于 (　　 ) .(Ａ) 0　 (Ｂ) 12 　 (Ｃ) - 1　 (Ｄ) 15.ｃｏｓ π12 -ｃ…     

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)

参考公式 :三角函数的积化和差公式ｓｉｎαｃｏｓβ=12 [ｓｉｎ(α β) ｓｉｎ(α - β) ]ｃｏｓαｓｉｎβ=12 [ｓｉｎ(α β) -ｓｉｎ(α - β) ]ｃｏｓαｃｏｓβ=12 [ｃｏｓ(α β) ｃｏｓ(α- β) ]ｓｉｎαｓｉｎβ =- 12 [ｃｏｓ(α β) -ｃｏｓ(α- β) ]正棱台、圆台的侧面积公式Ｓ台侧 =12 (ｃ′ ｃ)ｌ其中ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长台体的体积公式Ｖ台体 =13 (Ｓ′ Ｓ′Ｓ Ｓ)ｈ其中Ｓ′、Ｓ分别表示上、下底面积 ,ｈ表示高一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )…     

高一年级第二学期末数学自测题

选择题(共14小题,第1-10题每小题4分,第11-14题每小题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1　ｔｇ67°30′=(　　)(Ａ)3 1.　　　　　　(Ｂ)3-1.(Ｃ)2 1.　　　　　　(Ｄ)2-1.2　下列函数中,以π4为最小正周期的是(　　)(Ａ)ｙ=ｃｏｓ22ｘ-ｓｉｎ22ｘ.(Ｂ)ｙ=ｔｇｘ21 ｔｇ2ｘ2.(Ｃ)ｙ=1 ｓｉｎ4ｘｃｏｓ4ｘ.(Ｄ)ｙ=ｔｇ2ｘ1-ｔｇ22ｘ.3　已知圆锥底面面积是π,母线与底面所成的角为60°,则它的侧面积是(　　)(Ａ)2π.(Ｂ)3π.(Ｃ)3π.(Ｄ)33π.4　用半径为10ｃｍ的半圆形薄铁板卷成一个无底的圆锥筒,若不计损耗,…     

构造解析几何模型巧解三角问题

有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,则能简捷地求得问题的解 .　　一、构造“直线模型”例 1　已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ=-23,ｓｉｎα -ｓｉｎβ=12 ,求ｃｏｓ(α + β)与ｃｏｓα +ｃｏｓβｓｉｎα +ｓｉｎβ的值 .解　Ａ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)、Ｂ(ｃｏｓβ ,ｓｉｎβ)是单位圆ｘ2 + ｙ2 =1上的点 .由已知可得直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ =ｓｉｎα -ｓｉｎβｃｏｓα -ｃｏｓβ=-34.设直线ＡＢ的方程为 ｙ =-34ｘ +ｂ ,代入ｘ2 + ｙ2 =1得2 5ｘ2 -2 4ｂｘ + (16…     

上期课外练习解答

高一年级1.设 ｆ(ｔ) =ｔ3 +2 0 0 3ｔ,易证 ｆ(ｔ)在Ｒ上是奇函数且递增函数 ,由题意可知 :ｆ(ｘ - 1) =- 1,　ｆ(ｙ - 1) =1.即　ｆ(ｘ - 1) =-ｆ( ｙ - 1) =ｆ( 1-ｙ) .∴　ｘ - 1=1-ｙ ,故ｘ +ｙ =2 .2 .由条件知 :ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ,ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 中必有一个不大于 1,一个不小于 1.不妨设　 ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ≤ 1,　 ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 ≥ 1.∵　α ,β∈ ( 0 ,π2 ) ,又ｙ=ｓｉｎｘ在 ( 0 ,π2 )上递增 .∴　ｓｉｎα≤ｃｏｓβ且ｓｉｎβ≥ｃｏｓα .∴　ｓｉｎα≤ｓｉｎ( π2 - β)且ｓｉｎβ≥ｓ…     

sinα±cosα与tgα-ctgα的符号图

判断ｓｉｎα±ｃｏｓα与ｔｇα -ｃｔｇα的符号问题 ,在高考中屡见不鲜 .由单位圆中的三角函数线易得如下结论 :图 1　ｓｉｎα±ｃｏｓα的符号图　图 2　ｔｇα -ｃｔｇα的符号图由图 1知 ,直线 ｙ =±ｘ将坐标平面分成四个区域 ,当角α的终边落在直线ｙ=ｘ上时 ,ｓｉｎα-ｃｏｓα =0 ,在 ｙ =ｘ上方有ｓｉｎα -ｃｏｓα >0 ,在 ｙ =ｘ下方有ｓｉｎα-ｃｏｓα <0 ;当角α的终边落在直线 ｙ =-ｘ上时 ,ｓｉｎα +ｃｏｓα =0 ,在 ｙ =-ｘ上方有ｓｉｎα +ｃｏｓα >0 ,在ｙ =-ｘ下方有ｓｉｎα +ｃｏｓα <0 .由图 2知 ,ｘ轴、ｙ轴…     

两角互余的几个等价条件

结论 1　已知α ,β为税角 ,ｋ≥ 0 ,则α +β=π2 的充要条件是ｓｉｎｋ + 2 αｃｏｓｋβ + ｓｉｎｋ + 2 βｃｏｓｋα =1 .证　必要性是显然的 ,充分性 :ｓｉｎｋ + 2 αｃｏｓｋβ + ｓｉｎｋ+ 2 βｃｏｓｋα =1 =ｃｏｓ2 β +ｓｉｎ2 β .ｓｉｎｋ + 2 α-ｃｏｓｋ + 2 βｃｏｓｋβ =ｓｉｎ2 β(ｃｏｓｋα -ｓｉｎｋβ)ｃｏｓｋα .假设α + β >π2 ,则α >π2 - β ,β >π2 -α ,∵α ,β ,π2 -α ,π2 - β∈ 0 ,π2 ,∴ｃｏｓα <ｃｏｓ π2 - β =ｓｉｎβ ,　ｃｏｓβ <ｃｏｓ π2 -α =ｓｉｎα ,从而ｓｉｎｋ + 2 α -ｃ…     

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质

笔者最近探得圆锥曲线焦点弦有一个统一的有趣性质 .定理 1　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与椭圆交于两点Ｐ、Ｑ ,Ａ1 、Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ａ1 Ｐ和Ａ2 Ｑ交于点Ｍ ,Ａ2 Ｐ和Ａ1 Ｑ交于点Ｎ ,则ＭＦ⊥ＮＦ .证明　如图1 .设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ>0 ) ,Ｆ(ｃ,ｏ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｑ(ａｃｏｓβ ,ｂｓｉｎβ) .则Ａ1 Ｐ的方程为ｙ= ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα 1 ) (ｘ ａ) ,Ａ2 Ｑ的方程为 ｙ=ｂｓｉｎβａ(ｃｏｓβ - 1 ) (ｘ-ａ) .解这两个方程得ｘ =ａ[ｓｉｎα-ｓｉｎβ-ｓｉｎ(α β) ]ｓｉｎ(α- β…     

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）

参考公式 :三角函数的积化和差公式ｓｉｎαｃｏｓβ=12 [ｓｉｎ(α+β) +ｓｉｎ(α- β) ]ｃｏｓαｓｉｎβ=12 [ｓｉｎ(α +β) -ｓｉｎ(α - β) ]ｃｏｓαｃｏｓβ =12 [ｃｏｓ(α+β) +ｃｏｓ(α- β) ]ｓｉｎαｓｉｎβ=- 12 [ｃｏｓ(α +β) -ｃｏｓ(α - β) ]正棱台、圆台的侧面积公式Ｓ台侧 =12 (ｃ′+ｃ)ｌ其中ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长球体的体积公式Ｖ球 =43 πＲ3其中Ｒ表示球的半径一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )满足条件Ｍ∪ { 1 } ={ 1 ,2 ,3 }的集合Ｍ…     

由sinα sinβ=sinα·sinβ能求sin(α β)/2的值吗?

“已知ｓｉｎα ｓｉｎβ =ｓｉｎα·ｓｉｎβ ,求ｓｉｎα β2的值 .” ,这是文 [1 ]给出的一道解答题 .其解答为 :“由条件得 (ｓｉｎα- 1 ) (ｓｉｎβ- 1 ) =1 ,∴只能ｓｉｎα =ｓｉｎβ=0 ,于是α =ｍπ ,β=ｎπ(ｍ、ｎ∈Ｚ) ,∴ｓｉｎα β2 =ｓｉｎ(ｍ ｎ) · π2 =± 1 ,0 .”该解答的错误是显然的 ,因为ｓｉｎα=ｓｉｎβ=0仅是ｓｉｎα ｓｉｎβ=ｓｉｎα·ｓｉｎβ成立的一个充分条件 ,并非充要条件 .举一反例即可推翻原解答 :当ｓｉｎα=12 ,ｓｉｎβ=- 1时 ,满足ｓｉｎα ｓｉｎβ=ｓｉｎα·ｓｉｎβ的题设条件 ,但ｓｉ…     

一道例题结论的推广

本刊文 [1 ]用三角形的一个重要性质巧妙地证明了该文的例 4:设α ,β为锐角 ,且ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β =ｓｉｎ(α β) ,求证 :α β =π2 .本文推广这个结论 (从以下定理 1的证明中还可找到上述结论的简捷证明 ) .定理 1　设α ,β均为第一象限的角 ,则ｓｉｎα =><ｃｏｓβ ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β=><ｓｉｎ(α β) .证　有ｓｉｎα ,ｃｏｓα ,ｓｉｎβ ,ｃｏｓβ均为正数 ,所以ｓｉｎα =><ｃｏｓβ ｓｉｎα =><ｃｏｓβｃｏｓα =<>ｓｉｎβ ｓｉｎα·(ｓｉｎα -ｃｏｓβ) =><0 =><ｓｉｎβ(ｃｏｓα -ｓｉｎβ) ｓｉｎα…     

一道错题

错题　 (本刊 2 0 0 2年第 14 ,16期Ｐ31第 15题 )设α ,β ,γ∈ 0 ,π2 ,且ｓｉｎα +ｓｉｎγ =ｓｉｎβ ,ｃｏｓα+ｃｏｓγ =ｃｏｓβ ,则 β -α等于 (　　 )(Ａ) - π3.　 (Ｂ) π6 .　 (Ｃ) π3或 - π3.　 (Ｄ) π3.错因　因α ,β ,γ都是锐角 ,故ｓｉｎα ,ｓｉｎβ ,ｓｉｎγ及ｃｏｓα ,ｃｏｓβ ,ｃｏｓγ均为正值 ,于是 0 <ｓｉｎα <ｓｉｎβ及0 <ｃｏｓα <ｃｏｓβ ,从而ｓｉｎ2 α +ｃｏｓ2 α <ｓｉｎ2 β +ｃｏｓ2 β ,矛盾 .题设条件不相容 ,原题是一道错题 .修正　将条件“ｃｏｓα +ｃｏｓγ =ｃｏｓβ”换为“ｃｏ…     

名校基础知识自测

高一年级北京师范大学二附中 (10 0 0 88)　汪燕铭一、选择题1.若ｃｏｔα =125 ,则有 (　　 ) .(Ａ)ｓｉｎα =513 　　　　 (Ｂ)ｓｅｃα >ｔａｎα(Ｃ)ｃｏｓα =±1213 (Ｄ)ｔａｎα =± 5122 .若ｔａｎ10°·ｃｏｔ10° + 1-ｓｉｎ2 α·ｃｏｓα +1-ｃｏｓ2 α·ｓｉｎα =0 ,则 (　　 ) .(Ａ)α =10°(Ｂ)α =ｋ·3 60°+ 10°(ｋ∈Ｚ)(Ｃ)α为任意角　　 (Ｄ)α是第三象限角3 .若α∈ (-π ,-π2 ) ,则 1-2ｓｉｎ α2 ·ｃｏｓ α2化简的结果是 (　　 ) .(Ａ)ｓｉｎ α2 -ｃｏｓ α2 (Ｂ)ｃｏｓ α2 -ｓｉｎ α2(Ｃ)± (ｓｉｎ α2 …