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1.
胡世蒸 《数学通讯》2001,(20):13-14
1 在解不等式中的应用例 1 解不等式(1 .2 5) 1-(log2 x) 2 <(0 .64 ) 2 log xx.解 ∵ (1 .2 5) 1-(log2 x) 2 =541-(log2 x) 2=54 · 45(log2 x) 2 ,又∵ (0 .64 ) 2 log xx=(45) 8,∴原不等式可变形为5445(log2 x) 2 <458,即 45(log2 x) 2 <459.∵ 45(log2 x) 2 为单调减函数 ,∴ (log2 x) 2 >9.即log2 x >3或log2 x <- 3 .故此不等式的解是 :0 <x <18或x >8.例 2 已知 y1=ax2 -3x 1与 y2 =ax2 2x -5 ,其中a >0且a≠ 1 ,若 y1<y2 ,求x的值 .解 若a >1 ,则 y…  相似文献   

2.
题目 已知a2 +b2 =1,x2 +y2 =4,求ax+by的最大值 .病症 ∵ a2 +x2 ≥ 2ax  (当且仅当a=x时取等号 ) ,b2 +y2 ≥ 2bx  (当且仅当b =x时取等号 ) .∴ ax +by≤ 12 (a2 +x2 +b2 +y2 )  =12 [(a2 +b2 ) + (x2 +y2 ) ]①答 :ax +by的最大值为 52 .诊断 ①式中取等号的条件是a =x ,b =y同时成立 ,即a2 +b2 =x2 +y2 成立 .这与已知条件矛盾 .病因是忽略了均值不等式中取等号的条件 .处治一 ∵  (2a) 2 +x2 ≥ 4ax  (当且仅当 2a =x时取等号 ) ,   (2b) 2 +y2 ≥ 4by  (当且仅…  相似文献   

3.
不等式a~3/x~2+b~3/y~2≥(a+b)~3/(x+y)~2的另证   总被引:1,自引:0,他引:1  
文 [1 ]中谭志中和单老师为解决一类电场问题提出了一个不等式 ,即对于任意的a ,b∈R+ ,有不等式a3x2 + b3y2 ≥(a +b) 3(x + y) 2 成立 .(其中等号成立当且仅当ay =bx ax=by) .文中为证明上述不等式 ,构造了恒等式 ,即 :f (x ,y) =a3x2 + b3y2 =(a +b) 3(x + y) 2 +(ay -bx)xy(x + y)ax+ by+ a +bx + y .构造虽然巧妙 ,但一时不易让人接受 ,下面给出此不等式的另一种证法 .证 由于a ,b∈R+ ,x ,y∈R+a3x2 + b3y2 ≥(a +b) 3(x + y) 2 (x2 + y2 + 2xy)·a3x2 + b3…  相似文献   

4.
设函数 f(x) =x2 1 -ax ,其中a>0 .1 )解不等式f(x) ≤ 1 ;2 )求a的取值范围 ,使函数f(x) 在区间 [0 , ∞ )上是单调函数 .这是 2 0 0 0年理科数学高考第 1 9题 ,我参加了本题的阅卷工作 .众多试卷上的错解、妙解给人许多启迪 .对于 1 ) ,有下面典型性错解 :解原不等式 ,即解不等式 x2 1≤ 1 ax (i) 1 x2 ≤ (1 ax) 2 (ii) x≤ 0 ,(a2 - 1 )x 2a≤ 0 (1 )或  x≥ 0(a2 - 1 )x 2a≥ 0 (2 )(1 )的解为x≤ 2a1 -a2 (a >1 ) ;(2 )的解为 :当a≥ 1时 ,x≥ 0 ;当 0 <a<1时 ,0≤x≤ 2a1 -a2 .…  相似文献   

5.
辛民 《数学通讯》2003,(7):37-38
题 6 5  已知函数 f(x) =x|x -a|(a∈R) .1 )判断 f(x)的奇偶性 ;2 )解关于x的不等式 :f(x)≥ 2a2 ;3)写出 f(x)的单调区间 .解  1 )当a =0时 ,f(-x) =-x|-x|=-x|x|=- f(x) ;∴f(x)是奇函数 .当a≠ 0时 ,f(a) =0且 f(-a) =- 2a|a|.故 f(-a)≠f(a)且 f(-a)≠ - f(a) ,∴f(x)既不是奇函数 ,也不是偶函数 .2 )由题设知x|x -a|≥ 2a2 ,∴原不等式等价于   x <a-x2 +ax≥ 2a2 (1 )   x≥ax2 -ax≥ 2a2 (2 )由 (1 ) ,得 x <a ,x2 -ax +2a2 ≤ 0 .  无解 .由 (2 ) ,得 …  相似文献   

6.
文 [1]给出了下面的一道竞赛题的几种优美的证法 .题  (第 2 6届独联体数学奥林匹克竞赛试题 )证明 :对任意实数a >1,b >1,有不等式 a2b - 1 b2a - 1≥ 8.其中一种证法是 :设a - 1=x ,b - 1=y ,则x >0 ,y >0 ,原不等式等价于(x 1) 2y (y 1) 2x ≥ 8.运用柯西不等式 ,得(x 1) 2y (y 1) 2x=(x 1) 2y (y 1) 2x (yx y xx y)≥(x y 2 ) 2x y =(x y) 2 4(x y) 4x y=(x y) 4x y 4≥ 8.证明简洁而易懂 .原文还给出了一个推广 ,即设ai>0 (i=1,2 ,… ,n) ,则(a1 1) 2a2 (a…  相似文献   

7.
选择题 :本大题共 1 4小题 ,第 1~ 1 0题每小题 4分 ,第 1 1~ 1 4题每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 .1 设全集为R ,A ={x|x <- 2或x >5 },B={x| - 2 <x <2 },则 (   )(A) A∪B =R .    (B)A∪ B =R .(C) A∪ B =R . (D)A∪B =R .2 已知直线l1:ax 3y 1 2 =0与直线l2 :x (a - 2 )y a2 - 5 =0平行 ,则实数a的值是 (   )(A) - 1或 3. (B) 0或 1 .(C) - 1 . (D) 3.3 若 0 <a <1 ,则函数y =loga(…  相似文献   

8.
徐鸿迟  季新民 《数学通报》2001,(11):21-21,33
设x≥ 0 ,y≥ 0 .作为算术平均———几何平均不等式A ≥G的应用 ,我们把代换A =x y2G =xy叫做均值代换 .在这样的代换下有 :x y =2A ,xy=G2 ,(x -y) 2 =4A2 - 4G2 =4(A G) (A-G)x2 y2 =4A2 - 2G2 =2 (2A2 -G2 )x3 y3=8A3- 6AG2 =2A(4A2 - 3G2 )……由于max(x ,y)≥A≥G≥min(x ,y) ≥ 0 ,因此应用均值代换法证不等式特别利于放缩 ,能起化难为易的作用 ,收事半功倍的效果 .例 1  (美国纽约 ,1 975 )证明 ,对任意正数a≠b之算术平均值A=a b2 与几何平均值B=ab ,有B <(a-b) …  相似文献   

9.
题 1 已知实常数a >0 ,b >0 ,0 <θ <π2 ,求 y =asinθ+ bcosθ的最小值 .当我试图去解这道题时 ,几经努力都没成功 ,失败使我陷入深思中 .忽然 ,我头脑中浮现出我曾做过的一道题 :题 2 已知实常数a >0 ,b >0 ,且x + y=1,求 y =ax+ by 的最小值 .这道题可以这样来解 :y =ax+ by=(ax + by) (x + y)=a + ayx + bxy +b≥a + 2ab +b=(a +b) 2 .其中当且仅当ayx =bxy ,即 xy=ab 时等号成立 .题 1、题 2很相似 ,但题 2有变量约束条件x + y =1,而题 1隐含条件sin2 θ +cos2 θ …  相似文献   

10.
20 0 0年第 4 2届IMO的第 2题是 :设a ,b ,c∈R ,且abc =1.求证 :(a - 1 1b) (b - 1 1c) (c - 1 1a)≤ 1( 1)此题是一道陈题的变形 .事实上 ,由abc =1,不妨设a =xy ,b =yz ,c=zx (x ,y ,z∈R )代入 ( 1)式 ,得( xy - 1 zy) ( yz - 1 xz) ( zx - 1 yx)≤ 1 (x z - y) (x y -z) ( y z -x)≤xyz . ( 2 )( 2 )式是 1983年瑞士国际数学竞赛题之一 .关于它的证明较多 .其中最简单的莫过于如下证法 :由 x2 ≥x2 - ( y -z) 2=(x y -z) (z x - y) ,y2 ≥ ( y z -x) (…  相似文献   

11.
利用均值不等式求最值问题是学生必须掌握的基本技能和重要的解题方法 ,但由于其约束条件苛刻 ,同学们在应用时 ,往往忽视条件而误判 .现举例如下 .1 忽视“正”的条件误判“正”指均值不等式成立的前提条件a ,b(或a ,b ,c)∈R ,即a ,b(或a ,b ,c)为正数 .例 1 求函数 y =2x 1x - 1的最值 (x≠ 0 ) .错解 :∵ y =2x 1x- 1≥ 2 2x·1x - 1=2 2 - 1.∴ ymin=2 2 - 1.剖析 对 2x ,1x ∈R ,还是∈R- 未加严格区分 ,忽视了变数必为正数的条件 .下面给出正确解答 .解  1)当x >0时 ,y≥ 2 2x·1x - 1=2 2 …  相似文献   

12.
问题 若函数 y =logax与其反函数有交点 ,试确定a的取值范围 .我们来作一探讨 .设交点为P(x0 ,y0 ) ,则 y0 =logax0 ,y0 =ax0 ,即logax0 =ax0 .问题转化为 :当a在哪一范围取值时 ,关于x的方程logax =ax 有解 ?遗憾的是 ,处理这一方程 ,我们还没有一套初等的办法 ,或者说还没有象解二次方程那样的公式 ,我们只能借助于图象 .关于对数函数的图象 ,课本的正文部分给出了三个“代表” :y =log2 x ,y =log10 x ,y =log 12 x ,由此归纳出在其底数a >1及 0 <a <1这两种情况下的图象和性质 (…  相似文献   

13.
一、已知a <0 ,-1 <b <0 ,则a ,ab ,ab2 之间的大小关系如何 ?解 :∵ -1 <b <0 ,∴b<b2 <1 .又a<0 , ∴ab >ab2 >a .二、如果二次不等式ax2 +8ax+2 1 <0的解是 -7<x <-1 ,求a的值 .解 :考虑二次函数y =ax2 +8ax +2 1的图象 ,由已知条件可知它与Ox轴的两个交点为 (-1 ,0 ) ,(-7,0 ) ,故由韦达定理知 (-7)× (-1 ) =2 1a .∴a=3 .答 :略 .三、在△ABC中 ,∠CBA =72° ,E是边AC的中点 ,D在BC边上且 2BD =DC ,AD与BE交于F ,求△BDF和四边形FDCE的面积之比 .解 :过E作EG∥AD交…  相似文献   

14.
争鸣     
问 题问题 2 7 设函数 f(x) =lg(x2 -ax +1 )的值域为R ,求实数a的取值范围 .观点 1 令u(x) =x2 -ax +1 ,因f(x)的值域为R ,故只须u(x) >0恒成立 .即 x2 -ax +1 >0恒成立 .∴ Δ =a2 - 4 <0 ,∴  - 2 <a <2 .观点 2 令u(x) =x2 -ax +1 ,要使f(x) 的值域为R ,只需u(x)的值域包含 (0 ,+∞ ) ,∴ Δ =a2 - 4≥ 0 ,∴ a≤ - 2或a≥ 2 .观点 1是否正确 ?有无合理性成份 ,对观点 2同学们的疑问是Δ≥ 0怎能保证u(x)≥ 0 ?这是一道流传十分广泛的题目 ,怎样给学生一个满意的解答 ,敬请大家积极讨…  相似文献   

15.
从另一角度审视一元二次方程 ,引出根与系数关系 .不妨设ax2 +bx +c=0 (a≠ 0 )有两个不为 0的根x1、x2 ,且x1≠x2 .∵ ax2 +bx +c=0 (a≠ 0 ) ,∴  ca·1x=-ba-x .令y =ca·1x,则y =-ba-x .画它们的图像如图 .  由于它们的图像都关于直线 y =x对称 ,所以 ,可设两图像交于M (x1,y1) ,N(x2 ,y2 )点 .则 x1=y2 , x2 =y1,所以 x1+x2 =x1+y1=-ba.x1·x2 =x1·y1=ca.这就证明了韦达定理 (当x1、x2 均不为零的情况 ) .其它情况也可得出相应结论韦达定理的另探$山东省单县孙六张黄…  相似文献   

16.
“1”是最小的自然数 ,也是最简单的一个数 .它在三角函数中非常活跃 ,它在不等式的证明中也功不可没 .在不等式的证明中 ,如果能够充分发挥“1”的桥梁作用 ,有时有出奇制胜之效 .现举例说明如下 .1 借系数中的“1” .例 1 已知x ,y∈R 且x3 y3=2 ,求证 :x y≤ 2 .证 ∵x ,y∈R 且x3 y3=2 ,∴x y =x· 1· 1 y· 1· 1≤ x3 13 133 y3 13 133 =x3 y3 43 =2 .当x =y =1时等号成立 .例 2 设x y z =a (a >0 ) ,求证 :x2 y2 z2 ≥a23 .证 由柯西不等式得 (x·1 y·1 z·1) 2 ≤ (x2 y2 z…  相似文献   

17.
考察这样的问题 :已知函数y=x-a的图象与其反函数的图象有公共点 ,求实数a的取值范围 .避开具体教法不谈 ,樊老师在文 [1 ]中引导学生得到下面一种解法 ,这就是y=x-a(x≥a)在 [a ,+∞ )上是增函数 ,它有反函数因为如果y=f(x)单调增 ,且y =f(x)与y=f- 1 (x)有公共点 (a ,b) ,那么a =b所以已知函数y=x-a 的图象与其反函数的图象有公共点 ,则该公共点必在直线y=x上 .所以 y=x-ay=x   x2 =x-a有解 Δ ≥ 0 .从而a≤ 14.本人以为 ,这样做没有揭示出问题的本质特征 .试问 :若函数y=a-x的图象与其反函…  相似文献   

18.
一、选择题 :本大题共 6小题 ,每小题 5分 ,共30分 .每小题所给的 4个选项中 ,有且仅有一个符合题目要求 .1.已知椭圆的两焦点是F1(0 ,0 ) ,F2 (6 ,0 ) ,点P(6 ,8)在此椭圆上 ,则此椭圆的离心率e =(   )(A) 13.  (B) 16 .  (C) 34.  (D) 35 .图 1 第 2题图2 .函数 y =ax,y =bx,y =cx 的图象如右图所示 ,则一定有 (   )(A )logac <logba <logcb .(B )logcb <logba <logac.(C)logcb <logba ,logac<logba .(D)logba <logcb ,logac<logcb …  相似文献   

19.
如果给定一个不等式要我们求出它的解集 ,应当说不是什么难题 .但是它的逆向问题 :即给出不等式的解集 ,要我们对不等式加以分析鉴别 ,却是一种别致、新颖而又颇需功力的问题 ,因而成为近年流行的代数推理题的重要题源 .下面我们选择一组从易到难的此类习题加以研究 ,希望能给同学们以启示 .例 1 关于x的不等式ax≤ 2的解集是 {x|x≤ 1} ,则 (   )(A)a =2 .     (B)a≤ 2 .(C)a≥ 2 .     (D) 0 <a≤ 2 .分析 :若由原式得x≤ 2a,再令 2a ≥ 1,进而得 0<a≤ 2 ,则选 (D) ;若将解集中x =1代入得a≤ 2 ,则选 (…  相似文献   

20.
证明分母是多项式的某些分式不等式时 ,若将分母用其它变量替换 ,把所证不等式转化为较简单的不等式 ,往往可找到解题捷径 .例 1  (第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 (十年级 ) )对任意a >1,b >1,求证 :a2b - 1 b2a - 1≥ 8.证 令b - 1=x ,a - 1=y ,则x ,y∈R ,a2b - 1 b2a - 1=(y 1) 2x (x 1) 2y≥(2 y) 2x (2x) 2y=4 (yx xy)≥ 8.当且仅当x =y =1,即a =b =2时等号成立 .例 2  (《中等数学》1996年第 1期数学奥林匹克问题 )设x ,y ,z∈R ,求证 :x2x y z yx 2 y z zx y 2z…  相似文献   

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