“五点法”作函数y=Asin(ωx φ)简图的思考

作函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的简图 ,主要是先找出在确定图象形状时起关键作用的五个点 ,要找出这五个点该作变量代换 ,设Ｘ=ωｘ φ ,由Ｘ取 0 ,π2 ,π ,3π2 ,2π来解出对应的ｘ值 ,由此再作出函数的图象 ,这又称为“五点法”作图 .同时 ,我们知道五个点中有三个点是函数图象与ｘ轴的交点 ,都是函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)图象的对称中心 ,另二个点是使函数取得最值的点 ,过这两个点所作的与ｙ轴平行的直线都是函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)图象的对称轴 .因此 ,分别由ωｘ φ =ｋπ和ωｘ φ =ｋπ π2 可求得函数 ｙ =Ａｓｉｎ(…     

函数y=Asin（ωx＋φ）解析式的求法

1　已知关键点我们从作函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ >0 ,ω >0 )简图的“五点法”出发 ,先来研究图象上的五个关键点坐标与Ａ ,ω ,φ的关系 .作简图时常要列出如下的表 ,再根据表中所列坐标描点作图 (图 1) .　　表 1ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)作图用表ｘ ｘ1ｘ2 ｘ3 ｘ4 ｘ5Ｘ =ωｘ φ 0 π2 π 3π2 2πｓｉｎＸ 0 10 - 10ｙ =ＡｓｉｎＸ 0Ａ 0 -Ａ 0图 1ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的部分图象表的中间两行Ｘ与ｓｉｎＸ的对应值构成正弦函数ｙ =ｓｉｎＸ图象上关键的五点(0 ,0 ) ,(π2 ,1) ,(π ,0 ) ,(3π2 ,- 1) ,(2π ,0 ) ,上下…     

用“五点法”求y=Asin(ωx φ)的表达式

用“五点法”作三角函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ>0 ,ω >0 )的图象是三角函数的重要内容 ,其中心是通过整体换元的思想求关键点的坐标 .而已知三角函数的图象求其表达式的问题 ,恰恰是已知某些关键点的坐标 ,因此 ,可视为作图问题的逆问题 .作函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的简图 ,主要是作变量代换Ｘ =ωｘ φ ,由Ｘ取 0 ,π2 ,π ,3π2 ,2π来求出对应的ｘ的值 ,确定图象五个关键点的位置 .而求其表达式 ,则相当于Ｘ ,ｘ已知 ,求ω与 φ .下面通过例题介绍如何用“五点法”求三角函数的表达式 .例 1　如图 1,写出函数ｙ =Ａｓｉｎ(…     

谈谈y=Asin(ωx+φ)中初相φ的确定

根据图象确定函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)的解析式时的难点是确定初相 φ ,本文从四个方面谈谈初相φ的确定方法 .图 1　例题图例　 (2 0 0 2年全国高考文 (17) )如图 1,某地一天从 6时至 14时的温度变化曲线近似满足函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ+ φ) +ｂ ,1)求这段时间的最大温差 ;2 )写出这段曲线的函数解析式 .分析 :1)略 .2 )图 1中从 6时到 14时的图象是函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ) +ｂ的半个周期的图象 .∵ 12 ·2πω=14 - 6 ,∴ω =π8.由图象知Ａ =12 (30 - 10 ) =10 ,ｂ =12 (30 + 10 )=2 0 ,此时ｙ =10ｓｉｎ(π8ｘ + φ) + 2 0 .下…     

函数y=Asin(ωx+φ)的应用问题

函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ +φ) (Ａ >0 ,ω >0 )是三角函数中重要内容之一 ,历年高考多在选择题或填空题出现 ,其题型多样 ,解题方法灵活 .但在应用问题上 ,在生活数学上 ,还需引起重视 .在建模上 ,在识图上也需注意研究 .1　温差问题例 1　 (2 0 0 2年全国高考试题 )如图 ,某地一天从6时至 14时的温度变化曲线近似满足函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ +φ) +ｂ .图 1(Ⅰ )求这段时间的最大温差 ;(Ⅱ )写出这段曲线的函数解析式 .解　 (Ⅰ )由图示 ,这段时间的最大温差是 3 0 - 10 =2 0(℃ ) .(Ⅱ )图中从 6时到 14时的图象是函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ +…     

由三角函数图象求解析式的方法及误解剖析

给出三角函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的图象一部分 ,确定其解析式是同学们感到很头痛的一类题目 ,特别是ω和 φ的确定 ,稍一疏忽就会出错 .例　已知函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ >0 ,ω >0 ,|φ|<π)的图象如图 1所示 ,试确定该函数的解析式图 1　例题图误解 1　∵ ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ >0 )的值域为区间[-Ａ ,Ａ] ,由图象表明 -2≤ｙ≤ 2 ,∴Ａ =2 ,即函数ｙ =2ｓｉｎ(ωｘ φ) .∵函数图象过点Ｐ( -7π12 ,0 )和Ｑ( 0 ,1) ,∴ｓｉｎ( -7π12 ω φ) =0 ,ｓｉｎφ =12 .∵ |φ|<π ,ｓｉｎφ =12 ,∴φ =π6或 φ =5π6.当 …     

关于正弦型曲线y=Asin(ωx φ)(A>0,ω>0)的教学探讨

关于正弦型曲线ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０）的教学探讨陈智明易振兴（湖南省娄底工业学校４１７０００）正弦型曲线，即函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０）的图象的作出，在三角函数部分的教学中既是重点，又是难点，学生们往往对怎样由正弦...     

y=f(x+1)与y=f~(-1)(x+1)互为反函数吗?

从图象上看　ｙ =ｆ(ｘ + 1)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ + 1)的图象是分别将 ｙ =ｆ(ｘ)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的图象向左平移一个单位所得 ,因 ｙ =ｆ(ｘ)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ)图象关于 ｙ =ｘ对称 ,将 ｙ =ｘ向左平移一个单位得 ｙ =ｘ + 1,所以函数 ｙ =ｆ(ｘ + 1)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ + 1)的图象关于 ｙ =ｘ + 1对称 ,因而 ｙ =ｆ(ｘ + 1)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ + 1)不一定互为反函数 .从求反函数过程看　由 ｙ =ｆ(ｘ + 1)有ｘ + 1=ｆ- 1(ｙ)即ｘ =ｆ- 1(ｙ) - 1,互换ｘ ,ｙ ,有 ｙ =ｆ- 1(ｘ)- 1,所以 ｙ =ｆ(ｘ + 1)的反函数为 ｙ =ｆ- 1(ｘ) - 1.记号 ｙ =ｆ- 1(…     

综合题新编选登

题 1　已知函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象的一条对称轴为直线ｘ =1 ,若将函数 ｙ =ｆ(ｘ)图象向下平移 3个单位 ,再向右平移ｂ个单位后得到ｙ =ｓｉｎｘ的图象 .1 )求满足条件的所有的ｂ值及ｆ(ｘ)的解析式 ;2 )设ｚ =ｆ(ｘ 1 ) - 3ｘ ｉｓｉｎｘ ,ｗ =3ｚ2 1ｚ2 在复平面ｕ Ｏ ｖ上对应点为Ｐ ,求动点Ｐ的轨迹 .解　∵ ｙ =ｓｉｎｘ 向左平移ｂ个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 向上平移 3个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 3.1 )∵ｘ =1为其对称轴 ,而其对称轴的一般形式为ｘ ｂ =ｋπ π2 (ｋ∈Ｚ) ,∴ｘ=1应是此方程的解 ,故ｂ =ｋπ π2 - 1 (ｋ…     

三角函数的图象和性质

1　重、难点分析1)关于三角函数的图象 ,重点是能够熟练地画出正弦、余弦、正切、余切等四个函数在一个周期内的图象 ,特别是在原点附近的图象 ,进而掌握函数ｙ=Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)在一个周期内的图象 .掌握函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)的图象关键是建立函数ｙ =ｓｉｎｘ与ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)在一个周期内的对应关系 ,同时要结合函数的图象的平移和伸缩变换 ,加深对ω和 φ的理解 .而根据函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)的图象确定Ａ ,ω ,φ的值对初学者较困难 .2 )熟练掌握“五点法”作函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)的图象 .除了“五点…     

函数y＝Asin（ωx＋ψ）的图象和性质

函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋ψ）的图象和性质白定稳（河南内乡高中４７３３５０）【基本概念】１．函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ十）（其中Ａ，ω，是常数）是物理学和工程技术中应用比较广泛的一类函数．例如：物体作简谐振动时位移ｙ与时间ｘ的关系，交流电中电流强度ｙ与时间...     

应定义函数y=Asin(ωx φ)图象上的“第一零点”

应定义函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）图象上的“第一零点”吴晓（江西桑海企业集团中学３３０１１５）１问题的提出．１９９３年《数学通报》组织专家编写的《数学高考研究与复习（理科）》一书（中央民族大学出版社）的第２８页上，有这样一道题：某正弦型函数的图象如图...     

应用广泛的函数y=Asin（ωx＋φ）＋k

三角学产生于约两千年前的古希腊 ,起因是人们要对三角形中的角和边进行精确的测量与计算 ,后来逐渐发展为定义在实数集上的三角函数 .三角函数有着相当广泛的应用 ,就函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) ｋ来说 ,其应用不仅仅限于课本上提到的简谐振动、交流电、单摆等方面 ,许多有节律地变化的自然现象 ,都可用此函数来模拟 ,在生物、天文、地理、机械等方面都有其应用 ,下面举几例供大家参考 .图 1　例 1图例 1　估计一天白昼的时间 .估计某一天的白昼时间的小时数Ｄ(ｔ)可由下式表示 :Ｄ(ｔ) =ｋ2 ｓｉｎ 2π365 (ｔ- 79) 12 ,其中ｔ表示某…     

如何进行三角函数的图像变换

用图形变换的方法画出函数ｙ =Ａｓｉｎ(ｗｘ+φ) ,ｘ∈Ｒ的简图是高一数学下册《函数ｙ=Ａｓｉｎ(ｗｘ+φ)的图像》一节的重点内容之一 .课本给出的变换顺序是 :相位变换→周期变换→振幅变换 ,具体为 :先把正弦曲线向左 (当 φ >0时 )或向右(当 φ <0时 )平移 |φ|个单位 ,得到函数ｙ =ｓｉｎ(ｘ+φ)的图像 ,再把所得图像上的所有点的横坐标伸长 (当 0 <ｗ <1时 )或缩短 (当ｗ >1时 )到原来的1ｗ倍 (纵坐标不变 ) ,得到函数ｙ=ｓｉｎ(ｗｘ+φ)的图像 ,最后把所得图像上的所有点的纵坐标伸长 (当Ａ >1时 )或缩短 (当 0<Ａ <1时 )到原来的Ａ…     

函数图象的有关问题

函数图象是函数的一种表达形式 ,是刻划函数性质的重要内容 ,函数图象也是高考命题的热点 .下面例谈函数图象的类型及解题策略 .一、图象的变换1.图象的平移函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象沿ｘ轴向左或向右平移ａ(ａ >0 )个单位 ,所得到的图象的函数表达式为 ｙ =ｆ(ｘ +ａ) 或 ｙ =ｆ(ｘ -ａ) ;而沿 ｙ轴向下或向上平移ｂ(ｂ>0 )个单位所得到的图象为ｙ +ｂ =ｆ(ｘ)或 ｙ -ｂ=ｆ(ｘ) .例 1　函数ｙ =1- 1ｘ - 1的图象是 (　　 ) .(2 0 0 2全国高考试题 )(Ａ)　　 (Ｂ)　　(Ｃ)　　 (Ｄ)　　分析　函数ｙ =1- 1ｘ - 1的图象是由ｙ =- 1ｘ的图象沿ｘ…     

正,余弦函数单调区间的快速求法

在求函数 ｙ =Ａ·ｓｉｎ(ωｘ φ)及 ｙ =Ａ·ｃｏｓ(ωｘ φ)的单调区间时 ,学生往往容易出错 ,特别是在ω <0的情况下 ,尤为突出 .本文介绍一种既保险又快捷的求法 ,解法分三步 .第一步 :求出函数的最小正周期Ｔ =2π|ω|;第二步 :寻找一个ｘ0 ,使ｘ =ｘ0 时 ,ｙ值最大 ;图 1　ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)示意图第三步 :写出函数的单调增区间[ｋＴ ｘ0 -Ｔ2 ,ｋｔ ｘ0 ] ,ｋ∈Ｎ ;单调减区间 [ｋＴ ｘ0 ,ｋＴ ｘ0 Ｔ2 ] ,ｋ∈Ｎ .以上解法 ,请同学们结合图 1就不难理解了 ,关于ｘ0 的求法 ,只须根据Ａ的符号及函数名称 ,令ωｘ φ =…     

有关y=Asin(ωx+φ)+B的试题的“交汇性”

以能力立意是高考数学命题的指导思想 ,在知识网络交汇点处设计试题是高考数学命题的新特点和大方向 .与函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ +φ) +Ｂ有关的综合问题正是在这种背景下“闪亮登场” ,频频出现在各级各类考试题中 .由于这类题目涵盖知识点多且交汇性强 ,数学思想和方法考查充分 ,考生普遍感到难以下手 ,考试时经常弃而不答 ,令人惋惜 !函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ+φ) +Ｂ是一个联系广泛的知识点 ,它内联三角函数的性质、三角的恒等变形 ;外联一般函数的性质、图像变换和图像性态 ;还可以与解析几何、数列及实际问题等有机联系 .下面笔者从有关…     

高考在即 强化“四点”

高考临近 ,考生备考复习进入了冲刺阶段 .考生除了要对知识点灵活掌握外 ,还要强化以下“四点” .1　熟悉考点考生要认真研究《考试说明》规定考查的知识点 ,并逐一进行分析和归纳 ,如函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ｗｘ φ)的图象这个考点 ,它即是难点和重点 ,又是高考的热点 ,复习时除了理解图象变换的基本规律、掌握基本方法外 ,还要落实基本考点 :1)函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ｗｘ φ1 )的图象向左 (右 )平移θ个单位得到函数ｙ =Ａｓｉｎ(ｗｘ φ2 )的图象 (其中θ =| φ2 - φ1 |ｗ ) ;2 )据图象写出函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ｗｘ φ)的解析式 ;3)求函…     

y=Asinωx和y=Acosωx的几何性质

函数y=Asin(ωx φ) k或y= Acos(ωx φ) k的最值、周期、单调代数性质等是大家都比较熟悉的.本文介绍它们的几个几何性质,供同学们学习参考.性质如图1和图2,M,N,P是函数y =Asinωx或y=Acosωx(A>0,ω>0)的图象上的三个相邻的两个最高点和一个最低     

一道高考试题的几种解法

题目 ( 1994年全国高考文科试题 )如果函数ｙ =ｓｉｎ2ｘ ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- π8对称 ,那么ａ = (　　 )(Ａ) 2 .　 (Ｂ) - 2 .　 (Ｃ) 1.　 (Ｄ) - 1.解法 1　因 ｙ =ｓｉｎ2ｘ ａｃｏｓ2ｘ =1 ａ2·ｓｉｎ( 2ｘ φ) ,且其图象关于直线ｘ =- π8对称 ,所以 ,直线ｘ =- π8必经过图象的波峰或波谷 ,从而有ｓｉｎ( - π4 ) ａｃｏｓ( - π4 ) =± 1 ａ2 ,即 ( - 1 ａ) 2= 2 ( 1 ａ2 ) ,得ａ =- 1,应选 (Ｄ) .解法 2　因函数ｙ =ｓｉｎ2ｘ ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- π8对称 ,所以 ,把它沿着ｘ轴向右平移π8单位 ,得…