Excel在中学数学建模教学中的运用

Ｅｘｃｅｌ是一种用于现代理财、数据分析的流行软件 ,它操作简便、长于分析 ,是中学数学建模教学中较为理想的计算技术工具之一 .本文试就Ｅｘｃｅｌ在回归分析、数据变换、非常规方程求解等方面的应用作一初步的介绍 .1　回归分析在Ｅｘｃｅｌ的工作表中输入数据 ,通过插入“图表” ,便可清晰地观察散点趋势 ,如果它们近似在一条直线上 ,就可进行线性拟合 ,建立回归模型 .例 1　“人口问题”是我国最大社会问题之一 ,估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础 .由人口统计年鉴 ,可查得我国从1 949年至 1 994年人口数据资料如…     

感知规律在中学数学CAI的应用

1　根据感知的经验律　提供学生丰富的感知材料　　感知的经验律 ,是指一个人的知识经验越丰富 ,知觉就越完善 ,感知便越容易 ,也越有利于把感性认识上升为理性认识 .根据感知的经验律 ,在直观教学中 ,学生已有的经验起着重要的作用 .中学生特别是低年级学生由于年龄特点 ,知识面较窄 ,生活经验尚不丰富 ,因此接受数学中较难理解的知识有一定的困难 .在教学中 ,教师可根据教材内容和学生实际 ,制作相应的数学课件 ,帮助学生感知和理解教学内容 .例 1　数列的极限的“ε-Ｎ定义” .笔者制作了下列课件 :1 利用ＰｏｗｅｒＰｏｉｎｔ(幻灯片放…     

综合题新编

题 2 4　已知平行四边形ＡＢＣＤ ,Ａ (-2 ,0 ) ,Ｂ(2 ,0 ) .且 |ＡＤ| =2 .1)求平行四边形ＡＢＣＤ对角线交点Ｅ的轨迹方程 .2 )过Ａ作直线交以Ａ ,Ｂ为焦点的椭圆于Ｍ ,Ｎ两点 .且 |ＭＮ| =832 ,ＭＮ的中点到ｙ轴的距离为 43,求椭圆的方程 .3)与Ｅ点轨迹相切的直线ｌ交椭圆于Ｐ ,Ｑ两点 .求 |ＰＱ|的最大值及此时ｌ的方程 .解　 1)设Ｅ(ｘ ,ｙ) ,连ＯＥ ,则ＯＥ 　∥=12 ·ＡＤ .∴ |ＯＥ| =1.∴ｘ2 ｙ2 =1(ｙ≠ 0 ) .2 )由圆锥曲线的统一定义可知 :|ＭＡ|=ａ ｅｘ1,|ＮＡ| =ａ ｅｘ2 .∴ |ＭＮ| =2ａ ｅ(ｘ1 ｘ2 ) =832 .∵ｃ=2 ,∴…     

圆锥曲线定义与范围联用事半功倍

高级中学试验修订本数学第二册 (上 )第八章介绍了圆锥曲线的定义和范围 ,在解决有关问题时 ,若能灵活运用它们 ,则可事半功倍 .例 1　 ( 1 998年希望杯赛题 )Ｅ ,Ｆ是椭圆ｘ24 + ｙ2 =1的左 ,右焦点 ,Ｐ是椭圆上的动点 ,则 |ＰＥ|·|ＰＦ|的最小值是 .解　由椭圆第二定义知 |ＰＥ|·|ＰＦ| =ｅ| ａ2ｃ-ｘＰ|·ｅ| ａ2ｃ+ｘＰ| =|ａ -ｅｘＰ|·|ａ +ｅｘＰ| =|ａ2 -ｅ2 ｘＰ2 | =| 4- 34ｘ2 Ｐ| .由椭圆范围知ｘ2 Ｐ≤ａ2 =4 .∴ |ＰＥ|·|ＰＦ|ｍｉｎ =| 4- 34·4 | =1 .例 2　 ( 2 0 0 2年全国高考题 )点Ｐ( 1 ,0 )到曲线 ｘ =ｔ2ｙ =2ｔ(…     

Mathe matica软件快速上手指南(4)——三角函数运算与解方程

1　三角函数的代数运算三角函数是数学中十分重要的一种函数 ,在以前的初等数学的分类中 ,经常把它分成代数、几何和三角三部分 .在Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ中提供了全部的三角函数 .下面主要介绍有关三角函数表达式的代数运算 .(对 4 .0版本适用 )1.1　ＴｒｉｇＥｘｐａｎｄ[表达式 ]:把三角函数的乘积形式化为和差形式 .Ｉｎ[1]:=ＴｒｉｇＥｘｐａｎｄ[Ｓｉｎ[2ｘ] Ｃｏｓ[2 ｙ]]Ｏｕｔ[1]=2Ｃｏｓ[ｘ]Ｃｏｓ[ｙ]2 Ｓｉｎ[ｘ]- 2Ｃｏｓ[ｘ]Ｓｉｎ[ｘ]Ｓｉｎ[ｙ]21.2　ＴｒｉｇＦａｃｔｏｒ[表达式 ]:三角函数的因式分解 .Ｉｎ[2 ]:=Ｔｒｉ…     

评第41届IMO第2题

20 0 0年第 4 2届ＩＭＯ的第 2题是 :设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａｂｃ =1.求证 :(ａ - 1 1ｂ) (ｂ - 1 1ｃ) (ｃ - 1 1ａ)≤ 1( 1)此题是一道陈题的变形 .事实上 ,由ａｂｃ =1,不妨设ａ =ｘｙ ,ｂ =ｙｚ ,ｃ=ｚｘ (ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ )代入 ( 1)式 ,得( ｘｙ - 1 ｚｙ) ( ｙｚ - 1 ｘｚ) ( ｚｘ - 1 ｙｘ)≤ 1 (ｘ ｚ - ｙ) (ｘ ｙ -ｚ) ( ｙ ｚ -ｘ)≤ｘｙｚ . ( 2 )( 2 )式是 1983年瑞士国际数学竞赛题之一 .关于它的证明较多 .其中最简单的莫过于如下证法 :由　ｘ2 ≥ｘ2 - ( ｙ -ｚ) 2=(ｘ ｙ -ｚ) (ｚ ｘ - ｙ) ,ｙ2 ≥ ( ｙ ｚ -ｘ) (…     

圆锥曲线的又一个有趣性质

笔者近日在对圆锥曲线内点性质研究时 ,发现了圆锥曲线内点的一个新颖有趣的性质 .图 1性质 1　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是椭圆Ｅ内部一定点 (异于Ｅ的中心Ｏ) ,过点Ｐ引直线ｌ交椭圆Ｅ于Ａ、Ｂ两点 ,以ＯＡ、ＯＢ为邻边作平行四边形 (当Ａ、Ｏ、Ｂ三点共线时 ,可视为退化情形 ,下同)ＯＡＱＢ ,则点Ｑ的轨迹是以Ｐ为中心且与椭圆Ｅ有相同离心率的椭圆Ｅ′(当原曲线为圆时 ,点Ｑ轨迹是圆 ) ,同时椭圆Ｅ′过Ｅ的中心 .图 2性质 2　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是双曲线Ｅ内部 (含焦点的区域 )一定点 ,Ｅ的中心为Ｏ .过Ｐ引直线ｌ交双曲线Ｅ于Ａ、Ｂ两点 ,以ＯＡ、…     

一道课本复习题的解后探讨

题目　如图1,从椭圆上一点Ｐ向ｘ轴作垂线,图1　题目图恰好通过椭圆的一个焦点,这时椭圆的长轴端点Ａ与短轴端点Ｂ的连线平行于ＯＰ,求椭圆的离心率.(高中课本《解析几何》复习参考题二第12题,以下称原题)这是求离心率问题的一个典型例子,故值得我们深入研究,为此,本文先给出几种具有代表性的解法,然后再对它进行探讨.解法1　设椭圆方程为ｂ2ｘ2 ａ2ｙ2=ａ2ｂ2(ａ>ｂ>0),半焦距为ｃ,由题设知ｘＰ=-ｃ,代入椭圆方程解得ｙＰ=ｂ2ａ.∵ｋＯＰ=ｋＡＢ,∴-ｂ2ａｃ=-ｂａ,∴ｂ=ｃ,∴ａ2=2ｃ2,∴ｅ=22.解法2　∵ｋＯＰ=ｋＡＢ=-ｂａ,∴ＯＰ的方程为…     

海南省2002年中等学校招生考试数学科试题

一.选择题(本大题满分36分,每小题3分)1.-3的倒数是Ａ.-13　　Ｂ.13　　Ｃ.3　　Ｄ.-32.4的平方根是Ａ.2Ｂ.±2Ｃ.±2Ｄ.23.点Ｐ(3,5)关于ｘ轴对称的点的坐标是Ａ.(-3,5)　　　　　　Ｂ.(3,-5)Ｃ.(5,3)　Ｄ.(-3,-5)4.⊙Ｏ1和⊙Ｏ2的半径分别为2ｃｍ和3ｃｍ,圆心距Ｏ1Ｏ2=5ｃｍ,那么两圆的位置关系是Ａ.外切　　Ｂ.内切　　Ｃ.相交　　Ｄ.外离5.下列运算中正确的是Ａ.ｘ2+ｘ2=ｘ4Ｂ.ｘ·ｘ4=ｘ4Ｃ.(ｘｙ)4=ｘｙ4Ｄ.ｘ6÷ｘ2=ｘ46.下列因式分解中,错误的是Ａ.1-9ｘ2=(1+3ｘ)(1-3ｘ)Ｂ.ａ2-ａ+14=(ａ-12)2Ｃ.-ｍｘ+ｍｙ=-ｍ(ｘ+ｙ)Ｄ.ａｘ-ａｙ…     

Mathematica软件快速上手指南（3）——初等代数运算

在Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ系统中可以非常方便地如同计算数字一样进行符号计算 ,这是它的主要特色之一 .符号参与计算和论证 ,使得利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ系统进行数学证明成为可能 .在这里我们介绍与中学数学密切相关的初等代数运算 .1　有理式运算大家都知道 ,多项式可以象普通的整数一样进行加、减、乘和除的运算 .最典型的例子是有理式的运算 ,例如 :Ｉｎ[1] :=2ｘ ｙ - 14ｘ^ 2 (ｘ^ 2 ) ( ｙ^ 2 ) - 3ｙ ｘ 5ｘ^ 2Ｏｕｔ[1] =- 9ｘ2 -ｘｙ ｘ2 ｙ2这已经不是数字计算而是符号运算 .二项式展开有贾宪三角形确定其系数 ,但ｎ较…     

两个重要极限，函数的连续性

两个重要极限选择题1　当ｘ→ 0时 ,函数 ｆ(ｘ) =ｃｏｓｘｘ ·ｓｉｎｘ的极限是(　　 )(Ａ) 0 .　　　　　　 (Ｂ) 1.(Ｃ) ∞ . (Ｄ)不存在 .2　当ｘ→ ∞时 ,ｆ(ｘ) =ｘ·ｓｉｎ 3ｘ的极限是 (　　 )(Ａ) 1. (Ｂ) 0 .(Ｃ) 3. (Ｄ)不存在 .3　当ｘ→π时 ,ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘｘ -πｃｏｓｘ的极限是 (　　 )(Ａ) 1. (Ｂ) - 1.(Ｃ) 0 . (Ｄ)不存在 .4　当ｘ→ 0时 ,ｆ(ｘ) =(1 ｓｉｎ2ｘ)1ｘ的极限是(　　 )(Ａ)不存在 .　　　　(Ｂ) 1.(Ｃ)ｅ. (Ｄ)ｅ2 .5　当ｘ→ 0时 ,ｆ(ｘ) =(1- 2ｘ) - 1ｘ的极限是 (　　 )(Ａ)不存在 .　　　　 (Ｂ)…     

2003年中考数学模拟试题(6)

一、选择题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .下列单项式中 ,不是同类项的是 (　 ) .Ａ .5ｘ2 ｙ与 -4ｘ2 ｙ　　　Ｂ .15 ｘ3ｙ与 15 ｘｙ3Ｃ .8ａｂｃ2 与 8ｂａｃ2 Ｄ .5ｍ2 ｎ与 -3ｎｍ22 .下列属于因式分解的是 (　 ) .Ａ .2ｘ -2 ｙ +4 =2 (ｘ -ｙ) +4Ｂ .ａ2 ｂ +ａｂ2 =ａ2 ｂ2 ( 1ａ+1ｂ)Ｃ .(ａ +ｂ) (ａ -ｂ) =ａ2 -ｂ2Ｄ .ａ2 -12 ａ +11 6=(ａ -14) 23 .已知⊙Ｏ1和⊙Ｏ2 的半径分别为 3ｃｍ和 5ｃｍ ,Ｏ1Ｏ2 =5ｃｍ ,这两圆的公切线最多有 (　 ) .Ａ .1条　　Ｂ .2条　　Ｃ .3条　　Ｄ .4条4.用一个平面去截一个正方体 ,得…     

三角形三顶点坐标定理

将△ＡＢＣ三内角及它们所对的边长 ,外接圆半径 ,内切圆半径分别记为Ａ、Ｂ、Ｃ ,ａ、ｂ、ｃ,Ｒ、ｒ并约定ｘ =ｃｔｇ Ａ2 ,ｙ =ｃｔｇ Ｂ2 ,ｚ =ｃｔｇ Ｃ2 ,那么　　ｘ ｙ ｚ=ｘ·ｙ·ｚ,(1 )　　ｒ=4Ｒｘｙ ｙｚ ｚｘ- 1 . (2 )如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,Ｉ是它的内心 ,ＩＯ ⊥ＢＣ ,垂足为Ｏ点 .以Ｏ为原点 ,ＢＣ(对直角三角形 ,ＢＣ是直角三角形的斜边 )所在直线作为横轴Ｘ ,ＯＩ所在直线作为纵轴Ｙ ,这样建立的平面直角坐标系称为特定平面直角坐标系 .本文在特定平面直角坐标系中 ,介绍用ｒ,ｘ ,ｙ ,ｚ表示△ＡＢＣ三顶点的坐标 .定理…     

也谈二元二次多项式可因式分解的充要条件及其分解公式

1　引言对于二元二次多项式ｆ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ ,文 [1 ]给出了可因式分解的充要条件及其分解公式 ,它涉及到二次曲线的一般理论 ,对中学生有一定难度 ,其分解公式复杂 ,不便记忆 ,操作不方便 .本文提供的充要条件和分解公式 ,一般高中学生乃至初中学生都可以接受 ,公式统一 ,操作简便 .2　定理及其证明和作用定理　ｆ(ｘ,ｙ) =Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ =(ａ1 ｘ ｂ1 ｙ ｃ1 ) (ａ2 ｘ ｂ2 ｙ ｃ2 ) (1 )的充要条件是ｆ(ｘ ,0 ) =Ａｘ2 Ｄｘ Ｆ=(ａ1 ｘ ｃ1 ) (ａ2 ｘ ｃ2 ) (2 )和ｆ(0 ,ｙ) =Ｃｙ…     

点参数的应用

借助常见曲线的参数方程 ,恰当地引入点参数解题 ,有时是十分简便的 ,下面例说点参数的几个应用 .1　求动点的轨迹例 1　已知Ｐ为双曲线ｘ21 6- ｙ29=1上任一点 ,Ｆ1,Ｆ2 是双曲线的两个焦点 ,求△Ｆ1ＰＦ2 的重心的轨迹方程 .解　∵Ｐ点在双曲线ｘ21 6- ｙ29=1上 ,∴可设Ｐ(4ｓｅｃθ,3ｔｇθ) ,又设△Ｆ1ＰＦ2重心的坐标为 (ｘ ,ｙ) ,而Ｆ1(- 5,0 ) ,Ｆ2 (5,0 ) ,则ｘ =4ｓｅｃθ- 5+53 =43 ｓｅｃθ,ｙ =ｔｇθ.消去θ ,得 91 6ｘ2 - ｙ2 =1 .由题设知重心不能在ｘ轴上 ,则所求轨迹方程为91 6ｘ2 - ｙ2 =1 (ｙ≠ 0 ) .2　求参数的范围 (…     

抛物线内接等腰三角形的一个性质

抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ如果与ｘ轴有两个交点 ,以这两点及与ｙ轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是ｂ =0或者ｂ2 =ａｃ(ａｃ+3 ) 2ａｃ+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当ｂ=0时 ,△ＡＢＣ为等腰三角形 (ＡＣ =ＢＣ) .当ＡＣ =ＢＣ时 ,ｂ=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设Ａ(ｘ1 ,0 ) ,Ｂ(ｘ2 ,0 ) .Ｃ点坐标为 (0 ,ｃ) .因此　ｘ1 =-ｂ- ｂ2 - 4ａｃ2ａ ,ｘ2 =-ｂ +ｂ2 - 4ａｃ2ａ .又∠ＢＯＣ =90°由勾股定理知ＢＣ2 =ＯＢ2 +ＯＣ2= -ｂ+ｂ2 - 4ａｃ2ａ2 +ｃ2 而ＡＢ=ｂ2 - 4ａｃａ(这里以ａ>0为例 ) .当ＡＢ =ＢＣ时 ,则ｂ2 -…     

初二几何第二学期期末自测题

Ａ组一、填空题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.已知平行四边形ＡＢＣＤ的面积是 16ｃｍ2 ,Ｐ是ＡＢ边上的任意一点 ,△ＣＰＤ的面积是 .2 .已知ａ =1,ｂ =2 ,ｃ=3,它们的第四比例项ｄ =;ａ ,ｃ的比例中项ｘ =.3.菱形的两条对角线长之比为 3∶ 2 ,面积为12ｃｍ2 ,则菱形的周长为 .4 .已知ＡＤ是△ＡＢＣ中∠Ａ的平分线 ,△ＡＢＤ和△ＡＣＤ的面积的比是 2∶3,则ＡＢ∶ＡＣ =.5.已知 :如图 1,在△ＡＢＣ中 ,Ｅ ,Ｆ分别是ＡＢ ,ＡＣ的中点 ,延长ＢＣ到Ｄ ,使ＣＤ =13ＢＣ ,ＤＥ交ＡＣ于Ｏ ,则ＣＤ∶ＥＦ =,ＯＣ∶ＯＡ =.6 .如图 2 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ…     

求解不等式约束最优化问题的MBF—ODE方法

１引言考虑用基于修正内罚函数的常微分方程（ＭＢＦ－ＯＤＥ）方法求解下列不等式约束极小化问题：其中ｆi∈ｃ２：Ｒ,ｉ=0,１,…,ｍ．求解无约束极小化问题的ＯＤＥ的一般形式是其中,φ（ｘ）∈Ｃ１：ΩＲｎ→Ｒ;ｓ（ｘ）∈Ｃ１：ΩＲｎ→Ｒｎ且满足φ（ｘ）＞０,ｓＴ（ｘ）ｆ（ｘ）＜０,ｆ（ｘ）∈Ｃ１：Ｒｎ→Ｒ为目标函数．为便于用ＯＤＥ方法求解（１．ｌ）,可藉助于罚函数将（１．ｌ）变换为无约束极小化问题（见［７］．但由于经典罚函数（ＣＢＦ）在计算上有较大的困难,我们采用修正内罚函数（ＭＢＦ）．其基本思想是用…     

一类分式函数避免使用判别式法求值域的技巧

求 ｆ(ｘ) =ａ2 ｘ2 ｂ2 ｘ ｃ2ａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1型函数的值域 ,是函数学习中的一个难点 ,解题时一般使用判别式法 ,但是 ,判别式法计算较繁 ,容易出错 ,因此 ,笔者认为 ,在能避免使用判别式法解答时 ,应尽量避免使用 .下面介绍可避免使用判别式法的三种情形 .情形 1　分子分母系数满足 ａ2ａ1=ｂ2ｂ1≠ ｃ2ｃ1.此时 ,所求函数可化为 ｆ(ｘ) =ｆａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1 ｅ的形式 ,只需用配方法求出 ｇ(ｘ) =ａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1的值域 ,就可求得原函数的值域 .例 1　求函数 ｆ(ｘ) =2ｘ2 2ｘ 3ｘ2 ｘ 1的值域 .解　∵ ｆ(ｘ) =1ｘ2 ｘ…     

体积法解一道微积分题

问题　求由曲线ｙ =x~2 在x轴正半轴与直线x=ｎ所围成的图形的面积Ｓ .此题已超出高一所学的知识范围 ,但我们合理运用祖日恒原理 ,化未知为已知 ,利用等体积的方法求解 .解　如图 ,构造正四棱锥Ｏ ＡＢＣＤ ,底面边长ＡＢ=ｎ ,高ＯＥ =ｎ ;又构造柱体ＯＨ ,以ＯＨＫ为中截面 ,高ＦＧ =1 .(其中ＯＨＫ即是曲线ｙ =ｘ2 与ｘ轴正半轴及直线ｘ =ｎ围成的图形 ) .设任一平行于底面的截面到点Ｏ的距离为ｘ ,则两截面的面积均为ｘ2 ,即有ＳⅠ =ＳⅡ .根据祖日恒原理 ,得ＶⅠ =ＶⅡ .∵　ＶⅡ =13 Ｓ底 ｈ =13 ＳＡＢＣＤ·ＯＥ =ｎ33 ,∴　ＶⅠ =…